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[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷57及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A,B 均为二阶矩阵,A *,B *分别为 A,B 的伴随矩阵,若A=2,B =3,则分块矩阵 的伴随矩阵为( )2 已知向量组 1, 2, 3, 4 线性无关,则向量组( )(A) 1-2, 2-3, 3-4, 4-1 线性无关。(B) 1+2, 2+3, 3+4, 4+1 线性无关。(C) 1+2, 2+3, 3+4, 4-1 线性无关。(D) 1+2, 2+3, 3-4, 4-1 线性无关。3 设 1, 2, 3, 4 是四维非零列向量组, A=(1, 2, 3, 4)

2、,A *为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1,0,2,0) T,则 A*x=0 的基础解系为( )(A) 1, 2, 3。(B) 1+2, 2+3, 1+3。(C) 2, 3, 4。(D) 1+2, 2+3, 3+4, 4+1。4 已知 A 是四阶矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,若 A*的特征值是 1,-1,2,4,那么不可逆矩阵是( )(A)A-E。(B) 2A-E。(C) A+2E。(D)A-4E。5 设 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,-2,相应的特征向量依次是 1, 2, 3,若P=(1,2 3,- 2),则 P-1AP=( )6 关于二次型 f(x1,x

3、 2,x 3)= +2x1x2+2x1x3+2x2x3,下列说法正确的是( )(A)是正定的。(B)其矩阵可逆。(C)其秩为 1。(D)其秩为 2。7 设 A 为三阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z) 在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则 A 的正特征值的个数为 ( )(A)0。(B) 1。(C) 2。(D)3。二、填空题8 行列式 =_。9 设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T= ,则T=_。10 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ,则 A=_。11 已知 A= ,B 是三阶非零矩阵,且 BAT=O,则 a=_。12 已知向量组 1= 的秩为 2,则 t=_。13

4、 已知线性方程组 无解,则 a=_。14 已知齐次线性方程组有通解 k1(2,-1,0,1) T+k2(3,2,1,0) T,则方程组的通解是_。15 若三维列向量 , 满足 T=2,其中 T 为 的转置,则矩阵 T 的非零特征值为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 计算行列式 Dn=17 设 A 为 n 阶可逆矩阵,A *为 A 的伴随矩阵,证明:(A *)T=(AT)*。18 已知 A 是三阶矩阵, i(i=1,2,3)是三维非零列向量,令 =1+2+3。若Ai=ii(i=1,2,3),证明:,A ,A 2 线性无关。19 已知 R3 的两个基为求由基a1,a 2,

5、a 3 到基 b1,b 2,b 3 的过渡矩阵 P。20 已知 A、B 为三阶非零矩阵,且 A= 。 1=(0,1,-1)T, 2=(a,2,1) T, 3=(6,1,0) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量,且Ax=3 有解。求 ()a,b 的值; ()求 Bx=0 的通解。21 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1:ax+2by+3c=0, l 2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。22 设矩阵 A= ,B=P -1A*P,求 P+2E 的特征值与特征向量,其中 A*为 A 的伴随矩阵,E 为三

6、阶单位矩阵。23 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1, 2=-1, 3=0;对应 1, 2 的特征向量依次为 p1=(1,2,2) T,p 2=(2,1,-2) T,求 A。24 设二次型 f= -4x1x2-4x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 ,求a,b 的值及所用正交变换。25 设 D= 为正定矩阵,其中 A,B 分别为 m 阶,n 阶对称矩阵,C 为 mn矩阵。() 计算 PTDP,其中 P= ()利用()的结果判断矩阵 B-CTA-1C 是否为正定矩阵,并证明结论。考研数学一(线性代数)模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

7、1 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 A 的行列式A0,则 A 可逆,且 A-1= 。因为分块矩阵 的行列式 =(-1)22AB=23=6,即分块矩阵可逆,所以 所以应选 B。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因向量组 1, 2, 3, 4 线性无关,所以由向量组 1, 2, 3, 4到向量组 1+2, 2+3, 3+4, 4-1 的过渡矩阵 A= ,即 (1+2, 2+3, 3+4, 4-1)=(1, 2, 3, 4)A。 由于A=20 ,所以过渡矩阵 A 可逆,故向量组 1+2, 2+3, 3+4, 4-1 线性无关。所以选 C。 类似地,可以判断其他三个选项中的

8、过渡矩阵均不可逆,所以选项 A,B ,D 中的向量组均线性相关。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量,所以四阶方阵 A 的秩r(A)=4-1=3,则其伴随矩阵 A*的秩 r(A*)=1,于是方程组 A*x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A*(1, 2, 3, 4)=A*A=AE=O,所以向量1, 2, 3, 4 都是方程组 A*x=0 的解。将(1 ,0,2,0) T 代入方程组 Ax=0 可得1+23=0,这说明 可由向量组 2, 3, 4 线性表出,而向量组 1, 2, 3, 4的秩等于 3,所以向量组 2, 3

9、, 4 必线性无关。所以选 C。 事实上,由1+23=0 可知向量组 1, 2, 3 线性相关,选项 A 不正确;显然,选项 B 中的向量都能被 1, 2, 3 线性表出,说明向量组 1+2, 2+3, 1+3 线性相关,选项B 不正确;而选项 D 中的向量组含有四个向量,不是基础解系,所以选型 D 也不正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1,-1,2,4,所以A *=-8,又A *=A 4-1,因此A 3=-8,于是A=-2 。那么,矩阵 A 的特征值是:-2,2, -1, 。因此,A-E 的特征值是-3,1,-2, 因为特征值非零,故矩阵 A

10、-E 可逆。 同理可知,矩阵 A+2E 的特征值中含有 0,所以矩阵 A+2E 不可逆。所以应选 C。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32,有 A(-2)=3(-2),即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时,- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理,2 3 仍是矩阵 A属于特征值 =-2 的特征向量。 当 P-1AP=A 时,P 由 A 的特征向量构成,A 由 A的特征值构成,且 P 与 A 的位置是对应一致的,已知矩阵 A 的特征值是 1,3,-2,故对角矩阵 A 应当由 1,3,-2 构成,因此排除选项 B、C 。由于 23

11、是属于=-2 的特征向量,所以 -2 在对角矩阵 A 中应当是第二列,所以应选 A。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r(A)=1,故选项 C正确,而选项 A,B,D 都不正确。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为。故 A 的正特征值个数为 1。故应选 B。【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 120【试题解析】 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后,提出公因子10,然后将第四行逐行换至第二行,即=10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12

12、0。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1,a 2,a 3)T,=(b 1,b 2,b 3)T,则而 T=(a1,a 2,a 3)=a1b1+a2b2+a3b3,可以看出 T 就是矩阵 T 的主对角线元素的和,所以 T=1+6+(-2)=5。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由 AA*=AE 可得 A=A(A *)-1,对等式两端取行列式并结合已知条件,可得A *=-8=A 3,因此A=-2,又【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=O 可知,r(B)+r(A T)3,即 r(A)+r(B)3。又因为 B0,因此

13、 r(B)1,从而有 r(A)3,即A=0,因此【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 -2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换已知秩为 2,故得 t=-2。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 -1【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解,所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,所以 a=-1。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 k(13,-3,1,5) T,k 为任意常数【试题解析】 方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中,且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解,将(1) 的通解 代入(2)的第三个方程,得 (2k1+3k2)

14、-2(-k1+2k2)+0k2+k1=0, 即 5k1=k2,将其代入(1)的通解中,得方程组(2)的通解为 5k 2(2,-1,0,1) T+k2(3,2,1,0) T=k2(13,-3,1,5) T,k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2,所以( T)=(T)=2,故 T 的非零特征值为 2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 利用行列式的性质,得同理可得 Dn-1=(n-1)Dn-2+(n-2)! ,所以 D n=n(n-1)Dn-2+(n-2)!依次递推可得【知识模块】 线性代数

15、17 【正确答案】 因为 A 可逆,所以A=A T,且 AA-1=E。 在 AA-1=E 两边同时取转置可得(A -1)TAT=E,即(A T)-1=(A-1)T,所以 (A*)T=(AA -1)T=A (A -1)T= AT(A T)-1=(AT)*。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 Ai=ii(i=1,2,3),且 j(i=1,2,3)非零可知, 1, 2, 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量,故 1, 2, 3 线性无关。又 A=1+22+33,A 2=1+42+93, 所以(,A,A 2)=(1, 2, 3)=(1, 2, 3)P, 而矩阵 P 是范德蒙德行列式,故

16、P=20,所以,A,A 2 线性无关。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 记矩阵 A=(a1,a 2,a 3),B=(b 1,b 2,b 3)。因 a1,a 2,a 3 与b1,b 2,b 3 均为 R3 中的基,故 A 与 B 均为三阶可逆矩阵。由过渡矩阵定义(b1,b 2,b 3)=(a1,a 2,a 3)P 可得 P=A-1B。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 由 BO,且 1, 2, 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知,向量组 1, 2, 3,必线性相关,于是 1, 2, 3= =0,解得 a=3b。 由 Ax=3 有解可知,线性方程组 Ax=3 的系

17、数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,对增广矩阵作初等行变换得所以b=5,a=3b=15。 ()因为 BO,所以 r(B)1,则 3-r(B)2。又因为 1, 2 是 Bx=0的两个线性无关的解,故 3-r(B)=2,所以 1, 2 是 Bx=0 的一个基础解系,于是Bx=0 的通解为 x=k11+k22,其中 k1,k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性:设三条直线 l1,l 2,l 3 交于一点,则其线性方程组有唯一解,故系数矩阵A= 因为=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,但根据题设可知(

18、a-b) 2+(b-c)2+(c-a)20,故 a+b+c=0。充分性:由 a+6+c=0,则从必要性的证明中可知, 。由于故 r(A)=2。于是 r(A)=2。因此方程组 (*)有唯一解,即三条直线,l 1,l 2,l 3,交于一点。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A 的特征值为 ,对应特征向量为 ,则有 A=。由于A=70 ,所以 0。又因 A*A=AE,故有 A*= 。于是有 B(P-1)=P-1A*P(P-1)= (P-1)(B+2E)P-1= P-1 因此, +2 为 B+2E 的特征值,对应的特征向量为 P-1。由于 E-A = =(-1)2(-7),故 A 的特征值

19、为 1=2=1, 3=7。当 1=2=1 时,对应的线性无关的两个特征向量可取为 1= 当 3=7 时,对应的一个特征向量可取为 3= 由 P-1= 因此,B+2E 的三个特征值分别为 9,9,3。对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1P-11+k2P-12=k1,其中 k1,k 2 是不全为零的任意常数;对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3P-13=k3 ,其中 k3 是不为零的任意常数。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 为实对称矩阵,故必存在正交矩阵 Q=(q1,q 2,q 3),使QTAQ=Q-1AQ= =。将对应于特征值 1、 2 的特征向量 P1单位化,得 由

20、正交矩阵的性质,q 3 可取为 的单位解向量,则由【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形,故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1+1=3+3+b 得 b=-3。对 =3,则有3E-A=-2(a+2)2=0,因此 a=-2(二重根)。由(3E-A)x=0 ,得特征向量1=(1, -1,0) T, 2=(1,0,-1) T。由(-3E-A)x=0,得特征向量 3=(1,1,1) T。因为=3 是二重特征值,对 1, 2 正交化有 1=1=(1, -1,0) T,单位化,有【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 因为 PT=()由()中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同,又因 D 是正定矩阵,所以矩阵 M 为正定矩阵,从而可知 M 是对称矩阵,那么 B-CTA-1C 是对称矩阵。 对 m 维零向量x=(0,0,0) T 和任意 n 维非零向量 y=(y1,y 2,y n)T,都有可得 y T(B-CTA-1C)y0, 依定义,y T(B-CTA-1C)y 为正定二次型,所以矩阵 B-CTA-1C 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数

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