1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 119 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）30m（B） 15m（C） 6m（D）6m2 设 A，B，A+B，A 1 +B1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A1 +B1 )1 =（A）A+B（B） A1 +B1 （C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 1 3 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关4 设 A 是 54 矩阵，
2、A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(1，1，2，1)T， 2=(0，1， 0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D） 1， 2， 45 下列矩阵中不能相似对角化的是6 设 A= ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似二、填空题7 若 的代数余子式 A12=1，则代数余子式 A21=_8 设 A= ，则 A1 =_9 设 A= 不可逆，则 x=_10 已知 1=(a，a，a) T， 2=(a，a，b) T， 3=(a，a，b) T 线性相关，则 a，
3、b满足关系式_11 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_12 已知三维向量空间的一组基是 1=(1，0，1)， 2=(1，1，0)， 3=(2，1，1)，则向量 =(3，2，1) 在这组基下的坐标是 _13 设 A 为三阶非零矩阵，B= ，且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_14 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A2+5A=0，则 A 的特征值是_15 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_16 若二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3 的秩为 2，则 t=_三
4、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 若行列式的某个元素 aij 加 1，则行列式的值增加 Aij.18 设 A1 = ，求 (A*)1 18 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P=其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵19 计算并化简 PQ；20 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b21 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(E+A) 1 是正交矩阵22 已知 1， 2， s 是互不相同的数，n 维向量 ai=(1，a i，a i2，a in1 )T(i=1，2，s)，求向量组 1， 2， s 的秩23 设
5、 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交24 求齐次方程组 的基础解系25 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系26 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=( 1，2，3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A27 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx322x 1x26x 2x3+6x1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换考研数学一（线性代数）模拟试卷 119 答案与解析
6、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 =6m故应选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 (A 1 +B1 )1 =(EA1 +B1 )1 =(B1 BA1 +B1 )1 =B1 (BA1 +AA1 )1 =B1 (B+A)A1 1 =(A1 )1 (B+A)1 (B1 )1 =A(A+B)1 B 故应选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例说明 (A)，(B)，(C)均不正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【
7、试题解析】 由 A1=0，知 1+22 3+4=0 由 A2=0，知 2+4=0 因为 nr(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知， 2， 4 线性相关故应排除(B) 把代入得 12 3=0，即 1， 3 线性相关，排除(A) 如果 2， 3线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)=r(2 3， 2， 3， 2)=r(2， 3)=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选(C) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵， (C)有 3 个不同的特征值，均可对角化(B)和(D)特征值都是 0，0 ，3在(B)中， nr(0EA)=2，说明 =0 有 2
8、 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在(D)中，nr(0E A)=1 ，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选(D) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由|EA|= 33 2，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 A B故应选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 4 或5【试题解析】 A
9、不可逆 |A|=0而=8(x4)(x+5)，故 x=4 或 x=5【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 |1， 2， n|=0而| 1， 2， 3|=2a2(ab)，故 a=0 或 a=b【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1， 2， ， s)=r(1， 2， s，)=r 表明 可由1， 2， s 线性表出，于是 r(1， 2， s， ，)=r( 1， 2， s，) ，=r+1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1，0，2) T【试题解析】 设 x11+x22+x33=，由解出x1=1 ，x
10、 2=0，x 3=2故 在基 1， 2， 3 的坐标是(1，0，2) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 c 1(1，4， 3)T+c2(2，3，1) T，c 1，c 2 任意【试题解析】 由 AB=0 得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1， nr(A)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c1(1，4，3) T+c2(2，3，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 5，5，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 A 又 r(A)=2，
11、所以 r( )=2设A=(0)，由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或5所以矩阵 A 的特征值是： 5，5，0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 由 A 的特征多项式|EA| =(+1)3，知矩阵A 的特征值是 =1( 三重根)，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故从而 a=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2，即 r(A)=2因|A|中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 |A|=0由【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a
12、 1j，a ij+1，a nj)T=(a1j，a ij，a nj)T+(0，1，0) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 Aij【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为(A *)1 =1|A|A ，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 AA*=A*A=|A|E 及 A*=|A|A1 有【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有=|A|2(b TA1 )因为矩阵 A 可逆，行列式|A|0，故|Q|=|A|(b TA1 )由此可知，Q 可逆的充分必要条件是b TA1 0，即 TA1 b【
13、知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (EA)(E+A) 1 (EA)(E+A) 1 T =(EA)(E+A) 1 (E+A)1 T(EA) T =(EA)(E+A) 1 (E+A)T1 (E+A) =(EA)(E+A) 1 (EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)(E+A) 1 (E+A) =(EA)(E+A)(EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)1 (E+A)1 (E+A)=E 所以(EA)(E+A) 1 是正交矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2， s 必线性相关，但 |1， 2， n|是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1
14、， 2， s)=n 当 s=n 时，1， 2， n 线性无关，秩 r(1， 2， n)=n 当 sn 时，记1=(1， a1，a 12，a 1s1 )T， 2=(1，a 2，a 22，a 2s1 )T， ， s=(1，a s，a s2，a ss1 )T，则 1， 2， s 线性无关那么1， 2， s 必线性无关故 r(1， 2， s)=s【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 AT=A，Ax=y，所以(x，y)=x TAx=(ATx)Tx=(Ax)Tx=(y，x) ，得(x ，y)=0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换，有当 a1 时，r(A)=3 ，取自
15、由变量 x4 得 x4=1，x 3=0，x 2=6，x 1=5基础解系是 (5，6，0，1) T当 a=1时，r(A)=2取自由变量 x3，x 4，则由 x3=1，x 4=0 得 x2=2，x 1=1，x 3=0，x 4=1得 x2= 6，x 1=5，知基础解系是 (1，2，1，0) T， (5，6，0，1) T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 Ax=0 的基础解系是 1， 2， t若 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 与 1， 2， t 等价 由于 j(j=1，2，s)可以由1， 2， t 线性表示，而 i(i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j(j=1，2，s)是
16、Ax=0 的解 因为 1， 2， t 线性无关，秩 r(1， 2， t)=t，又1， 2， t 与 1， 2， s 等价，所以 r(1， 2， s)=r(1， 2， t)=t又因 1， 2， s 线性无关，故 s=t 因此 1， 2， t 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 r(A)=2 知|A|=0，所以 =0 是 A 的另一特征值设矩阵 A 属于=0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(1，1，1) T那么A(1， 2，)=(6 1，6 2，0)，用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 二次型矩阵 由二次型的秩为 2，即矩阵 A 的秩 r(A)=2，则有|A|=24(c3)=0 c=3用配方法求规范形和所作变换f(x 1，x 2， x3)=5x12+5x22+3x322x 1x2+6x1x36x 2x3=3(x3+x1x 2)23(x 1x 2)2+5x12+5x22 2x1x2=3(x1x 2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2=3(x1x 2+x2)2+2(x1+x2)2则 f(x1，x 2，x 3)=y12+y22，为规范二次型【知识模块】 线性代数
