1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )2 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( )（A） 1-2， 2-3， 3-4， 4-1 线性无关。（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关。（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4-1 线性无关。（D） 1+2， 2+3， 3-4， 4-1 线性无关。3 设 1， 2， 3， 4 是四维非零列向量组， A=(1， 2， 3， 4)
2、，A *为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T，则 A*x=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3。（B） 1+2， 2+3， 1+3。（C） 2， 3， 4。（D） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1。4 已知 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（A）A-E。（B） 2A-E。（C） A+2E。（D）A-4E。5 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次是 1， 2， 3，若P=(1，2 3，- 2)，则 P-1AP=( )6 关于二次型 f(x1，x
3、 2，x 3)= +2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( )（A）是正定的。（B）其矩阵可逆。（C）其秩为 1。（D）其秩为 2。7 设 A 为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z) 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为 ( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。二、填空题8 行列式 =_。9 设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T= ，则T=_。10 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，则 A=_。11 已知 A= ，B 是三阶非零矩阵，且 BAT=O，则 a=_。12 已知向量组 1= 的秩为 2，则 t=_。13
4、 已知线性方程组 无解，则 a=_。14 已知齐次线性方程组有通解 k1(2，-1，0，1) T+k2(3，2，1，0) T，则方程组的通解是_。15 若三维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 计算行列式 Dn=17 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，证明：(A *)T=(AT)*。18 已知 A 是三阶矩阵， i(i=1，2，3)是三维非零列向量，令 =1+2+3。若Ai=ii(i=1，2，3)，证明：，A ，A 2 线性无关。19 已知 R3 的两个基为求由基a1，a 2，
5、a 3 到基 b1，b 2，b 3 的过渡矩阵 P。20 已知 A、B 为三阶非零矩阵，且 A= 。 1=(0，1，-1)T， 2=(a，2，1) T， 3=(6，1，0) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量，且Ax=3 有解。求 ()a，b 的值； ()求 Bx=0 的通解。21 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。22 设矩阵 A= ，B=P -1A*P，求 P+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为三
6、阶单位矩阵。23 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=-1， 3=0；对应 1， 2 的特征向量依次为 p1=(1，2，2) T，p 2=(2，1，-2) T，求 A。24 设二次型 f= -4x1x2-4x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 ，求a，b 的值及所用正交变换。25 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵。() 计算 PTDP，其中 P= ()利用()的结果判断矩阵 B-CTA-1C 是否为正定矩阵，并证明结论。考研数学一（线性代数）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
7、1 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 A 的行列式A0，则 A 可逆，且 A-1= 。因为分块矩阵 的行列式 =(-1)22AB=23=6，即分块矩阵可逆，所以 所以应选 B。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，所以由向量组 1， 2， 3， 4到向量组 1+2， 2+3， 3+4， 4-1 的过渡矩阵 A= ，即 (1+2， 2+3， 3+4， 4-1)=(1， 2， 3， 4)A。 由于A=20 ，所以过渡矩阵 A 可逆，故向量组 1+2， 2+3， 3+4， 4-1 线性无关。所以选 C。 类似地，可以判断其他三个选项中的
8、过渡矩阵均不可逆，所以选项 A，B ，D 中的向量组均线性相关。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩r(A)=4-1=3，则其伴随矩阵 A*的秩 r(A*)=1，于是方程组 A*x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A*(1， 2， 3， 4)=A*A=AE=O，所以向量1， 2， 3， 4 都是方程组 A*x=0 的解。将(1 ，0，2，0) T 代入方程组 Ax=0 可得1+23=0，这说明 可由向量组 2， 3， 4 线性表出，而向量组 1， 2， 3， 4的秩等于 3，所以向量组 2， 3
9、， 4 必线性无关。所以选 C。 事实上，由1+23=0 可知向量组 1， 2， 3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项 B 中的向量都能被 1， 2， 3 线性表出，说明向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性相关，选项B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D 也不正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1，-1，2，4，所以A *=-8，又A *=A 4-1，因此A 3=-8，于是A=-2 。那么，矩阵 A 的特征值是：-2，2， -1， 。因此，A-E 的特征值是-3，1，-2， 因为特征值非零，故矩阵 A
10、-E 可逆。 同理可知，矩阵 A+2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆。所以应选 C。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32，有 A(-2)=3(-2)，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A属于特征值 =-2 的特征向量。 当 P-1AP=A 时，P 由 A 的特征向量构成，A 由 A的特征值构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 A 应当由 1，3，-2 构成，因此排除选项 B、C 。由于 23
11、是属于=-2 的特征向量，所以 -2 在对角矩阵 A 中应当是第二列，所以应选 A。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r(A)=1，故选项 C正确，而选项 A，B，D 都不正确。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为。故 A 的正特征值个数为 1。故应选 B。【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 120【试题解析】 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即=10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12
12、0。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则而 T=(a1，a 2，a 3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出 T 就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以 T=1+6+(-2)=5。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由 AA*=AE 可得 A=A(A *)-1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A *=-8=A 3，因此A=-2，又【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=O 可知，r(B)+r(A T)3，即 r(A)+r(B)3。又因为 B0，因此
13、 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 -2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换已知秩为 2，故得 t=-2。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 -1【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以 a=-1。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 k(13，-3，1，5) T，k 为任意常数【试题解析】 方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1) 的通解 代入(2)的第三个方程，得 (2k1+3k2)
14、-2(-k1+2k2)+0k2+k1=0， 即 5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为 5k 2(2，-1，0，1) T+k2(3，2，1，0) T=k2(13，-3，1，5) T，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2，所以( T)=(T)=2，故 T 的非零特征值为 2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 利用行列式的性质，得同理可得 Dn-1=(n-1)Dn-2+(n-2)! ，所以 D n=n(n-1)Dn-2+(n-2)!依次递推可得【知识模块】 线性代数
15、17 【正确答案】 因为 A 可逆，所以A=A T，且 AA-1=E。 在 AA-1=E 两边同时取转置可得(A -1)TAT=E，即(A T)-1=(A-1)T，所以 (A*)T=(AA -1)T=A (A -1)T= AT(A T)-1=(AT)*。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 Ai=ii(i=1，2，3)，且 j(i=1，2，3)非零可知， 1， 2， 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3 线性无关。又 A=1+22+33，A 2=1+42+93， 所以(，A，A 2)=(1， 2， 3)=(1， 2， 3)P， 而矩阵 P 是范德蒙德行列式，故
16、P=20，所以，A，A 2 线性无关。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 记矩阵 A=(a1，a 2，a 3)，B=(b 1，b 2，b 3)。因 a1，a 2，a 3 与b1，b 2，b 3 均为 R3 中的基，故 A 与 B 均为三阶可逆矩阵。由过渡矩阵定义(b1，b 2，b 3)=(a1，a 2，a 3)P 可得 P=A-1B。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 由 BO，且 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知，向量组 1， 2， 3，必线性相关，于是 1， 2， 3= =0，解得 a=3b。 由 Ax=3 有解可知，线性方程组 Ax=3 的系
17、数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得所以b=5，a=3b=15。 ()因为 BO，所以 r(B)1，则 3-r(B)2。又因为 1， 2 是 Bx=0的两个线性无关的解，故 3-r(B)=2，所以 1， 2 是 Bx=0 的一个基础解系，于是Bx=0 的通解为 x=k11+k22，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性：设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则其线性方程组有唯一解，故系数矩阵A= 因为=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，但根据题设可知(
18、a-b) 2+(b-c)2+(c-a)20，故 a+b+c=0。充分性：由 a+6+c=0，则从必要性的证明中可知， 。由于故 r(A)=2。于是 r(A)=2。因此方程组 (*)有唯一解，即三条直线，l 1，l 2，l 3，交于一点。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于A=70 ，所以 0。又因 A*A=AE，故有 A*= 。于是有 B(P-1)=P-1A*P(P-1)= (P-1)(B+2E)P-1= P-1 因此， +2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P-1。由于 E-A = =(-1)2(-7)，故 A 的特征值
19、为 1=2=1， 3=7。当 1=2=1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 1= 当 3=7 时，对应的一个特征向量可取为 3= 由 P-1= 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3。对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1P-11+k2P-12=k1，其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3P-13=k3 ，其中 k3 是不为零的任意常数。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=(q1，q 2，q 3)，使QTAQ=Q-1AQ= =。将对应于特征值 1、 2 的特征向量 P1单位化，得 由
20、正交矩阵的性质，q 3 可取为 的单位解向量，则由【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1+1=3+3+b 得 b=-3。对 =3，则有3E-A=-2(a+2)2=0，因此 a=-2(二重根)。由(3E-A)x=0 ，得特征向量1=(1， -1，0) T， 2=(1，0，-1) T。由(-3E-A)x=0，得特征向量 3=(1，1，1) T。因为=3 是二重特征值，对 1， 2 正交化有 1=1=(1， -1，0) T，单位化，有【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 因为 PT=()由()中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B-CTA-1C 是对称矩阵。 对 m 维零向量x=(0，0，0) T 和任意 n 维非零向量 y=(y1，y 2，y n)T，都有可得 y T(B-CTA-1C)y0， 依定义，y T(B-CTA-1C)y 为正定二次型，所以矩阵 B-CTA-1C 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
