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[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷76及答案与解析.doc

1、考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 以下 4 个结论:教室中有 r 个学生,则他们的生日都不相同的概率是 教室中有 4 个学生,则至少有两个人的生日在同一个月的概率是 将C,C,E ,E,I,N,S 共 7 个字母随机地排成一行,恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球,今从袋中任取 3 个球,则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 正确的个数为 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)42 设 X1,X 2,X 3 相互独立,且均服从参数为 的泊松分布,令 Y=

2、 (X1+X1+X3),则 Y2 的数学期望为 ( )3 A,B,C 为随机事件,A 发生导致 B 与 C 最多有一个发生,则有 ( )4 设 X 为连续型随机变量,方差存在,则对任意常数 C 和 0,必有 ( )(A)PXC=E(XC)(B) PX C E(XC)(C) PX CE(XC)(D)PXCDX 25 设总体 X 服从正态分布 N(, 2),X 1,X 2, Xn(n1)是取自总体的简单随机样本,样本均值为 如果 PX a= ( )(A)与 及 n 都有关(B)与 及 n 都无关(C)与 无关,与 n 有关(D)与 有关,与 n 无关6 设 A 与 B 是两随机事件,P(B)=06

3、 且P(AB)=05,则 = ( )(A)01(B) 03(C) 05(D)077 设 为来自总体 XN(, 2)(2 未知)的一个简单随机样本的样本均值若已知在置信水平 1 下, 的置信区间长度为 2,则在显著性水平 下,对于假设检验问题 H0:=1 ,H 1:1,要使得检验结果接受 H01 则应有 ( )(A) (1,1)(B) ( 1,3)(C) ( 2,2)(D) (0,2)二、填空题8 设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 且 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等,则 P(A)=_9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则对 x0,f YX

4、 (yx)=_10 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y,V=X 的协方差 Cov(U,V)为_11 设随机变量 X 与X 服从同一均匀分布 U(a,b),已知 X 的概率密度 f(x)的平方f2(x)也是概率密度,则 b=_12 设随机变量 X1,X 1,X 3 相互独立,且则 EX1(X1+X2X 3)=_13 设总体 X 的方差为 1,根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为 5,则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设有大小相同、标号分别为 1,2,3,4,5 的五个

5、球,同时有标号为1,2,10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中,设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的,并且每个空盒可以放多个球,计算下列事件的概率:14 A=某指定的五个盒子中各有一个球 ;15 B=每个盒子中最多只有一个球;16 C=某个指定的盒子不空17 随机地取两个正数 x 和 y,这两个数中的每一个都不超过 1,试求 x 与 y 之和不超过 1,积不小于 009 的概率18 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位:分)服从参数为 的指数分布若等待时间超过 10 分钟,他就离开设他一个月内要来银行 5 次,以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数,求 Y 的分布

6、律及 PY119 设(X,Y)服从 G=(x,y)x 2+y21上的均匀分布,试求给定 Y=y 的条件下 X的条件概率密度 fXY (x y)20 某计算机系统有 100 个终端,每个终端有 20的时间在使用,若各个终端使用与否相互独立,试求有 10 个或更多个终端在使用的概率21 设总体 X 服从 U(0,),X 1,X 2,X n 为总体的样本证明: 为 的一致估计21 验收成箱包装的玻璃器皿,每箱 24 只装统计资料表明,每箱最多有 2 只残品,且含 0,1,2 件残品的箱各占 80,15,5现在随机抽取一箱,随机检验其中 4 只;若未发现残品则通过验收,否则要逐一检验并更换试求:22

7、一次通过验收的概率;23 通过验收的箱中确实无残品的概率24 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击,他们的命中率分别为04,05,07设飞机中一弹而被击落的概率为 02,中两弹而被击落的概率为 06,中三弹必然被击落,今三人各射击一次,求飞机被击落的概率25 设二次方程 x2Xx+Y=0 的两个根相互独立,且都服从(0,2)上的均匀分布,分别求 X 与 Y 的概率密度26 设连续型随机变量 X 的所有可能取值在区间a,b之内,证明:(1)aEXb;(2)27 设 X 的概率密度为 求:(1)FY(y);(2)Cov(X,Y)28 设总体 X 的分布列为截尾几何分布 PX=k)= k 1(1) ,k

8、=1,2,r, PX=r+1=r, 从中抽得样本 X1,X 2,X n 其中有 m 个取值为 r+1,求 的最大似然估计29 从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度,计算得 S=0025,问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2=00004 有无显著差别(=005,椭圆度服从正态分布)29 把一颗骰子独立地投掷 n 次,记 1 点出现的次数为随机变量 X,6 点出现的次数为随机变量 Y,记i,j=1 ,2, ,n30 求 EX,DX;31 分别求 ij 时与 i=j 时 E(XiYi)的值;32 求 X 与 Y 的相关系数考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 76 答案与解析一、选择题下列每题给

9、出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对于 4 个结论分别分析如下: 这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在 365 天中任何一天出生具有等可能性,此问题等价于“有 365个盒子,每个盒子中可以放任意多个球,求将 r 个球随机放人不同的 r 个盒子中的概率”设 A1=他们的生日都不相同,则 (2)设 A2=至少有两个人的生日在同一个月,考虑对立事件,则(3)设 A3=恰好排成 SCIENCE,将 7 个字母排成一行的一种排法看作基本事件,则所有的排法:字母 C 在 7 个位置中占两个位置,则共有 C72 种占法,字母 E 在余下的 5 个位置中占两

10、个位置,共有 C52 种占法,字母 I,N,S 在剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3!种,故基本事件总数为 C72C523!=1260(种),而 A3 中的基本事件只有一个,故(4)设 A4=最小号码为 5,则综上所述,有 3 个结论正确,选择 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X1,X 2,X 3 相互独立且均服从 P(),所以 X1+X2+X3P(3) , E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3, EY=E (X1+X2+X3=,=E(Y2)(EY) 2=E(Y2) 2,故 选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题

11、解析】 B 与 C 最多有一个发生就是 B 与 C 不可能同时发生,即为 所以A 发生导致 B 与 C 最多有一个发生,得到 当然也可以将 B 与 C 最多有一个发生理解为至少 B 与 C 中有一个不发生,即【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因为故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设有,XN(, 2), 因此【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 又 P(B)=06,则 P(AB)=0 3所以 =1EP(B) P(AB)=07【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 因 2

12、 未知,置信区间为则置信区间长度为要使得检验结果接受 H0,则应有接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 已知事件 A 与 B 独立,且 P(AB)=P(BA) ,故 P(A)P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)=P(B) , 所以【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x,y)的表达式知 X 与 y 相互独立,且关于 X 与关于 Y 的边缘概率密度分别为 由此可知,当 x0 时,由 fX(x)0 知 fYX (yx)=f Y(y)=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U,V)=Co

13、v(X+2Y,X)=DX2Cov(X,Y) =DX2E(XY)+2EXEY, 其中关于 X 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 因 XU(a,b),则XU(b,a),又 X 与X 同分布,故有a= b,即 XU( b ,b),所以又因为 f2(x)也是概率密度,所以有 1= +f2(x)dx=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由数学期望的性质有 EX 1(X1+X2X 3)=E(X12+X1X2X 1X3)=E(X12)+EX1EX2EX 1 EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2EX 1EX3【知识模块】 概率论与

14、数理统计13 【正确答案】 (4804,5196)【试题解析】 设样本为 X1,X 2,X n,EX= ,DX= 2,由中心极限定理知,当 n 充分大时有:近似服从 N(0,1),于是 即 的置信度近似为 1(比如 1=095)的置信区间是=(4804, 5196) 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 每个球都有 10 种放法,所以,基本事件总数(放法总数)为n=105 5 个球放入指定的 5 个盒子中,事件 A 包含的基本事件数为 5!个,所以【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 事件

15、B 是从 10 个盒子中任选 5 个(共有 C50 种选法),然后将选定的 5 个盒子中各放入一个球(共有 5!种放法),由乘法法则,事件 B 包含 C1055!个基本事件,所以【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 事件 C 的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球 ”,即“5 个球都放入其他 9 个盒子中” , 包含的基本事件数为 95,所以【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 令 A=x 与 y 之和不超过 1,之积不小于 009,如图 32 所示,则有 =04018ln 302【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由题意知 YB(5,p),其中于是 Y 的

16、分布律为PY=k=C5k(e2 )k(1e 2 )5k ,k=0,1,2,3,4,5,且 PY1=1PY=0=1(1e 2 )5051 67【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 因为(X,Y)服从 G=(x,y)x 2+y21上的均匀分布,所以所以当1y1 时,有【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 依题意有EXi=02,DX i=02(102)=0 16,根据中心极限定理可知,所求概率为=1(25)=(25)=09 938【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 因 又由切比雪夫不等式有因此得 为 的一致估计【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率

17、论与数理统计22 【正确答案】 设 Ai=抽取的一箱中含有 i 件次品(i=0,1,2),则 A0,A 1,A 2构成完备事件组,且 P(A0)=08,P(A 1)=015,P(A 2)=005设 B=一次通过验收,则 P(BA 0)=1,P(BA 1)= 由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由上一小题和贝叶斯公式得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 A=飞机被击落 ,B i=飞机中 i 弹,i=1 ,2,3则 P(A)=P(B1)P(A B1)+P(B2)P(AB 2)+P(B3)P(AB 3) =02P(B 1)+06P(B 2)+P(B3)设

18、Ci=第 i 个人命中,i=1,2,3,则 P(B1)=04050 3+060507+060503=036 ,P(B 2)= =040 503+040507+060507=041 , P(B 3)=P(C1C2C3)=040507=014,所以 P(A)=02036+06041+014=0458【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设二次方程的两个根为 X1,X 2,则它们的概率密度都为记 x 的概率密度为 fX(x),则由 X=X1+X2 得 FX(x)= +f(t)f(xt)dt ,其中 即f(t)f(xt) 仅在如图 3 一 11 所示的平行四边形(阴影部分) 中取值为 ,在

19、 tOx 平面的其余部分取值为 0因此: 当 x0 或 x4 时,f X(x)=0;记 Y 的概率密度为 fY(y),则由 Y=X1X2 得在 tOy 平面的其余部分取值都为 0因此: 当 y0 或 y4 时,f Y(y)=0; 当0y4 时,【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)因为 aXb,所以 EaEXEb,即 aEXb(2)因为对于任意的常数 C 有 DXE(X C) 2,取【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)X 3,3,则 Y1,10当 y1 时,F Y(y)=PYy=P =0;当 y10 时,F Y(y)=PYy=P=1;当 1y2 时,由全概

20、率分解思想得 F Y(y)=PYy=PYy,X1+PYy,X1 =PX2+1Y,X1+P2y,X1当2y10 时,由全概率分解思想得 F Y(y)=PYy=PYy,X 1+PYy,X1 =PX2+1Y,X1+P2y,X1(2)Coy(X,Y)=E(XY)EX.EY ,其中 EX=0 E(XY)=EXg(x)= +xg(x)f(x)dx。 = 1x(x2+1)f(x)dx+1+x.2f(x)dx综上可得 Cov(X,Y)=E(XY)EX?EY=2【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 取对数得解似然方程 得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 S=0025

21、,S 2=0000625,n=15,问题是检验假设H0: 2=00004H 0=02=2=00004;选统计量 2 并计算其值对于给定的 =005,查 2分布表得临界值 2 2(14)=0025 2(14)=26119, 12 2(14)=0975 2(14)=5629 ;因为 0975 2=5629 2=21875 0025 2=26119,所以接受 H0,即总体方差与规定的 2=00004 无显著差别【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 出现 1 点的次数从而有【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 当 ij 时,由于 Xi 与 Yj 相互独立,所以 E(XiYj)=E(Xi)E(Yj)= ; 当 i=j 时,因为 Xj 和 Yj 均为仅取 0,1 值的随机变量,所以X jYj=1=Xj=1,Y j=1= (第 i 次投掷时不可能既出现 1 点,同时又出现 6 点),因此当i=j 时,有 P(XiYj=0,PX iYj=0=1PX iYj=1=1由此得 E(X iYj)=0【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 由于 XY=(X0+X2+Xn)(Y0+Y2+Yn)=且综上可得【知识模块】 概率论与数理统计

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