1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 x 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆2 设 A 是三阶方阵，将 A 的第一列与第二列交换得 B，再把 B 的第二列加到第三列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )3 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行得单位矩阵。记 则 A=( )（A）P
2、1P2（B） P11 P2（C） P2P1（D）P 2P114 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵。若 AB=E，则( )（A）秩 r(A)=m，秩 r(B)=m（B）秩 r(A)=m，秩 r(B)=n（C）秩 r(A)=n，秩 r(B)=m（D）秩 r(A)=n，秩 r(B)=n5 设 其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4 （C） 1， 3， 4 （D） 2， 3， 46 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2
3、， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关7 设 1， 2， 3 是三维向量空间 R3 的一组基，则由基 1， 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为( )8 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=
4、0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的是( )（A）（B） （C） （D）9 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=010 设矩阵 则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似11 设 则( )（A）合同且相似（B）合同但不
5、相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似12 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x2x3+4x1x3，则 f(x1，x 2，x 3)=2 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为( )（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面二、填空题13 设矩阵 矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_。14 设矩阵 A 满足 A2+A 4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(AE) 1 =_。15 设矩阵 1， 2， 3 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组A1，A 2，A 3 的秩为_ 。16 已知方程
6、组 无解，则 a=_。17 设 A 为二阶矩阵， 1， 2 为线性无关的二维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_。18 已知实二次型 f(x12，x 22，x 32)=a(x1+x2+x3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化为标准形 f=6y12，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知三阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x， Ax，A 2x 线性无关，且满足A2x=3Ax2A 2x。 ()记 P=(x，Ax，A 2x)，求三阶矩阵 B，使 A=PBP1 ； ()计算行列式A+E。20 设向量组 1， 2
7、， 3 为 R3 的一个基， 1=21+2k3， 2=22， 3=1+(k+1)3。 ()证明向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基； () 当 k 为何值时，存在非零向量 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同，并求所有的 。21 已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵 B= (k为常数)，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解。22 设矩阵 E 为三阶单位矩阵。 ()求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B。23 已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解。()证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A
8、)=2；()求 a，b 的值及方程组的通解。24 设 ()计算行列式A ；()当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解。25 设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。26 设矩阵 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化。27 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=2。 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A54A 3+E，其中 E 为三阶单位矩阵。 ()验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B。28
9、已知矩阵 ()求 A99；() 设三阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足B2=BA。记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合。29 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q 的第三列为 ()求矩阵 A； () 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。30 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a1)x 32+2x1x32x 2x3。 ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值； () 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值。31 已知平
10、面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0。 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。32 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记() 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；()若 ， 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用单位
11、矩阵 E，将 A3=O 变形为 EA 3=E 和 A3+E=E，进一步分解为 (EA)(E+A+A 2)=EA 3=E， (E+A)(EA+A 2)=E+A3=E， 则 EA，E+A 均可逆。2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，有应选 D。3 【正确答案】 D【试题解析】 由初等矩阵与初等变换的关系知 AP1=B，P 2B=E，所以A=BP11 =P21 P11 =P2P11 ，故选 D。4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E，所以 r(AB)=m。又因为 r(AB)=mmin(A)，r(B) ，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m ，所以 r(A)=m，r(
12、B)=m。因此选 A。5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1， 3， 4= =0，可知1， 3， 4 线性相关，故选 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=(1， 2， s)，则(A 1，A 2，A s)=AB。所以，若向量组 1， 2， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故选 A。7 【正确答案】 A【试题解析】 由基 1， 到 1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵 M 满足(1+2， 2+3， 3+1)=8 【正确答案】 B【试题解析】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n 一秩(A)=n 一秩(B)，即秩
13、(A)=秩(B)，命题成立，可排除 A、C；但反过来，若秩(A)=秩 B)，则不能推出 Ax=0 与Bx=0 同解，如 则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题不成立，排除 D，故正确选项为 B。9 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A(1+2)=0，则(k 1+k21)1+k222=0。由于 1， 2 线性无关，于是有 当 20 时，显然有 k1=0，k 2=0，此时 1，A( 1+2)线性无关；反过来，若 1， A(1+2)线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1+2)=11 线性相关)，故应选 B。10 【正确答案】 B【试题解析】 由E
14、A=0 可知，矩阵 A 的特征值为 1，2，2。又因为所以 3r(2EA)=2，故矩阵 A 可相似对角化，且 由EB=0 可知，矩阵 B 的特征值为 1，2，2。又因为所以 3r(2EB)=1，故矩阵 B 不可相似对角化。 矩阵C 本身就是对角矩阵，且其特征值为 1，2，2，所以 A 与 C 相似，B 与 C 不相似。11 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，必相似于对角阵 。E A =3(4)=0，得 A 的特征值为 1=4， 2=3=4=0，故必存在正交矩阵 Q，使得 Q11 AQ=QTAQ= 因此，A 与 B 相似。由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵 A 与 B 合同的
15、充要条件是 A 与 B 相似。因此，A 与 B 也合同。即 A 与 B 合同且相似。应选 A。12 【正确答案】 B【试题解析】 二次型矩阵 矩阵 A 的特征多项式为E 一 A=(+1) 2 (5)，则矩阵 A 的特征值为1，1，5。从而可知二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 2，所以二次型 f(x1，x 2，x 3)=2 表示双叶双曲面。二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 在已知等式两边同时右乘 A，得 ABA*A=2BA*A+A，而A =3，于是有 3AB=6B+A，即(3A 一 6E)B=A，再在两边取行列式，有3A6EB =A =3 ，而3A6E=27 ，故所求行列式为B
16、= 。14 【正确答案】 (A+2E)【试题解析】 要求 AE 的逆矩阵，应把题中所给条件化成 (AE)B=E 的形式。由题设 A 2+A4E=0=A 2+A2E=2E=(A E)(A+2E)=2E，即(AE). (A+2E)=E，故(A E)1 = (A+2E)。15 【正确答案】 2【试题解析】 对矩阵 A 作初等行变换，即则 r(A)=2。 因为(A 1，A 2，A 3)=A(1， 2， 3)，且 1， 2， 3 线性无关，所以矩阵 (1， 2， 3)可逆，从而向量组 A1，A 2，A 3 的秩为 2。16 【正确答案】 1【试题解析】 化增广矩阵为阶梯形，有当 a= 1 时，系数矩阵的
17、秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，根据方程组解的判定，其系数矩阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解。 当 a=3 时，系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解。17 【正确答案】 1【试题解析】 由 A1=0， A2=21+2，可知 A(21+2)=21+2，由于 1， 2 线性无关，故 21+20，则由特征值、特征向量的定义可知：1 为矩阵 A 的特征值，21+2 是对应的特征向量。 又由 A1=0 可知，0 是矩阵 A 的特征值， 1 是对应的特征向量。由于 A 为二阶矩阵，仅有两个特征值，可知 A 不再有其他
18、特征值，故A 的非零特征值为 1。18 【正确答案】 2【试题解析】 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值。又因a ii=i，故a+a+a=6+0+0，即 a=2。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 () 求 B，使 A=PBP1 成立，等式两边右乘 P，即 AP=PB 成立。由题设知，AP=A(x ，Ax，A 2x)=(Ax，A 2x，A 3x)，又 A3x=3Ax 一 2A2x，故有AP=(Ax，A 2x，3Ax2A 2x)=(x，Ax，A 2x) 即如果取此时的
19、 B 满足 A=PBP1 ，即为所求。()由()及矩阵相似的定义知，A 与 B 相似。由矩阵相似的性质：若 AB，则 f(A)f(B)，则 A+E 与 B+E也相似。又由相似矩阵的行列式相等，得A+E=B+E= =一 4。20 【正确答案】 () 证明： ( 1， 2， 3)=(21+2k3，2 2， 1+(k+1)3)=(1， 2， 3 ) 因此 1， 2， 3 为 R3 的一个基。()设非零向量 在两组基下的坐标为 x=(x1，x 2，x 3)T，因( 1， 2， 3 )=(1， 2， 3)所以 =( 1， 2， 3 )(x1，x 2，x 3)T=(1， 2， 3)(x1，x 2，x 3)
20、T=(1， 2， 3 ) (x1，x 2，x 3)T，而 1， 2， 3 线性无关，所以上述问题转化成线性方程组 有非零解，故 即 k=0。此时x=k1(1，0，一 1)T，k 1 是非零常数。所以 =k1(1 一 3)，k 10。21 【正确答案】 由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3。 若k9，则 r(B)=2，于是 r(A)1，又 r(A)1，故 r(A)=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3r(A)=2，矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为 k1，k 2 为任意常数。若 k=9，则，r(B
21、)=1，从而 1r(A)2。若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解为 x=k1 k1 为任意常数。若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1+bx2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为k1，k 2 为任意常数。22 【正确答案】 () 对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：得到方程组 Ax=0 的同解方程组 得到 Ax=0 的一个基础解系() 显然 B 矩阵是一个 43 矩阵，设 对增广矩阵(A， E)进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为即满足AB=E 的所有矩阵为 其中 c1，c 2，c 3 为任意常数。23 【正确答案】 () 设 1， 2， 3 是方程
22、组 Ax= 的三个线性无关的解，其中则 1 2， 1 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性无关(否则，易推出 1， 2， 3 线性相关，矛盾)。所以 nr(A)2，即4r(A)2=r(A)2。又矩阵 A 中有一个二阶子式 =10，所以 r(A)2。因此 r(A)=2。()因为又r(A)=2，则 对原方程组的增广矩阵 施行初等行变换，故原方程组与方程组同解。取 x3，x 4 为自由变量，则 故所求通解为 k1，k 2 为任意常数。24 【正确答案】 ()()可知要使得原线性方程组有无穷多解，则有 1a 4=0 且a a 2=0，解得 a=1。此时，原线性方程组增广矩阵为 进一步化为行
23、最简形得 可知导出组的基础解系为故其通解为 其中 k 为任意常数。25 【正确答案】 将方程组与方程联立得非齐次线性方程组：若此非齐次线性方程组有解，则方程组与方程有公共解，且(*)的解即为所求全部公共解。对(*)的增广矩阵作初等行变换得： 当a=1 时，有 r(A)= =23，方程组(*)有解，即方程组与方程有公共解，其全部公共解即为(*)的通解，此时 方程组(*)为齐次线性方程组，其基础解系为 所以方程组与方程的全部公共解为 k k 为任意常数。当 a=2时，有 r(A)= =3，方程组(*)有唯一解，此时 故方程组(*)的解为 即方程组与方程的唯一公共解为26 【正确答案】 A 的特征多
24、项式为若 =2 是特征方程的二重根，则有 2216+18+3a=0，解得 a=2。此时， A 的特征值为 2，2，6。矩阵 2EA= 的秩为 1，故 =2 对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化。 若 =2 不是特征方程的二重根，则 28+18+3a 为完全平方，从而 18+3a=16，解得 a= 此时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4EA=的秩为 2，故 =4 对应的线性无关的特征向量只有一个，从而 A不可相似对角化。27 【正确答案】 () 由 A1=1 得 A 21=A1=1，进一步 A 31=1，A 51=1，故 B1=(A54A 3+E)1=A514A。 1+1=
25、14 1+1=2 1，从而 1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量。 由 B=A54A 3+E 及 A 的三个特征值1=1， 2=2， 3=2，得 B 的三个特征值为 1=2， 2=1， 3=1。 设 2， 3 为 B的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又 A 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2， 3 正交，即 1T2=0， 1T3=0。所以 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解(1，1，1) =0，其基础解系为即 B 的全部特征值的特征向量为：其中 k1 是不为零的任意常数，k 2，k 3 是不同时为零的任意常数。()令 P=(1， 2， 3)
26、= 得28 【正确答案】 () 矩阵 A 的特征多项式为 =(+1)(+2)，则 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=0。 解线性方程组( iEA)x=0(i=1，2， 3)可得特征值 1=1， 2=2， 3=0 对应的特征向量分别为 1=(1， 1，0) T， 2=(1，2，0) T， 3=(3，2，2) T，令 P=(1， 2， 3)，则 P1 AP=()由 B2=BA 可知，B3=B2A=BAA=BA2，依次类推，B 100=BA99，即( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)则 1=(2992) 1+(2100 2)2， 2=(12 99)1+(12 100)2， 3=(22 98
27、)1+(22 99)2。29 【正确答案】 () 由题意知 QTAQ=，其中 则 A=QQT。设 Q的其他任一列向量为(x 1，x 2，x 3)T，因为 Q 为正交矩阵，所以即 x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，0) T，把 1 单位化()证明：因为(A+E) T=AT+E=A+E，所以 A+B 为实对称矩阵，又因为 A 的特征值为1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，且都大于 0，因此 A+B 为正定矩阵。30 【正确答案】 () 二次型 f(x1，x 2，x 3)对应的实对称矩阵为=(a)(a)(a+1)一 2=(a)
28、(a+2)(a 1)，则1=a， 2=a 2， 3=a+1。 ()若规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为0。由于 a2 a a+1，所以 a2=0 ，即 a=2。31 【正确答案】 必要性。设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，那么线性方程组有唯一解，故系数矩阵的秩均为 2，于是有 由于=6(a+b+c)(a+b2+c2abac bc) =3(a+b+c)(ab) 2+(bc)2+(ca) 2，但根据题设 (a 一 b)2+(bc) 2+(ca) 20，故 a+b+c=0。 充分性。由a+b+c=0，且从必要性的证明可知， 由于故 r(A)=2。所以 r(A)= =2。
29、因此方程组(*)有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点。32 【正确答案】 () f=(2a12+b12)x12+(2a22+b22)x22+(2a32+b32)x32+(4a1a2+2b1b2)x1x2 +(4a1a3+b1b3)x1x3+(4a1a3+2b2b3)x1x3，则 f 对应的矩阵为=2T+T。()设 A=2T+T，由于， 正交，所以 T=T=0，则 A=(2 T+T)=2 2+T=2，所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量； A=(2 T+T)=2T+ 2=，所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)=2，所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。 故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。
