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[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷57及答案与解析.doc

1、考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X,Y 相互独立,且 XN(0,1),Y N(1 ,1),则( ) 2 设 X1,X 2,X n,相互独立,则 X1,X 2, ,X n,满足辛钦大数定律的条件是( ) (A)X 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望与方差(B) X1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望(C) X1,X 2,X n,为同分布的离散型随机变量(D)X 1,X 2,X n,为同分布的连续型随机变量3 在假设检验中,H 0 为原假设,下列选项中犯第一类错误 (弃真)的是

2、( )(A)H 0 为假,接受 H0(B) H0 为真,拒绝 H0(C) H0 为假,拒绝 H0(D)H 0 为真,接受 H0二、填空题4 设口袋中有 10 只红球和 15 只白球,每次取一个球,取后不放回,则第二次取得红球的概率为_5 设离散型随机变量 X 的分布函数为 则 Y=X2+1 的分布函数为_6 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且遇到红灯的概率为 ,设 X 表示途中遇到红灯的次数,则E(X)=_7 设 X,Y 为两个随机变量,且 D(X)=9,Y=2X+3,则 X,Y 的相关系数为_8 设 UN(,1) ,V 2 (n),且 U,

3、V 相互独立,则 T= 服从_分布9 设总体 X 的分布律为 P(X=i)= (i=1,2,) ,X 1,X 2,X n 为来自总体的简单随机样本,则 的矩估计量为_(其中 为正整数)10 设 10 件产品中有 4 件不合格,从中任取两件,已知两件中有一件不合格,则另一件产品也不合格的概率为_11 设 X,Y 为两个随机变量,且 P(X0,Y0)= ,P(X0)=P(Y0)= ,则Pmax(X,Y)0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 一电路使用某种电阻一只,另外 35 只备用,若一只损坏,立即使用另一只更换,直到用完所有备用电阻为止,设电阻使用寿命服从参数为 =001

4、 的指数分布,用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命,用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413 ,(2)=09772)13 现有三个箱子,第一个箱子有 4 个红球,3 个白球;第二个箱子有 3 个红球,3个白球;第三个箱子有 3 个红球,5 个白球;先取一只箱子,再从中取一只球(1)求取到白球的概率;(2)若取到红球,求红球是从第二个箱子中取出的概率13 有三个盒子,第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球,第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球,第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球,如果任取一个盒子,从中任取 3 个球,以X 表示红球个数14 写出 X 的分布律;15 求所取到的红球

5、数不少于 2 个的概率16 设某个系统由六个相同的元件先经过两两并联再串联而成,且各元件工作状态相互独立,每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布,求系统正常工作时间 T 的概率分布16 设随机变量 X,Y 相互独立且都服从标准正态分布,令 U=X2+Y2求:17 fU();18 PUD(U)UE(U) 19 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 3 的次数,求 E(Y2)20 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头,它们一天到达时间是等可能的,如果甲停靠,则停靠的时间为 1 小时,若乙停靠,则停靠的时间为 2 小时,求它们不需要等候

6、的概率21 有甲、乙两个口袋,两袋中都有 3 个白球 2 个黑球,现从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取 4 个球,设 4 个球中的黑球数用 X 表示,求 X 的分布律21 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f(x, y)= 22 求随机变量 X,Y 的边缘密度函数;23 判断随机变量 X,Y 是否相互独立;24 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数25 设一部机器一天内发生故障的概率为 ,机器发生故障时全天停止工作,若一周 5 个工作日无故障,则可获利 10 万元;发生一次故障获利 5 万元;发生两次故障获利 0 元;发生三次及以上的故障亏损 2 万元,求一周内利润的期

7、望值26 设总体 XN(0, 2),X 1,X 2,X n 为来自总体 X 的简单随机样本,S 2= 所服从的分布27 设总体 XU( 1, 2),X 1,X 2,X n 是来自总体 X 的样本,求 1, 2 的矩估计和最大似然估计27 设 100 件产品中有 10 件不合格,现从中任取 5 件进行检验,如果其中没有不合格产品,则这批产品被接受,否则被拒绝,求:28 在任取 5 件产品中不合格产品件数 X 的数学期望和方差;29 这批产品被拒绝的概率考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解

8、析】 X,Y 独立,XN(0,1),YN(1 ,1),X+Y N(1 ,2) ,所以选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 根据辛钦大数定律的条件,应选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 设 A1=第一次取红球,A 2=第一次取白球,B=第二次取红球,【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 显然 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 1【试题解析】 D(Y)=4D(X)=36,Cov(X ,Y)=Cov(

9、X ,2X+3)=2Cov(X,X)+Cov(X,3)=2D(X)+Cov(X ,3) 因为 Cov(X,3)=E(3X)一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0,所以 Cov(X,Y)=2D(X)=18,于是 XY= =1【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 由 UN(,1),得 =U 一 N(0,1),又 U,V 相互独立,则=Tt(n)【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 令 A=第一件产品合格,B=第二件产品合格,则所求概率为【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 令X0=

10、A,Y0=B ,则有 ,故 Pmax(X ,Y)0=1一 Pmax(X ,Y)0=1 一 P(X0,Y0)=1 =P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)= 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设第 i 只电阻使用寿命为 Xi,则 XiE(001),E(X i)=100,D(X i)=1002(i=1,2,36)【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 设 Ai=取到的是第 i 只箱子(i=1,2,3),B=取到白球【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 令 Ak=所取的为第 k 个盒子 (k=1,2,3),P

11、(A i)= (i=1,2,3),【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 P X2 = 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 设 Ti=第 i 个元件的正常工作时间,T iE(),i=1,2 , 6F(t)=PTt,注意Tt表示系统在0,t内一定正常工作则Tt=(T 1t+ T 2t)(T 3t+T 4t)(T 5t+T 6T),又T1,T 2,T 6 相互独立同分布,所以有 F(t)=PTt=P(T 1t+T 2t) 3而 P(T 1t+ T 2t)=1 一 PT 1t,T 2t=1 一 PT 1t PT 2t=1 一1 一 FT1(t)2 所以 T 的分布函数为 F(t)= 【知识模

12、块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 因为 X,Y 相互独立且都服从标准正态分布,所以(X,Y) 的联合密度函数为 f(x,y)= (一x,y)F u()=P(U),当 0 时,F U()=0;当 0 时,F U()=P(U)=P(X2+Y2)= 所以 FU()= 的指数分布【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 E(U)=2,D(U)=4 ,PUD(U) U E(U) =P(U4U 2)=,因为 P(U4)=1 一 P(U4)=1 一(1 一 e2 )=e2 ,P(U2)=1 一(1 一 e1 )=e1 ,所以 PUD(U) UE(U)=e 1 【知识模块】 概率统计19

13、 【正确答案】 显然 YB(4,p),其中 P=P(X3)=1 一 P(X3),因为 ,从而 p=1 一 FX(3)=e1 ,由 E(Y)=4e1 ,D(Y)=4e 1 (1 一 e1 ),得 E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=4e1 一 4e2 +16e2 =4e1 +12e2 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 设甲乙两船到达的时刻分别为 x,y(0x24,0y24),则两船不需要等待的充分必要条件是 ,令 D=(x ,y)0x24,0y24,则D1=(x,y) yx1,xy2 ,(x ,y)D,则两船不需要等待的概率为P= 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 设 A=从甲袋中

14、取出黑球, X 的可能取值为 0,1,2,3,令X=i =Bi(i=0,1,2,3),则【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 f X(x)= f(x,y)dy当 x0 时,f X(x)=0;当 x0 时,f X(x)= f(x,y)dy= 0 2e (x+2y)dy=ex 0 e2y d(2y)=ex ,则 fX(x)= f Y(y)= f(x,y)dx,当 y0 时,f Y(y)=0;当 y0 时,f Y(y)=0 2e(x2y)dx=2e2y 0 ex dx=2e2y ,则 fY= 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 f(x,y)=f X(x)fY(y

15、),所以随机变量 X,Y 相互独立【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 F Z(z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= f(x,y)dxdy,当 z0 时,F Z(z)=0;当 z0 时,【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数,则 X ,以 Y 表示获利,则 Y= ,则 E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)一 2P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=100328+5041020 057=5216(万元)【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1) (2) 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 X 的所有可能取值为 0,1,2,3 ,4,5,其分布律为 P(X=i)=,i=0 , 1,2,3,4, 5则 E(X)= P(X=i)=05025,D(x):E(X)一E(X)2=04410 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 这批产品被拒绝的概率为 P(X1)=1 一 P(X=0)=0417【知识模块】 概率统计

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