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[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编7及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 x 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O,则( )(A)E A 不可逆,E+A 不可逆(B) EA 不可逆,E+A 可逆(C) EA 可逆,E+A 可逆(D)E A 可逆,E+A 不可逆2 设 A 是三阶方阵,将 A 的第一列与第二列交换得 B,再把 B 的第二列加到第三列得 C,则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )3 设 A 为三阶矩阵,将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B,再交换 B 的第二行与第三行得单位矩阵。记 则 A=( )(A)P

2、1P2(B) P11 P2(C) P2P1(D)P 2P114 设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,E 为 m 阶单位矩阵。若 AB=E,则( )(A)秩 r(A)=m,秩 r(B)=m(B)秩 r(A)=m,秩 r(B)=n(C)秩 r(A)=n,秩 r(B)=m(D)秩 r(A)=n,秩 r(B)=n5 设 其中 c1,c 2,c 3,c 4 为任意常数,则下列向量组线性相关的是( )(A) 1, 2, 3(B) 1, 2, 4 (C) 1, 3, 4 (D) 2, 3, 46 设 1, 2, , s 均为 n 维列向量,A 是 mn 矩阵,下列选项正确的是( )(A)若 1, 2

3、, s 线性相关,则 A1,A 2, ,A s 线性相关(B)若 1, 2, s 线性相关,则 A1,A 2,A s 线性无关(C)若 1, 2, s 线性无关,则 A1,A 2,A s 线性相关(D)若 1, 2, s 线性无关,则 A1,A 2, ,A s 线性无关7 设 1, 2, 3 是三维向量空间 R3 的一组基,则由基 1, 到基1+2, 2+3, 3+1 的过渡矩阵为( )8 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0,其中 A,B 均为 mn 矩阵,现有 4 个命题:若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解,则秩(A) 秩(B);若秩(A)秩(B),则 Ax=0 的解均是 Bx=

4、0 的解;若 Ax=0 与 Bx=0 同解,则秩(A)=秩(B);若秩(A)=秩(B),则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的是( )(A)(B) (C) (D)9 设 1, 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1, 2,则1, A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )(A) 10(B) 20(C) 1=0(D) 2=010 设矩阵 则( )(A)A 与 C 相似,B 与 C 相似(B) A 与 C 相似,B 与 C 不相似(C) A 与 C 不相似,B 与 C 相似(D)A 与 C 不相似,B 与 C 不相似11 设 则( )(A)合同且相似(B)合同但不

5、相似(C)不合同但相似(D)不合同且不相似12 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x2x3+4x1x3,则 f(x1,x 2,x 3)=2 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为( )(A)单叶双曲面(B)双叶双曲面(C)椭球面(D)柱面二、填空题13 设矩阵 矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E,其中 A*为 A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B=_。14 设矩阵 A 满足 A2+A 4E=0,其中 E 为单位矩阵,则(AE) 1 =_。15 设矩阵 1, 2, 3 为线性无关的 3 维列向量组,则向量组A1,A 2,A 3 的秩为_ 。16 已知方程

6、组 无解,则 a=_。17 设 A 为二阶矩阵, 1, 2 为线性无关的二维列向量,A 1=0,A 2=21+2,则A 的非零特征值为_。18 已知实二次型 f(x12,x 22,x 32)=a(x1+x2+x3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化为标准形 f=6y12,则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知三阶矩阵 A 与三维向量 x,使得向量组 x, Ax,A 2x 线性无关,且满足A2x=3Ax2A 2x。 ()记 P=(x,Ax,A 2x),求三阶矩阵 B,使 A=PBP1 ; ()计算行列式A+E。20 设向量组 1, 2

7、, 3 为 R3 的一个基, 1=21+2k3, 2=22, 3=1+(k+1)3。 ()证明向量组 1, 2, 3 为 R3 的一个基; () 当 k 为何值时,存在非零向量 在基 1, 2, 3 与基 1, 2, 3 下的坐标相同,并求所有的 。21 已知三阶矩阵 A 的第一行是(a,b,c) ,a,b,c 不全为零,矩阵 B= (k为常数),且 AB=O,求线性方程组 Ax=0 的通解。22 设矩阵 E 为三阶单位矩阵。 ()求方程组 Ax=0 的一个基础解系;() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B。23 已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解。()证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A

8、)=2;()求 a,b 的值及方程组的通解。24 设 ()计算行列式A ;()当实数 a 为何值时,方程组 Ax= 有无穷多解,并求其通解。25 设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a1 有公共解,求 a 的值及所有公共解。26 设矩阵 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化。27 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1, 2=2, 3=2。 1=(1,一 1,1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量,记 B=A54A 3+E,其中 E 为三阶单位矩阵。 ()验证 1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; ()求矩阵 B。28

9、已知矩阵 ()求 A99;() 设三阶矩阵 B=(1, 2, 3)满足B2=BA。记 B100=(1, 2, 3),将 1, 2, 3 分别表示为 1, 2, 3 的线性组合。29 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22,且 Q 的第三列为 ()求矩阵 A; () 证明 A+E 为正定矩阵,其中 E 为三阶单位矩阵。30 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=ax12+ax22+(a1)x 32+2x1x32x 2x3。 ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值; () 若二次型 f 的规范形为 y12+y22,求 a 的值。31 已知平

10、面上三条不同直线的方程分别为 l 1:ax+2by+3c=0, l 2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0。 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。32 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记() 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T;()若 , 正交且均为单位向量,证明二次型 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用单位

11、矩阵 E,将 A3=O 变形为 EA 3=E 和 A3+E=E,进一步分解为 (EA)(E+A+A 2)=EA 3=E, (E+A)(EA+A 2)=E+A3=E, 则 EA,E+A 均可逆。2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设,有应选 D。3 【正确答案】 D【试题解析】 由初等矩阵与初等变换的关系知 AP1=B,P 2B=E,所以A=BP11 =P21 P11 =P2P11 ,故选 D。4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E,所以 r(AB)=m。又因为 r(AB)=mmin(A),r(B) ,即 r(A)m,r(B)m,而 r(A)m,r(B)m ,所以 r(A)=m,r(

12、B)=m。因此选 A。5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1, 3, 4= =0,可知1, 3, 4 线性相关,故选 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=(1, 2, s),则(A 1,A 2,A s)=AB。所以,若向量组 1, 2, s 线性相关,则 r(B)s,从而 r(AB)r(B)s ,向量组A1,A 2,A s 也线性相关,故选 A。7 【正确答案】 A【试题解析】 由基 1, 到 1+2, 2+3, 3+1 的过渡矩阵 M 满足(1+2, 2+3, 3+1)=8 【正确答案】 B【试题解析】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解,则 n 一秩(A)=n 一秩(B),即秩

13、(A)=秩(B),命题成立,可排除 A、C;但反过来,若秩(A)=秩 B),则不能推出 Ax=0 与Bx=0 同解,如 则秩(A)=秩(B)=1,但 Ax=0 与 Bx=0 不同解,可见命题不成立,排除 D,故正确选项为 B。9 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A(1+2)=0,则(k 1+k21)1+k222=0。由于 1, 2 线性无关,于是有 当 20 时,显然有 k1=0,k 2=0,此时 1,A( 1+2)线性无关;反过来,若 1, A(1+2)线性无关,则必然有 20(否则, 1 与 A(1+2)=11 线性相关),故应选 B。10 【正确答案】 B【试题解析】 由E

14、A=0 可知,矩阵 A 的特征值为 1,2,2。又因为所以 3r(2EA)=2,故矩阵 A 可相似对角化,且 由EB=0 可知,矩阵 B 的特征值为 1,2,2。又因为所以 3r(2EB)=1,故矩阵 B 不可相似对角化。 矩阵C 本身就是对角矩阵,且其特征值为 1,2,2,所以 A 与 C 相似,B 与 C 不相似。11 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵,必相似于对角阵 。E A =3(4)=0,得 A 的特征值为 1=4, 2=3=4=0,故必存在正交矩阵 Q,使得 Q11 AQ=QTAQ= 因此,A 与 B 相似。由两矩阵合同的充要条件:实对称矩阵 A 与 B 合同的

15、充要条件是 A 与 B 相似。因此,A 与 B 也合同。即 A 与 B 合同且相似。应选 A。12 【正确答案】 B【试题解析】 二次型矩阵 矩阵 A 的特征多项式为E 一 A=(+1) 2 (5),则矩阵 A 的特征值为1,1,5。从而可知二次型的正惯性指数为 1,负惯性指数为 2,所以二次型 f(x1,x 2,x 3)=2 表示双叶双曲面。二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 在已知等式两边同时右乘 A,得 ABA*A=2BA*A+A,而A =3,于是有 3AB=6B+A,即(3A 一 6E)B=A,再在两边取行列式,有3A6EB =A =3 ,而3A6E=27 ,故所求行列式为B

16、= 。14 【正确答案】 (A+2E)【试题解析】 要求 AE 的逆矩阵,应把题中所给条件化成 (AE)B=E 的形式。由题设 A 2+A4E=0=A 2+A2E=2E=(A E)(A+2E)=2E,即(AE). (A+2E)=E,故(A E)1 = (A+2E)。15 【正确答案】 2【试题解析】 对矩阵 A 作初等行变换,即则 r(A)=2。 因为(A 1,A 2,A 3)=A(1, 2, 3),且 1, 2, 3 线性无关,所以矩阵 (1, 2, 3)可逆,从而向量组 A1,A 2,A 3 的秩为 2。16 【正确答案】 1【试题解析】 化增广矩阵为阶梯形,有当 a= 1 时,系数矩阵的

17、秩为 2,而增广矩阵的秩为 3,根据方程组解的判定,其系数矩阵与增广矩阵的秩不同,因此方程组无解。 当 a=3 时,系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2,由方程组解的判定,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,而且小于未知量的个数,所以方程组有无穷多解。17 【正确答案】 1【试题解析】 由 A1=0, A2=21+2,可知 A(21+2)=21+2,由于 1, 2 线性无关,故 21+20,则由特征值、特征向量的定义可知:1 为矩阵 A 的特征值,21+2 是对应的特征向量。 又由 A1=0 可知,0 是矩阵 A 的特征值, 1 是对应的特征向量。由于 A 为二阶矩阵,仅有两个特征值,可知 A 不再有其他

18、特征值,故A 的非零特征值为 1。18 【正确答案】 2【试题解析】 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值,所以 6,0,0 是 A 的特征值。又因a ii=i,故a+a+a=6+0+0,即 a=2。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 () 求 B,使 A=PBP1 成立,等式两边右乘 P,即 AP=PB 成立。由题设知,AP=A(x ,Ax,A 2x)=(Ax,A 2x,A 3x),又 A3x=3Ax 一 2A2x,故有AP=(Ax,A 2x,3Ax2A 2x)=(x,Ax,A 2x) 即如果取此时的

19、 B 满足 A=PBP1 ,即为所求。()由()及矩阵相似的定义知,A 与 B 相似。由矩阵相似的性质:若 AB,则 f(A)f(B),则 A+E 与 B+E也相似。又由相似矩阵的行列式相等,得A+E=B+E= =一 4。20 【正确答案】 () 证明: ( 1, 2, 3)=(21+2k3,2 2, 1+(k+1)3)=(1, 2, 3 ) 因此 1, 2, 3 为 R3 的一个基。()设非零向量 在两组基下的坐标为 x=(x1,x 2,x 3)T,因( 1, 2, 3 )=(1, 2, 3)所以 =( 1, 2, 3 )(x1,x 2,x 3)T=(1, 2, 3)(x1,x 2,x 3)

20、T=(1, 2, 3 ) (x1,x 2,x 3)T,而 1, 2, 3 线性无关,所以上述问题转化成线性方程组 有非零解,故 即 k=0。此时x=k1(1,0,一 1)T,k 1 是非零常数。所以 =k1(1 一 3),k 10。21 【正确答案】 由 AB=O 知,B 的每一列均为 Ax=0 的解,且 r(A)+r(B)3。 若k9,则 r(B)=2,于是 r(A)1,又 r(A)1,故 r(A)=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3r(A)=2,矩阵 B 的第一、第三列线性无关,可作为其基础解系,故 Ax=0 的通解为 k1,k 2 为任意常数。若 k=9,则,r(B

21、)=1,从而 1r(A)2。若 r(A)=2,则 Ax=0 的通解为 x=k1 k1 为任意常数。若 r(A)=1,则 Ax=0 的同解方程组为:ax 1+bx2+cx3=0,不妨设 a0,则其通解为k1,k 2 为任意常数。22 【正确答案】 () 对系数矩阵 A 进行初等行变换如下:得到方程组 Ax=0 的同解方程组 得到 Ax=0 的一个基础解系() 显然 B 矩阵是一个 43 矩阵,设 对增广矩阵(A, E)进行初等行变换如下:由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为即满足AB=E 的所有矩阵为 其中 c1,c 2,c 3 为任意常数。23 【正确答案】 () 设 1, 2, 3 是方程

22、组 Ax= 的三个线性无关的解,其中则 1 2, 1 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解,且线性无关(否则,易推出 1, 2, 3 线性相关,矛盾)。所以 nr(A)2,即4r(A)2=r(A)2。又矩阵 A 中有一个二阶子式 =10,所以 r(A)2。因此 r(A)=2。()因为又r(A)=2,则 对原方程组的增广矩阵 施行初等行变换,故原方程组与方程组同解。取 x3,x 4 为自由变量,则 故所求通解为 k1,k 2 为任意常数。24 【正确答案】 ()()可知要使得原线性方程组有无穷多解,则有 1a 4=0 且a a 2=0,解得 a=1。此时,原线性方程组增广矩阵为 进一步化为行

23、最简形得 可知导出组的基础解系为故其通解为 其中 k 为任意常数。25 【正确答案】 将方程组与方程联立得非齐次线性方程组:若此非齐次线性方程组有解,则方程组与方程有公共解,且(*)的解即为所求全部公共解。对(*)的增广矩阵作初等行变换得: 当a=1 时,有 r(A)= =23,方程组(*)有解,即方程组与方程有公共解,其全部公共解即为(*)的通解,此时 方程组(*)为齐次线性方程组,其基础解系为 所以方程组与方程的全部公共解为 k k 为任意常数。当 a=2时,有 r(A)= =3,方程组(*)有唯一解,此时 故方程组(*)的解为 即方程组与方程的唯一公共解为26 【正确答案】 A 的特征多

24、项式为若 =2 是特征方程的二重根,则有 2216+18+3a=0,解得 a=2。此时, A 的特征值为 2,2,6。矩阵 2EA= 的秩为 1,故 =2 对应的线性无关的特征向量有两个,从而 A 可相似对角化。 若 =2 不是特征方程的二重根,则 28+18+3a 为完全平方,从而 18+3a=16,解得 a= 此时,A 的特征值为 2,4,4,矩阵 4EA=的秩为 2,故 =4 对应的线性无关的特征向量只有一个,从而 A不可相似对角化。27 【正确答案】 () 由 A1=1 得 A 21=A1=1,进一步 A 31=1,A 51=1,故 B1=(A54A 3+E)1=A514A。 1+1=

25、14 1+1=2 1,从而 1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量。 由 B=A54A 3+E 及 A 的三个特征值1=1, 2=2, 3=2,得 B 的三个特征值为 1=2, 2=1, 3=1。 设 2, 3 为 B的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量,又 A 为对称矩阵,得 B 也是对称矩阵,因此 1 与 2, 3 正交,即 1T2=0, 1T3=0。所以 2, 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解(1,1,1) =0,其基础解系为即 B 的全部特征值的特征向量为:其中 k1 是不为零的任意常数,k 2,k 3 是不同时为零的任意常数。()令 P=(1, 2, 3)

26、= 得28 【正确答案】 () 矩阵 A 的特征多项式为 =(+1)(+2),则 A 的特征值为 1=1, 2=2, 3=0。 解线性方程组( iEA)x=0(i=1,2, 3)可得特征值 1=1, 2=2, 3=0 对应的特征向量分别为 1=(1, 1,0) T, 2=(1,2,0) T, 3=(3,2,2) T,令 P=(1, 2, 3),则 P1 AP=()由 B2=BA 可知,B3=B2A=BAA=BA2,依次类推,B 100=BA99,即( 1, 2, 3)=(1, 2, 3)则 1=(2992) 1+(2100 2)2, 2=(12 99)1+(12 100)2, 3=(22 98

27、)1+(22 99)2。29 【正确答案】 () 由题意知 QTAQ=,其中 则 A=QQT。设 Q的其他任一列向量为(x 1,x 2,x 3)T,因为 Q 为正交矩阵,所以即 x1+x3=0,其基础解系含两个线性无关的解向量,即为 1=(1,0,1) T, 2=(0,1,0) T,把 1 单位化()证明:因为(A+E) T=AT+E=A+E,所以 A+B 为实对称矩阵,又因为 A 的特征值为1,1,0,所以 A+E 特征值为 2,2,1,且都大于 0,因此 A+B 为正定矩阵。30 【正确答案】 () 二次型 f(x1,x 2,x 3)对应的实对称矩阵为=(a)(a)(a+1)一 2=(a)

28、(a+2)(a 1),则1=a, 2=a 2, 3=a+1。 ()若规范形为 y12+y22,说明有两个特征值为正,一个为0。由于 a2 a a+1,所以 a2=0 ,即 a=2。31 【正确答案】 必要性。设三条直线 l1,l 2,l 3 交于一点,那么线性方程组有唯一解,故系数矩阵的秩均为 2,于是有 由于=6(a+b+c)(a+b2+c2abac bc) =3(a+b+c)(ab) 2+(bc)2+(ca) 2,但根据题设 (a 一 b)2+(bc) 2+(ca) 20,故 a+b+c=0。 充分性。由a+b+c=0,且从必要性的证明可知, 由于故 r(A)=2。所以 r(A)= =2。

29、因此方程组(*)有唯一解,即三直线 l1,l 2,l 3 交于一点。32 【正确答案】 () f=(2a12+b12)x12+(2a22+b22)x22+(2a32+b32)x32+(4a1a2+2b1b2)x1x2 +(4a1a3+b1b3)x1x3+(4a1a3+2b2b3)x1x3,则 f 对应的矩阵为=2T+T。()设 A=2T+T,由于, 正交,所以 T=T=0,则 A=(2 T+T)=2 2+T=2,所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量; A=(2 T+T)=2T+ 2=,所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)=2,所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。 故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。

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