1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下 4 个结论：教室中有 r 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 教室中有 4 个学生，则至少有两个人的生日在同一个月的概率是 将C，C，E ，E，I，N，S 共 7 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 X1，X 2，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y=
2、 (X1+X1+X3)，则 Y2 的数学期望为 ( )3 A，B，C 为随机事件，A 发生导致 B 与 C 最多有一个发生，则有 ( )4 设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有 ( )（A）PXC=E(XC)（B） PX C E(XC)（C） PX CE(XC)（D）PXCDX 25 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn(n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 如果 PX a= ( )（A）与 及 n 都有关（B）与 及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关6 设 A 与 B 是两随机事件，P(B)=06
3、 且P(AB)=05，则 = ( )（A）01（B） 03（C） 05（D）077 设 为来自总体 XN(， 2)(2 未知)的一个简单随机样本的样本均值若已知在置信水平 1 下， 的置信区间长度为 2，则在显著性水平 下，对于假设检验问题 H0：=1 ，H 1：1，要使得检验结果接受 H01 则应有 ( )（A） (1，1)（B） ( 1，3)（C） ( 2，2)（D） (0，2)二、填空题8 设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 且 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_9 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则对 x0，f YX
4、 (yx)=_10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y，V=X 的协方差 Cov(U，V)为_11 设随机变量 X 与X 服从同一均匀分布 U(a，b)，已知 X 的概率密度 f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则 b=_12 设随机变量 X1，X 1，X 3 相互独立，且则 EX1(X1+X2X 3)=_13 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个
5、球，同时有标号为1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放多个球，计算下列事件的概率：14 A=某指定的五个盒子中各有一个球 ；15 B=每个盒子中最多只有一个球；16 C=某个指定的盒子不空17 随机地取两个正数 x 和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x 与 y 之和不超过 1，积不小于 009 的概率18 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 的指数分布若等待时间超过 10 分钟，他就离开设他一个月内要来银行 5 次，以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布
6、律及 PY119 设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下 X的条件概率密度 fXY (x y)20 某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 10 个或更多个终端在使用的概率21 设总体 X 服从 U(0，)，X 1，X 2，X n 为总体的样本证明： 为 的一致估计21 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随机抽取一箱，随机检验其中 4 只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求：22
7、一次通过验收的概率；23 通过验收的箱中确实无残品的概率24 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率25 设二次方程 x2Xx+Y=0 的两个根相互独立，且都服从(0，2)上的均匀分布，分别求 X 与 Y 的概率密度26 设连续型随机变量 X 的所有可能取值在区间a，b之内，证明：(1)aEXb；(2)27 设 X 的概率密度为 求：(1)FY(y)；(2)Cov(X，Y)28 设总体 X 的分布列为截尾几何分布 PX=k)= k 1(1) ，k
8、=1，2，r， PX=r+1=r， 从中抽得样本 X1，X 2，X n 其中有 m 个取值为 r+1，求 的最大似然估计29 从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得 S=0025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2=00004 有无显著差别(=005，椭圆度服从正态分布)29 把一颗骰子独立地投掷 n 次，记 1 点出现的次数为随机变量 X，6 点出现的次数为随机变量 Y，记i，j=1 ，2， ，n30 求 EX，DX；31 分别求 ij 时与 i=j 时 E(XiYi)的值；32 求 X 与 Y 的相关系数考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 76 答案与解析一、选择题下列每题给
9、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对于 4 个结论分别分析如下： 这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在 365 天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r 个球随机放人不同的 r 个盒子中的概率”设 A1=他们的生日都不相同，则 (2)设 A2=至少有两个人的生日在同一个月，考虑对立事件，则(3)设 A3=恰好排成 SCIENCE，将 7 个字母排成一行的一种排法看作基本事件，则所有的排法：字母 C 在 7 个位置中占两个位置，则共有 C72 种占法，字母 E 在余下的 5 个位置中占两
10、个位置，共有 C52 种占法，字母 I，N，S 在剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3!种，故基本事件总数为 C72C523!=1260(种)，而 A3 中的基本事件只有一个，故(4)设 A4=最小号码为 5，则综上所述，有 3 个结论正确，选择 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X1+X2+X3P(3) ， E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3， EY=E (X1+X2+X3=，=E(Y2)(EY) 2=E(Y2) 2，故 选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题
11、解析】 B 与 C 最多有一个发生就是 B 与 C 不可能同时发生，即为 所以A 发生导致 B 与 C 最多有一个发生，得到 当然也可以将 B 与 C 最多有一个发生理解为至少 B 与 C 中有一个不发生，即【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因为故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设有，XN(， 2)， 因此【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 又 P(B)=06，则 P(AB)=0 3所以 =1EP(B) P(AB)=07【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 因 2
12、 未知，置信区间为则置信区间长度为要使得检验结果接受 H0，则应有接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 已知事件 A 与 B 独立，且 P(AB)=P(BA) ，故 P(A)P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)=P(B) ， 所以【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)的表达式知 X 与 y 相互独立，且关于 X 与关于 Y 的边缘概率密度分别为 由此可知，当 x0 时，由 fX(x)0 知 fYX (yx)=f Y(y)=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=Co
13、v(X+2Y，X)=DX2Cov(X，Y) =DX2E(XY)+2EXEY， 其中关于 X 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 因 XU(a，b)，则XU(b，a)，又 X 与X 同分布，故有a= b，即 XU( b ，b)，所以又因为 f2(x)也是概率密度，所以有 1= +f2(x)dx=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由数学期望的性质有 EX 1(X1+X2X 3)=E(X12+X1X2X 1X3)=E(X12)+EX1EX2EX 1 EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2EX 1EX3【知识模块】 概率论与
14、数理统计13 【正确答案】 (4804，5196)【试题解析】 设样本为 X1，X 2，X n，EX= ，DX= 2，由中心极限定理知，当 n 充分大时有：近似服从 N(0，1)，于是 即 的置信度近似为 1(比如 1=095)的置信区间是=(4804， 5196) 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 每个球都有 10 种放法，所以，基本事件总数(放法总数)为n=105 5 个球放入指定的 5 个盒子中，事件 A 包含的基本事件数为 5!个，所以【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 事件
15、B 是从 10 个盒子中任选 5 个(共有 C50 种选法)，然后将选定的 5 个盒子中各放入一个球(共有 5!种放法)，由乘法法则，事件 B 包含 C1055!个基本事件，所以【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 事件 C 的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球 ”，即“5 个球都放入其他 9 个盒子中” ， 包含的基本事件数为 95，所以【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 令 A=x 与 y 之和不超过 1，之积不小于 009，如图 32 所示，则有 =04018ln 302【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由题意知 YB(5，p)，其中于是 Y 的
16、分布律为PY=k=C5k(e2 )k(1e 2 )5k ，k=0，1，2，3，4，5，且 PY1=1PY=0=1(1e 2 )5051 67【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 因为(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21上的均匀分布，所以所以当1y1 时，有【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 依题意有EXi=02，DX i=02(102)=0 16，根据中心极限定理可知，所求概率为=1(25)=(25)=09 938【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 因 又由切比雪夫不等式有因此得 为 的一致估计【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率
17、论与数理统计22 【正确答案】 设 Ai=抽取的一箱中含有 i 件次品(i=0，1，2)，则 A0，A 1，A 2构成完备事件组，且 P(A0)=08，P(A 1)=015，P(A 2)=005设 B=一次通过验收，则 P(BA 0)=1，P(BA 1)= 由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由上一小题和贝叶斯公式得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 A=飞机被击落 ，B i=飞机中 i 弹，i=1 ，2，3则 P(A)=P(B1)P(A B1)+P(B2)P(AB 2)+P(B3)P(AB 3) =02P(B 1)+06P(B 2)+P(B3)设
18、Ci=第 i 个人命中，i=1，2，3，则 P(B1)=04050 3+060507+060503=036 ，P(B 2)= =040 503+040507+060507=041 ， P(B 3)=P(C1C2C3)=040507=014，所以 P(A)=02036+06041+014=0458【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设二次方程的两个根为 X1，X 2，则它们的概率密度都为记 x 的概率密度为 fX(x)，则由 X=X1+X2 得 FX(x)= +f(t)f(xt)dt ，其中 即f(t)f(xt) 仅在如图 3 一 11 所示的平行四边形(阴影部分) 中取值为 ，在
19、 tOx 平面的其余部分取值为 0因此： 当 x0 或 x4 时，f X(x)=0；记 Y 的概率密度为 fY(y)，则由 Y=X1X2 得在 tOy 平面的其余部分取值都为 0因此： 当 y0 或 y4 时，f Y(y)=0； 当0y4 时，【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb(2)因为对于任意的常数 C 有 DXE(X C) 2，取【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)X 3，3，则 Y1，10当 y1 时，F Y(y)=PYy=P =0；当 y10 时，F Y(y)=PYy=P=1；当 1y2 时，由全概
20、率分解思想得 F Y(y)=PYy=PYy，X1+PYy，X1 =PX2+1Y，X1+P2y，X1当2y10 时，由全概率分解思想得 F Y(y)=PYy=PYy，X 1+PYy，X1 =PX2+1Y，X1+P2y，X1(2)Coy(X，Y)=E(XY)EX.EY ，其中 EX=0 E(XY)=EXg(x)= +xg(x)f(x)dx。 = 1x(x2+1)f(x)dx+1+x.2f(x)dx综上可得 Cov(X，Y)=E(XY)EX?EY=2【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 取对数得解似然方程 得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 S=0025
21、，S 2=0000625，n=15，问题是检验假设H0： 2=00004H 0=02=2=00004；选统计量 2 并计算其值对于给定的 =005，查 2分布表得临界值 2 2(14)=0025 2(14)=26119， 12 2(14)=0975 2(14)=5629 ；因为 0975 2=5629 2=21875 0025 2=26119，所以接受 H0，即总体方差与规定的 2=00004 无显著差别【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 出现 1 点的次数从而有【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 当 ij 时，由于 Xi 与 Yj 相互独立，所以 E(XiYj)=E(Xi)E(Yj)= ； 当 i=j 时，因为 Xj 和 Yj 均为仅取 0，1 值的随机变量，所以X jYj=1=Xj=1，Y j=1= (第 i 次投掷时不可能既出现 1 点，同时又出现 6 点)，因此当i=j 时，有 P(XiYj=0，PX iYj=0=1PX iYj=1=1由此得 E(X iYj)=0【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 由于 XY=(X0+X2+Xn)(Y0+Y2+Yn)=且综上可得【知识模块】 概率论与数理统计
