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[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷119及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 119 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (A)30m(B) 15m(C) 6m(D)6m2 设 A,B,A+B,A 1 +B1 均为 n 阶可逆矩阵,则 (A1 +B1 )1 =(A)A+B(B) A1 +B1 (C) A(A+B)1 B(D)(A+B) 1 3 设向量组: 1, 2, r 可由向量组: 1, 2, s 线性表示,则(A)当 rs 时,向量组()必线性相关(B)当 rs 时,向量组()必线性相关(C)当 rs 时,向量组()必线性相关(D)当 rs 时,向量组()必线性相关4 设 A 是 54 矩阵,

2、A=( 1, 2, 3, 4),若 1=(1,1,2,1)T, 2=(0,1, 0,1) T 是 Ax=0 的基础解系,则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是(A) 1, 3(B) 2, 4(C) 2, 3(D) 1, 2, 45 下列矩阵中不能相似对角化的是6 设 A= ,则 A 与 B(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同也不相似二、填空题7 若 的代数余子式 A12=1,则代数余子式 A21=_8 设 A= ,则 A1 =_9 设 A= 不可逆,则 x=_10 已知 1=(a,a,a) T, 2=(a,a,b) T, 3=(a,a,b) T 线性相关,则 a,

3、b满足关系式_11 已知 r(1, 2, s)=r(1, 2, s,)=r,r( 1, 2, s)=r+1,则r(1, 2, s, ,)=_12 已知三维向量空间的一组基是 1=(1,0,1), 2=(1,1,0), 3=(2,1,1),则向量 =(3,2,1) 在这组基下的坐标是 _13 设 A 为三阶非零矩阵,B= ,且 AB=0,则 Ax=0 的通解是_14 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵,且 A2+5A=0,则 A 的特征值是_15 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量,则 a=_16 若二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3 的秩为 2,则 t=_三

4、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 若行列式的某个元素 aij 加 1,则行列式的值增加 Aij.18 设 A1 = ,求 (A*)1 18 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵 P=其中 A*是 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵19 计算并化简 PQ;20 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b21 设 A 是 n 阶实反对称矩阵,证明(EA)(E+A) 1 是正交矩阵22 已知 1, 2, s 是互不相同的数,n 维向量 ai=(1,a i,a i2,a in1 )T(i=1,2,s),求向量组 1, 2, s 的秩23 设

5、 A 是 n 阶实反对称矩阵,x,y 是实 n 维列向量,满足 Ax=y,证明 x 与 y 正交24 求齐次方程组 的基础解系25 证明:与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系26 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1=2=6 是 A 的二重特征值,若 1=(1,1,0)T, 2=(2,1,1) T, 3=( 1,2,3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量,求矩阵 A27 二次型 f(x1,x 2,x 3)=5x12+5x22+cx322x 1x26x 2x3+6x1x3 的秩为 2,求 c 及此二次型的规范形,并写出相应的变换考研数学一(线性代数)模拟试卷 119 答案与解析

6、一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 =6m故应选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 (A 1 +B1 )1 =(EA1 +B1 )1 =(B1 BA1 +B1 )1 =B1 (BA1 +AA1 )1 =B1 (B+A)A1 1 =(A1 )1 (B+A)1 (B1 )1 =A(A+B)1 B 故应选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 若多数向量可用少数向量线性表出,则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例说明 (A),(B),(C)均不正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【

7、试题解析】 由 A1=0,知 1+22 3+4=0 由 A2=0,知 2+4=0 因为 nr(A)=2,故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知, 2, 4 线性相关故应排除(B) 把代入得 12 3=0,即 1, 3 线性相关,排除(A) 如果 2, 3线性相关,则 r(1, 2, 3, 4)=r(2 3, 2, 3, 2)=r(2, 3)=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选(C) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵, (C)有 3 个不同的特征值,均可对角化(B)和(D)特征值都是 0,0 ,3在(B)中, nr(0EA)=2,说明 =0 有 2

8、 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在(D)中,nr(0E A)=1 ,说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选(D) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由|EA|= 33 2,知矩阵 A 的特征值为 3,0,0又因 A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以 AB因为 A,B 有相同的特征值,从而有相同的正、负惯性指数,所以 A B故应选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 4 或5【试题解析】 A

9、不可逆 |A|=0而=8(x4)(x+5),故 x=4 或 x=5【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 |1, 2, n|=0而| 1, 2, 3|=2a2(ab),故 a=0 或 a=b【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1, 2, , s)=r(1, 2, s,)=r 表明 可由1, 2, s 线性表出,于是 r(1, 2, s, ,)=r( 1, 2, s,) ,=r+1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1,0,2) T【试题解析】 设 x11+x22+x33=,由解出x1=1 ,x

10、 2=0,x 3=2故 在基 1, 2, 3 的坐标是(1,0,2) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 c 1(1,4, 3)T+c2(2,3,1) T,c 1,c 2 任意【试题解析】 由 AB=0 得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2,r(A)0,因而 r(A)=1, nr(A)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解,取它的 1,3 两列作为基础解系,得 AX=0 的通解 c1(1,4,3) T+c2(2,3,1) T,c 1,c 2 任意【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 5,5,0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵,故 A 又 r(A)=2,

11、所以 r( )=2设A=(0),由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或5所以矩阵 A 的特征值是: 5,5,0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 由 A 的特征多项式|EA| =(+1)3,知矩阵A 的特征值是 =1( 三重根),因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量,故从而 a=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2,即 r(A)=2因|A|中有 2 阶子式 0,故 r(A)=2 |A|=0由【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a

12、 1j,a ij+1,a nj)T=(a1j,a ij,a nj)T+(0,1,0) T,对它分解(性质 ),分为两个行列式之和,一个就是原行列式,另一个的值为 Aij【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为(A *)1 =1|A|A ,【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 AA*=A*A=|A|E 及 A*=|A|A1 有【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有=|A|2(b TA1 )因为矩阵 A 可逆,行列式|A|0,故|Q|=|A|(b TA1 )由此可知,Q 可逆的充分必要条件是b TA1 0,即 TA1 b【

13、知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (EA)(E+A) 1 (EA)(E+A) 1 T =(EA)(E+A) 1 (E+A)1 T(EA) T =(EA)(E+A) 1 (E+A)T1 (E+A) =(EA)(E+A) 1 (EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)(E+A) 1 (E+A) =(EA)(E+A)(EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)1 (E+A)1 (E+A)=E 所以(EA)(E+A) 1 是正交矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 sn 时, 1, 2, s 必线性相关,但 |1, 2, n|是范德蒙行列式,故 1, 2, n 线性无关因而 r(1

14、, 2, s)=n 当 s=n 时,1, 2, n 线性无关,秩 r(1, 2, n)=n 当 sn 时,记1=(1, a1,a 12,a 1s1 )T, 2=(1,a 2,a 22,a 2s1 )T, , s=(1,a s,a s2,a ss1 )T,则 1, 2, s 线性无关那么1, 2, s 必线性无关故 r(1, 2, s)=s【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 AT=A,Ax=y,所以(x,y)=x TAx=(ATx)Tx=(Ax)Tx=(y,x) ,得(x ,y)=0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换,有当 a1 时,r(A)=3 ,取自

15、由变量 x4 得 x4=1,x 3=0,x 2=6,x 1=5基础解系是 (5,6,0,1) T当 a=1时,r(A)=2取自由变量 x3,x 4,则由 x3=1,x 4=0 得 x2=2,x 1=1,x 3=0,x 4=1得 x2= 6,x 1=5,知基础解系是 (1,2,1,0) T, (5,6,0,1) T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 Ax=0 的基础解系是 1, 2, t若 1, 2, s 线性无关, 1, 2, s 与 1, 2, t 等价 由于 j(j=1,2,s)可以由1, 2, t 线性表示,而 i(i=1,t)是 Ax=0 的解,所以 j(j=1,2,s)是

16、Ax=0 的解 因为 1, 2, t 线性无关,秩 r(1, 2, t)=t,又1, 2, t 与 1, 2, s 等价,所以 r(1, 2, s)=r(1, 2, t)=t又因 1, 2, s 线性无关,故 s=t 因此 1, 2, t 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 r(A)=2 知|A|=0,所以 =0 是 A 的另一特征值设矩阵 A 属于=0 的特征向量 =(x1,x 2,x 3)T,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 解出此方程组的基础解系 =(1,1,1) T那么A(1, 2,)=(6 1,6 2,0),用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 二次型矩阵 由二次型的秩为 2,即矩阵 A 的秩 r(A)=2,则有|A|=24(c3)=0 c=3用配方法求规范形和所作变换f(x 1,x 2, x3)=5x12+5x22+3x322x 1x2+6x1x36x 2x3=3(x3+x1x 2)23(x 1x 2)2+5x12+5x22 2x1x2=3(x1x 2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2=3(x1x 2+x2)2+2(x1+x2)2则 f(x1,x 2,x 3)=y12+y22,为规范二次型【知识模块】 线性代数

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