1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 107 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）|A+B|=|A|+|B|（B）若 |AB|=0，则 A=0 或 B=0（C） |AB|=|A| |B|（D）|AB|=|A|B|2 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） knA*（C） kn1 A*（D）k n(n1) A*3 设 P= ，Q 为三阶非零矩阵，且 PO=O，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当 t6时，r(Q
2、)=1（D）当 t6时，r(Q)=24 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关5 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）ATA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n6 若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 A
3、X=0 的解都是BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(14)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)7 设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32， 3，2 1)，则 P1 AP 等于( )8 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B
4、二、填空题9 设 A= ，B 为三阶矩阵，r(B *)=1 且 AB=O，则 t=_10 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3 满足_11 f(x1，x 2， x3，x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2，且 A22A=O，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算 (ai0，i=1，2，n)13 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A=T14 设 1
5、， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是15 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= 且AB=O，求方程组 AX=O 的通解16 问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组 ?17 证明线性方程组 有解的充分必要条件是方程组 是同解方程组18 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b 为常数18 设 A= 相似于对角阵求：19 a 及可逆阵 P，使得 P 1AP=A，其中 A 为对角阵；20 A10021 设 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A2010
6、21 设 A= 的一个特征值为 1=2，其对应的特征向量为 1=22 求常数 a， b，c ；23 判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由23 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(1，0，1) T24 求 A 的其他特征值与特征向量；25 求 A26 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明： A，B 有公共的特征向量27 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明：A 是正定矩阵28 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为
7、正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 107 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 、(C) 显然不对，设 A= ，显然 A，B 都是非零矩阵，但 AB=O，所以|AB|=0 ，(B)不对，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n1 阶子式，所以(kA) *=kn1 A*，选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)
8、2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 ATA 可逆，选(D) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则
9、 nr(A)n r(B)，从而 r(A)r(B)，(1) 为正确的命题；显然 (2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32， 3，2 1 也是特征值 1，2，1 的特征向量，所以P1 AP 选(C)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O
10、，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=6【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 230【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x3A2(1+2+3)=0，即(x 1+1x2x2+12x3)1+(2x2+22x3) 2+32x33=0，则有 x1+1x2+12x3=0， 2x2+22x3=0， 32x3=0因为x1，x 2，x 3 只能全为零，所以 230【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 22A=O r(A)+r(2EA)=4 A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1
11、=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y12+y22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 =a1a2an1 +anDn1 =a1a2an1 +an(a1a2an2 +an1 Dn2 )=a1a2an1 +a1a2an2 an+anan1 Dn2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，故 A=T，显然 ， 为非零向量设 A=T，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵，于是 r(A)1，又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数14
12、 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，A TA r(A)=r(ATA)，向量组 1， 2， ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n或|A TA|0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9时，r(B)=1， 1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组
13、AX=0 的通解为当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方法一把()的通解代入()，得 方法二因为( )，()同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关，1 可由1， 2， 3 唯一线性表出， 1=2 1+2+a3 a=1， 2 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 2=1+2 3 b=2， 3 可由 1， 2， 3 唯一线性表出，3=31+2+3 c=4【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 =(1， 2， n)，方程组()可写为 AX=b，方程组()、(
14、)可分别写为 ATY=0 及 Y=0若方程组 () 有解，则 r(A)=r(A b)，从而 r(AT)=r ，又因为( )的解一定为 ()的解，所以 ()与()同解；反之，若 ()与()同解，则r(AT)=r ，从而 r(A)=r(A b)，故方程组()有解。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 =(a+1)(b+2)(1) 当 a1，b2 时，因为D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当 a=1，b2时， 当 b1 时，方程组无解当 b= 1 时， 方程组的通解为(3)当 a1，b=2 时，方程组的通解为 当 a1时，显然 r(A)=2r( )=3，方程组无解【知识模块】 线性代
15、数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 |EA|=0 1=2=1， 3=1因为 A 相似于对角阵，所以r(E A)=1 (EA)X=0 基础解系为 1=(0，1，0)T， 2=(1，0，1) T，( E A)X=0 基础解系为 3=(1，2，1) T，令 P=(1， 2， 3)，则 P1 AP=diag(1，1，1)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 P 1 A100P=E A100=PP1 =E【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为1=2=1， 3=4=1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有于是 a=0，b=
16、0当 =1时，由(EA)X=0 得 1 当 =1 时，由(EA)X=0 得 3 所以P1 A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A1=22，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由|EA| =0，得 1=2=2， 3=1由(2EA)X=0，得 1 由(EA)X=0，得 3= 显然 A 可对角化，令【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值2=5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0
17、对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0为 A，B 公共的特征值。A 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解；B 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解，有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PX)T(以)，因为 X0且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX20，即 XTAX 为正定二次型，故 A为正定矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=XTAX 1y12+2y22+ nyn2，其中i0(i=1，2，n)，对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0，于是f=1y12+2y22+ nyn20，即对任意的 X0有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
