1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是（A）y“+y“-4y-4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“-y“-4y+4y=0 （D）y“-y“+4y-4y=02 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是（A）y“-y“-y+y=0（B） y“+y“-y-y=0（C） y“-6y“+11y-6y=0（D）y“-2y“-y+2y=03 已知函数 y
2、=y(x)在任意点 x 处的增量y=y/(1+x 2)x+，且当x0 时， 是x的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于（A）2（B） （C） e4（D）e 44 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx5 设 A 与 B 均为 n,阶矩阵，且 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） det A=det（C） A 与 B 相似（D）r(A)=r(B)
3、二、填空题6 设 1=(2，-1，0，5)， 2=(-4，-2，3，0)， 3=(-1，0，1，k)， 4=(-1，0，2，1)，则 k=_时， 1， 2， 3， 4 线性相关7 用欧拉方程 x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=0(x0)的通解为_.8 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=-1/9 的解为_.9 微分方程 y=y(1-x)/x 的通解是_.10 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_.11 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_.12 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=
4、0 及 f“(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_.13 微分方程 xy“+3y=0 的通解为 _.14 设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C 2 为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_.15 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为_.16 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_.17 差分方程 yt+1-yt=t2t 的通解为_.18 差分方程 2yt+1+10yt-5t=0 的通解为_.19 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以W1 表示第 t 年的工资总额(单位：百万元)
5、，则 Wt 满足的差分方程是_20 当 k=_时，向量 =(1，k，5)能由向量 1=(1，-3，2)， 2=(2，-1，1)线性表示三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求微分方程(3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0 的通解考研数学一（常微分方程）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (-1)(+2i)(-2i)=(-1)( 2+4)=3-2+4-4=0 从而可知微分方程是y“-y“+4y-4y=0选(D) 【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 首先，由
6、已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r1=r2=-1，r 3=1，从而特征方程为 (r+1) 2(r-1)=0，即 r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为 y“+y“-y-y=0应选 (B)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 -5/13【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y=C 1/x+C2/x2.【试题解析】 作自变量替换 x=et(t=lnx),将它化成常系数的情形。 d 2y/dt2+(4-1)dy/dt+2y=0 d2y/dt2+
7、3dy/dt+2y=0. 相应的特征方程为 2+3+2=0 特征根 1=-1 2=-2 通解为 y=C 1e-t+C2e-2t 所以通解为 y=C1/x+C2/x2.【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y=1/3xlnx-1/9x.【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y=Cxe -x【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 1/x.【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 e -xsinx.【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 e x【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=C 1+C2/x2【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y“-2y+2y=0【试题解析
8、】 一：由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1，r 2=1i，从而得知特征方程为 (r-r 1)(r-r2)=r2-(r1+r2)r+r1r2=r2-2r+2=0 由此，所求微分方程为 y“-2y+2y=0 二：根本不去管它所求微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y=ex(C1sinx+C2cosx)，求得 y=e x(C1-C2)sinx+(C1+C2)cosx， y“=e x(-2C2sinx+2C1cosx)，这三个式子消去 C1 与 C2，得 y“-2y+2y=0【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 C 1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 常微分方程16 【正
9、确答案】 C 1ex+C2e3x+2e2x【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 C+(t-2)2 t【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 C(-5) t+5/12(t-1/6)【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 W t=12 t-1+2【试题解析】 第 t 年的工资总额 W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额 2(百万元) ，另一部分比前一年的工资总额 Wt-1 多 20，即是 Wt-1 的 1：2倍于是可得 Wt 满足的差分方程是 W t=1.2t-1+2【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 -8【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 用凑全微分的方法求解由于 (3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy =3x2dx+yd(x2)+x2dy-y2dx+xd(y2) =d(x3)+d(x2y)-d(xy2) =d(x3+x2y-xy【知识模块】 常微分方程
