1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(1 ，1)，则( ) 2 设 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2， ，X n，满足辛钦大数定律的条件是( ) （A）X 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与方差（B） X1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望（C） X1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量（D）X 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量3 在假设检验中，H 0 为原假设，下列选项中犯第一类错误 (弃真)的是
2、( )（A）H 0 为假，接受 H0（B） H0 为真，拒绝 H0（C） H0 为假，拒绝 H0（D）H 0 为真，接受 H0二、填空题4 设口袋中有 10 只红球和 15 只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为_5 设离散型随机变量 X 的分布函数为 则 Y=X2+1 的分布函数为_6 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 ，设 X 表示途中遇到红灯的次数，则E(X)=_7 设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为_8 设 UN(,1) ，V 2 (n)，且 U，
3、V 相互独立，则 T= 服从_分布9 设总体 X 的分布律为 P(X=i)= (i=1，2，) ，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，则 的矩估计量为_(其中 为正整数)10 设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_11 设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= ，则Pmax(X，Y)0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止，设电阻使用寿命服从参数为 =001
4、 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413 ，(2)=09772)13 现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3个白球；第三个箱子有 3 个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率13 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以X 表示红球个数14 写出 X 的分布律；15 求所取到的红球
5、数不少于 2 个的概率16 设某个系统由六个相同的元件先经过两两并联再串联而成，且各元件工作状态相互独立，每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布16 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X2+Y2求：17 fU()；18 PUD(U)UE(U) 19 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 E(Y2)20 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候
6、的概率21 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律21 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)= 22 求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；23 判断随机变量 X，Y 是否相互独立；24 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数25 设一部机器一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期
7、望值26 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，S 2= 所服从的分布27 设总体 XU( 1， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，求 1， 2 的矩估计和最大似然估计27 设 100 件产品中有 10 件不合格，现从中任取 5 件进行检验，如果其中没有不合格产品，则这批产品被接受，否则被拒绝，求：28 在任取 5 件产品中不合格产品件数 X 的数学期望和方差；29 这批产品被拒绝的概率考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解
8、析】 X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1 ，1)，X+Y N(1 ，2) ，所以选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 根据辛钦大数定律的条件，应选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 设 A1=第一次取红球，A 2=第一次取白球，B=第二次取红球，【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 显然 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 1【试题解析】 D(Y)=4D(X)=36，Cov(X ，Y)=Cov(
9、X ，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X ，3) 因为 Cov(X，3)=E(3X)一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是 XY= =1【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 由 UN(，1)，得 =U 一 N(0，1)，又 U，V 相互独立，则=Tt(n)【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 令 A=第一件产品合格，B=第二件产品合格，则所求概率为【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 令X0=
10、A，Y0=B ，则有 ，故 Pmax(X ，Y)0=1一 Pmax(X ，Y)0=1 一 P(X0，Y0)=1 =P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)= 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设第 i 只电阻使用寿命为 Xi，则 XiE(001)，E(X i)=100，D(X i)=1002(i=1，2，36)【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 设 Ai=取到的是第 i 只箱子(i=1，2，3)，B=取到白球【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 令 Ak=所取的为第 k 个盒子 (k=1，2，3)，P
11、(A i)= (i=1，2，3)，【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 P X2 = 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 设 Ti=第 i 个元件的正常工作时间，T iE()，i=1，2 ， 6F(t)=PTt，注意Tt表示系统在0，t内一定正常工作则Tt=(T 1t+ T 2t)(T 3t+T 4t)(T 5t+T 6T)，又T1，T 2，T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)=PTt=P(T 1t+T 2t) 3而 P(T 1t+ T 2t)=1 一 PT 1t，T 2t=1 一 PT 1t PT 2t=1 一1 一 FT1(t)2 所以 T 的分布函数为 F(t)= 【知识模
12、块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= (一x，y)F u()=P(U)，当 0 时，F U()=0；当 0 时，F U()=P(U)=P(X2+Y2)= 所以 FU()= 的指数分布【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 E(U)=2，D(U)=4 ，PUD(U) U E(U) =P(U4U 2)=，因为 P(U4)=1 一 P(U4)=1 一(1 一 e2 )=e2 ，P(U2)=1 一(1 一 e1 )=e1 ，所以 PUD(U) UE(U)=e 1 【知识模块】 概率统计19
13、 【正确答案】 显然 YB(4，p)，其中 P=P(X3)=1 一 P(X3)，因为 ，从而 p=1 一 FX(3)=e1 ，由 E(Y)=4e1 ，D(Y)=4e 1 (1 一 e1 )，得 E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=4e1 一 4e2 +16e2 =4e1 +12e2 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 设甲乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)，则两船不需要等待的充分必要条件是 ，令 D=(x ，y)0x24，0y24，则D1=(x，y) yx1，xy2 ，(x ，y)D，则两船不需要等待的概率为P= 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 设 A=从甲袋中
14、取出黑球， X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i =Bi(i=0，1，2，3)，则【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 f X(x)= f(x，y)dy当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时，f X(x)= f(x，y)dy= 0 2e (x+2y)dy=ex 0 e2y d(2y)=ex ，则 fX(x)= f Y(y)= f(x，y)dx，当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0 2e(x2y)dx=2e2y 0 ex dx=2e2y ，则 fY= 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 f(x，y)=f X(x)fY(y
15、)，所以随机变量 X，Y 相互独立【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 F Z(z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= f(x，y)dxdy，当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0 时，【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 X ，以 Y 表示获利，则 Y= ，则 E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)一 2P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=100328+5041020 057=5216(万元)【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1) (2) 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 ，4，5，其分布律为 P(X=i)=，i=0 ， 1，2，3，4， 5则 E(X)= P(X=i)=05025，D(x)：E(X)一E(X)2=04410 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 这批产品被拒绝的概率为 P(X1)=1 一 P(X=0)=0417【知识模块】 概率统计
