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[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷107及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 107 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A,B 为两个 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(A)|A+B|=|A|+|B|(B)若 |AB|=0,则 A=0 或 B=0(C) |AB|=|A| |B|(D)|AB|=|A|B|2 设 A 为 n 阶矩阵,k 为常数,则(kA) *等于( ) (A)kA *(B) knA*(C) kn1 A*(D)k n(n1) A*3 设 P= ,Q 为三阶非零矩阵,且 PO=O,则( )(A)当 t=6 时,r(Q)=1(B)当 t=6 时,r(Q)=2(C)当 t6时,r(Q

2、)=1(D)当 t6时,r(Q)=24 若向量组 1, 2, 3, 4 线性相关,且向量 4 不可由向量组 1, 2, 3 线性表示,则下列结论正确的是( ) (A) 1, 2, 3 线性无关(B) 1, 2, 3 线性相关(C) 1, 2, 4 线性无关(D) 1, 2, 4 线性相关5 设 A 是 mn 矩阵,且 mn,下列命题正确的是( )(A)A 的行向量组一定线性无关(B)非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解(C) ATA 一定可逆(D)ATA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n6 若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B),则 A

3、X=0 的解都是BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解,则 r(A)=r(B)(14)若 r(A)=r(B),则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) (A)(1)(2)(B) (1)(3)(C) (2)(4)(D)(3)(4)7 设三阶矩阵 A 的特征值为1,1,2,其对应的特征向量为 1, 2, 3,令P=(32, 3,2 1),则 P1 AP 等于( )8 设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(A)存在可逆矩阵 P,使得 P1 AP=B(B)存在正交矩阵 Q,使得 QTAQ=B(C) A,B 与同一个对角矩阵相似(D)存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B

4、二、填空题9 设 A= ,B 为三阶矩阵,r(B *)=1 且 AB=O,则 t=_10 设 1, 2, 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值, 1, 2, 3 分别是属于特征值1, 2, 3 的特征向量,若 1,A( 1+2),A 2(1+2+3)线性无关,则 1, 2, 3 满足_11 f(x1,x 2, x3,x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2,且 A22A=O,该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算 (ai0,i=1,2,n)13 设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ,使得 A=T14 设 1

5、, 2, , n 为 n 个 n 维列向量,证明: 1, 2, n 线性无关的充分必要条件是15 设 A 为三阶矩阵,A 的第一行元素为 a,b,c 且不全为零,又 B= 且AB=O,求方程组 AX=O 的通解16 问 a,b,c 取何值时,(),()为同解方程组 ?17 证明线性方程组 有解的充分必要条件是方程组 是同解方程组18 讨论方程组 的解的情况,在方程组有解时求出其解,其中a,b 为常数18 设 A= 相似于对角阵求:19 a 及可逆阵 P,使得 P 1AP=A,其中 A 为对角阵;20 A10021 设 A= 有四个线性无关的特征向量,求 A 的特征值与特征向量,并求 A2010

6、21 设 A= 的一个特征值为 1=2,其对应的特征向量为 1=22 求常数 a, b,c ;23 判断 A 是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵 P,使得 P1 AP 为对角矩阵若不可对角化,说明理由23 设 A 为三阶实对称矩阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值,对应特征向量为(1,0,1) T24 求 A 的其他特征值与特征向量;25 求 A26 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n证明: A,B 有公共的特征向量27 设 P 为可逆矩阵, A=PTP证明:A 是正定矩阵28 设 A 为实对称矩阵,且 A 的特征值都大于零证明:A 为

7、正定矩阵考研数学一(线性代数)模拟试卷 107 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 、(C) 显然不对,设 A= ,显然 A,B 都是非零矩阵,但 AB=O,所以|AB|=0 ,(B)不对,选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式,而余子式为 n1 阶子式,所以(kA) *=kn1 A*,选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO,所以 r(Q)1,又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3,当 t6 时,r(P)

8、2,则 r(Q)1,于是 r(Q)=1,选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 若 1, 2, 3 线性无关,因为 4 不可由 1, 2, 3 线性表示,所以1, 2, 3, 4 线性无关,矛盾,故 1, 2, 3 线性相关,选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆,则 r(ATA)=n,因为 r(ATA)=r(A),所以 r(A)=n;反之,若 r(A)=n,因为 r(ATA)=r(A),所以 ATA 可逆,选(D) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解,则

9、 nr(A)n r(B),从而 r(A)r(B),(1) 为正确的命题;显然 (2)不正确;因为同解方程组系数矩阵的秩相等,但反之不对,所以(3)是正确的,(4) 是错误的,选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32, 3,2 1 也是特征值 1,2,1 的特征向量,所以P1 AP 选(C)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A,B 都是可逆矩阵,所以 A,B 等价,即存在可逆矩阵P,Q,使得 PAQ=B,选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1,所以 r(B)=2,又因为 AB=O

10、,所以 r(A)+r(B)3,从而 r(A)1,又 r(A)1,r(A)=1,于是 t=6【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 230【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x3A2(1+2+3)=0,即(x 1+1x2x2+12x3)1+(2x2+22x3) 2+32x33=0,则有 x1+1x2+12x3=0, 2x2+22x3=0, 32x3=0因为x1,x 2,x 3 只能全为零,所以 230【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 22A=O r(A)+r(2EA)=4 A 可以对角化, 1=2, 2=0,又二次型的正惯性指数为 2,所以 1

11、=2, 2=0 分别都是二重,所以该二次型的规范形为 y12+y22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 =a1a2an1 +anDn1 =a1a2an1 +an(a1a2an2 +an1 Dn2 )=a1a2an1 +a1a2an2 an+anan1 Dn2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 r(A)=1,则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例,故 A=T,显然 , 为非零向量设 A=T,其中 , 为非零向量,则 A 为非零矩阵,于是 r(A)1,又 r(A)=r(T)r()=1,故 r(A)=1【知识模块】 线性代数14

12、 【正确答案】 令 A=(1, 2, n),A TA r(A)=r(ATA),向量组 1, 2, , n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n,即 r(ATA)=n或|A TA|0,从而 1, 2, n 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9时,因为 r(B)=2,所以 r(A)=1,方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量,显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列,故通解为 (k1,k 2 为任意常数);(2)当 k=9时,r(B)=1, 1r(A)2,当 r(A)=2 时,方程组

13、AX=0 的通解为当 r(A)=1 时,A 的任意两行都成比例,不妨设 a0,(k1,k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方法一把()的通解代入(),得 方法二因为( ),()同解,所以它们的增广矩阵有等价的行向量组,()的增广矩阵为阶梯阵,其行向量组线性无关,1 可由1, 2, 3 唯一线性表出, 1=2 1+2+a3 a=1, 2 可由 1, 2, 3 唯一线性表出, 2=1+2 3 b=2, 3 可由 1, 2, 3 唯一线性表出,3=31+2+3 c=4【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 =(1, 2, n),方程组()可写为 AX=b,方程组()、(

14、)可分别写为 ATY=0 及 Y=0若方程组 () 有解,则 r(A)=r(A b),从而 r(AT)=r ,又因为( )的解一定为 ()的解,所以 ()与()同解;反之,若 ()与()同解,则r(AT)=r ,从而 r(A)=r(A b),故方程组()有解。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 =(a+1)(b+2)(1) 当 a1,b2 时,因为D0,所以方程组有唯一解,由克拉默法则得(2)当 a=1,b2时, 当 b1 时,方程组无解当 b= 1 时, 方程组的通解为(3)当 a1,b=2 时,方程组的通解为 当 a1时,显然 r(A)=2r( )=3,方程组无解【知识模块】 线性代

15、数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 |EA|=0 1=2=1, 3=1因为 A 相似于对角阵,所以r(E A)=1 (EA)X=0 基础解系为 1=(0,1,0)T, 2=(1,0,1) T,( E A)X=0 基础解系为 3=(1,2,1) T,令 P=(1, 2, 3),则 P1 AP=diag(1,1,1)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 P 1 A100P=E A100=PP1 =E【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵,所以 A 的特征值为1=2=1, 3=4=1因为 A 有四个线性无关的特征向量,即 A 可以对角化,所以有于是 a=0,b=

16、0当 =1时,由(EA)X=0 得 1 当 =1 时,由(EA)X=0 得 3 所以P1 A2010P=E,从而 A2010=E【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A1=22,【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由|EA| =0,得 1=2=2, 3=1由(2EA)X=0,得 1 由(EA)X=0,得 3= 显然 A 可对角化,令【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5,所以有 即 A 有特征值2=5,对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解,所以 r(A)3,从而 A 有特征值 0,设特征值 0

17、对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n,所以 r(A)n,r(B)n,于是 =0为 A,B 公共的特征值。A 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解;B 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解,有非零解,即 A,B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 显然 AT=A,对任意的 X0,X TAX=(PX)T(以),因为 X0且 P 可逆,所以 PX0,于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX20,即 XTAX 为正定二次型,故 A为正定矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX,因为 A 是实对称矩阵,所以存在正交变换 X=QY,使得 f=XTAX 1y12+2y22+ nyn2,其中i0(i=1,2,n),对任意的 X0,因为 X=QY,所以 Y=QTX0,于是f=1y12+2y22+ nyn20,即对任意的 X0有 XTAX0,所以 XTAX 为正定二次型,故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数

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