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[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷81及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 81 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B,将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得 C 则 C=( )(A)P -1AP(B) PAP-1(C) PTAP(D)PAP T2 设 A 为 3 阶矩阵,P=( 1, 2, 3)为 3 阶可逆矩阵,Q=( 1+2, 2, 3)已知则 QTAQ=( )3 设 A 是 3 阶可逆矩阵,交换 A 的 1,2 行得 B,则(A)交换 A*的 1,2 行得到 B*(B)交换 A*的 1,2 列得到 B*(C)交

2、换 A*的 1,2 行得到一 B*(D)交换 A*的 1,2 列得到一 B*4 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT,a 11,a12,a 13 为 3 个相等的正数,则它们为5 设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,满足 B=E+AB,C=A+CA,则 BC 为(A)E (B)一 E(C) A(D)一 A6 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B)2=A2+2AB+B2 AB=cE (AB) 2=A2B2 则其中可推出 AB=BA 的有( )(A)(B) (C) (D) 7 1, 2, , r,线性无关 ( )(A)存在全为零的实数 k1,

3、k 2,k r,使得 k11+k21+krr=0(B)存在不全为零的实数 k1,k 2,k r,使得 k11+k21+krr0(C)每个 i 都不能用其他向量线性表示(D)有线性无关的部分组8 设 A 是 45 矩阵, 1, 2, 3, 4, 5 是 A 的列向量组,r( 1, 2, 3, 4, 5)=3,则 ( )正确。(A)A 的任何 3 个行向量都线性无关(B) 1, 2, 3, 4, 5 的一个含有 3 个向量的部分组(I)如果与1, 2, 3, 4, 5 等价,则一定是 1, 2, 3, 4, 5 的最大无关组(C) A 的 3 阶子式都不为 0(D) 1, 2, 3, 4, 5 的

4、线性相关的部分组含有向量的个数一定大于 39 设 1, 2, , s 是 n 维向量组,r( 1, 2, s)=r,则( ) 不正确(A)如果 r=n,则任何 n 维向量都可用 1, 2, s 线性表示(B)如果任何 n 维向量都可用 1, 2, s 线性表示,则 r=n(C)如果 r=s,则任何 n 维向量都可用 1, 2, s 唯一线性表示(D)如果 rn,则存在 n 维向量不能用 1, 2, s 线性表示10 n 维向量组(I) 1, 2, r 可以用 n 维向量组() 1, 2, s 线性表示(A)如果(I)线性无关,则 rs(B)如果 (I)线性相关,则 rs(C)如果 ()线性无关

5、,则 rs(D)如果() 线性相关,则 rs11 已知 n 维向量组 1, 2, s 线性无关,则 n 维向量组 1, 2, s 也线性无关的充分必要条件为(A) 1, 2, s 可用 1, 2, s 线性表示(B) 1, 2, s 可用 1, 2, s 线性表示(C) 1, 2, s 与 1, 2, s 等价(D)矩阵( 1, 2, s)和( 1, 2, s)等价12 设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,则( )(A)当 mn 时,|AB|0(B)当 mn 时,|AB|=0(C)当 nm 时,|AB|0(D)当 nm 时,|AB|=013 A 是 mn 矩阵,B 都 nm 矩阵AB

6、可逆,则(A)r(A)=m,r(B)=m(B) r(A)=m,r(B)=n (C) r(A)=n,r(B)=m (D)r(A)=n,r(B)=n 14 n 阶矩阵 的秩为 n 一 1,则 a=( )(A)1(B) 1(1 一 n)(C)一 1(D)1(n 1)二、填空题15 设 1, 2, 3, 4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1, 2, 3线性无关, 4 不能用 1, 2, 3 线性表示,则 1, 2, 3, 4 线性无关 如果1, 2 线性无关, 3, 4 都不能用 1, 2 线性表示,则 1, 2, 3, 4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵 A,使得 A1,A 2,A 3

7、,A 4 线性无关,则 1, 2, 3, 4线性无关 如果 1=A1, 2=A2, 3=A3, 4=A4,其中 A 可逆,1, 2, 3, 4 线性无关,则 1, 2, 3, 4 线性无关 其中成立的为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A 是 n 阶非零实矩阵,满足 A*=AT证明|A|017 设 A=(1, 2, 3),B=( 1, 2, 2)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵证明 C 可逆的充分必要条件是 A,B 都可逆18 设 A 是 n 阶实反对称矩阵,证明 E+A 可逆19 设 A,B 都是 n 阶矩阵,EAB 可逆证明 EBA 也可逆,并且 (EBA) -

8、1=E+B(EAB)-1A20 设 A,B 是 3 阶矩阵,A 可逆,它们满足 2A-1B=B 一 4E证明 A 一 2E 可逆21 A,B 都是 n 阶矩阵,并且 B 和 E+AB 都可逆,证明: B(E+AB)-1B-1=E 一B(E+AB)-1A22 设 A,B 都是对称矩阵,并且 E+AB 可逆,证明(E+AB) -1 是对称矩阵23 设 A,B 都是 n 阶矩阵,使得 A+B 可逆,证明 B(A+B) -1A=A(A+B)-1B24 设 A,B 都是 n 阶矩阵,并且 A 是可逆矩阵证明:矩阵方程 AX=B 和 XA=B的解相同 AB=BA25 设 求与 A 乘积可交换的所有矩阵26

9、 (1)设 A 是对角矩阵,并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换,则 C 必是数量矩阵27 设 1, 2, , s 是一个 n 维向量组, 和 也都是 n 维向量判断下列命题的正确性 如果 , 都可用 1, 2, s 线性表示,则 + 也可用1, 2, s 线性表示 如果 , 都不可用 1, 2, s 线性表示,则+ 也不可用 1, 2, s 线性表示 如果 可用 1, 2, s 线性表示,而 不可用 1, 2, s 线性表示,则 + 可用 1, 2, s 线性表示 如果 可用 1, 2, s 线性表示,而 不可

10、用 1, 2, s 线性表示,则+ 不可用 1, 2, s 线性表示28 设 AB=C,证明:(1)如果 B 是可逆矩阵,则 A 的列向量组和 C 的列向量组等价(2)如果 A 是可逆矩阵,则 B 的行向量组和 C 的行向量组等价29 设 1=(2, 1,2,3) T, 2=(一 1,1,5,3) T, 3=(0,一 1,一 4,一 3)T, 4=(1,0,一 2,一 1)T, 5=(1,2,9,8) T求 r(1, 2, 3, 4, 5),找出一个最大无关组30 设 1=(1,一 1,2,4), 2=(0,3,1,2) , 3=(3,0,7,14), 4=(1,一2,2,0), 5=(2,1

11、,5,10) 求 r(1, 2, 3, 4, 5) 求一个最大线性无关组,并且把其余向量用它线性表示31 设 1=(1+a,1,1,1), 2=(2,2+a ,2,2),a 3=(3,3,3+a,3),a4=(4,4,4,4+a) 问 a 为什么数时 1, 2, 3, 4 线性相关? 在 1, 2, 3, 4线性相关时求出一个最大线性无关组32 已知 r(1, 2, s)=r(1, 2, s,)=k,r( 1, 2, s, ,)=k+1,求 r(1, 2, s, 一 )考研数学一(线性代数)模拟试卷 81 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】

12、 B【试题解析】 根据初等矩阵的有关性质,则 B=PA,C=BP -1,得 C=PAP-1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 显然关键是 Q 和 P 的关系由矩阵分解,有【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是可逆矩阵,所以 B 也可逆,则 B*=|B|B -1 得结论:交换A*的 1,2 列得到一 B*【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB 得(EA)B=E,由 C=A+CA 得C(EA)=A,则 C(E 一 A)B=AB,得 C=ABB 一 C=E+ABAB=E【知识

13、模块】 线性代数6 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对,当 k1=k2=kr=0 时,对任何向量组1, 2, r,k 11+k21+krr=0 都成立 (B)不对, 1, 2, r,线性相关时,也存在不全为零的实数 k1,k 2,k r,使得 k11+k21+krr0; (C)就是线性无关的意义 (D)不对,线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 r( 1, 2, 3, 4, 5)=3,说明 1, 2, 3, 4, 5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定线性相关,但是线性相关不一定

14、包含向量超过 3个(D)不对 r(1, 2, 3, 4, 5)=3,则 A 的行向量组的秩也是 3,因此存在3 个行向量线性无关,但是不是任何 3 个行向量都线性无关排除(A) A 的秩也是 3,因此有 3 阶非零子式,但是并非每个 3 阶子式都不为 0,(C)也不对 下面说明(B) 对(I)与 1, 2, 3, 4, 5 等价,则(I) 的秩=r( 1, 2, 3, 4, 5)=3=(I)中向量的个数,于是(I)线性无关,由定义(I)是最大线性无关组【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 利用“用秩判断线性表示”的有关性质 当 r=n 时,任何 n 维向量添加进 1, 2,

15、s 时,秩不可能增大,从而 (A)正确 如果(B)的条件成立,则任何 n 维向量组 1, 2, t 都可用 1, 2, s 线性表示,从而r(1, 2, , t)r(1, 2, t)如果取 1, 2, n 是一个 n 阶可逆矩阵的列向量组,则得 n=r( 1, 2, n)r(1, 2, s)n,从而r(1, 2, , s)=n,(B)正确 (D) 是(B)的逆否命题,也正确 由排除法,得选项应该为(C) 下面分析为什么 (C)不正确 r=s 只能说明 1, 2, s 线性无关,如果 rn,则用(B)的逆否命题知道存在 n 维向量不可用 1, 2, s 线性表示,因此(C)不正确【知识模块】 线

16、性代数10 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 从条件(A) 可推出 1, 2, s 的秩不小于 1, 2, s 的秩s, 1, 2, , s 线性无关即(A)是充分条件,但它不是必要条件 条件(C)也是充分条件,不是必要条件 条件(B)既非充分的,又非必要的 两个矩阵等价就是它们类型相同,并且秩相等现在( 1, 2, s)和( 1, 2, s)都是 ns矩阵,( 1, 2, s)的秩为 s,于是 1, 2, s 线性无关(即矩阵(1, 2, s)的秩也为 s),(1, 2, s)和( 1, 2, s)等价【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【知识

17、模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 AB 是 m 阶矩阵,AB 可逆,则 m=r(AB)r(A)m,得 r(A)=m同理得 r(B)=m【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、填空题15 【正确答案】 ,【试题解析】 直接从定理 32 得到 明显不对,例如 3 不能用 1, 2 线性表示,而 3=4 时, 3, 4 都不能用 1, 2 线性表示但是 1, 2, 3, 4 线性相关 容易用秩说明: A1,A 2,A 3,A 4 的秩即矩阵(A 1,A 2,A 3,A 4)的秩,而(A 1,A 2,A 3,A 4)=A(1, 2, 3, 4),由矩阵秩

18、的性质, r(A1,A 2, A3,A 4)r(1, 2, 3, 4)A 1,A 2,A 3,A 4 无关,秩为4,于是 1, 2, 3, 4 的秩也一定为 4,线性无关 也可从秩看出:A 可逆时,r(1, 2, 3, 4)=r(A1,A 2,A 3,A 4)=4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 把条件 A*=AT 写出,由于 A 是实矩阵,其元素的平方0,又 A 有非 0 元素,得|A| 0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则)于是 |C|=|A T|B|=|A|B|则 |C|0 |A|

19、0 并且|B|0 即C 可逆 A,B 都可逆【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 是一个抽象矩阵,因此用行列式证明是困难的下面的证明思路是通过(E+A)X=0 只有零解来说明结论 设 是一个 n 维实向量,满足(E+A)=0,要证明 =0用 T 左乘上式,得 T(E+A)=0,即 T=一 TA 由于 A 是反对称矩阵, TA 是一个数, TA=(TA)T=一 TA,因此 TA=0 于是 T=0 是实向量,( ,)= T=0,从而 =0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (E BA)E+B(EAB)-1A=(EBA)+(EBA)B(EAB)-1A =(EBA)+(BBAB)(EAB

20、)-1A =(EBA)+B(EAB)(EAB)-1A =EBA+BA=E【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 用 A 左乘 2A-1B=B 一 4E 两侧得 2B=AB 一 4A 即 (A 一 2E)B=4A 由 A 可逆,得 A 一 2E 可逆【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对此等式进行恒等变形:B(E+AB) -1B-1=E 一 B(E+AB)-1A B(E+AB)-1=B 一 B(E+AB)-1AB (用 B 右乘等式两边) B(E+AB) -1+B(E+AB)-1AB=B B(E+AB)-1(E+AB)=B最后的等式显然成立【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (E+

21、AB) -1A 对称,就是(E+AB) -1AT=(E+AB)-1A (E+AB) -1AT=A(E+AB)-1T=A(E+AB)T-1=A(E+BA)-1于是要证明的是 (E+AB) -1A=A(E+BA)-1对此式作恒等变形: (E+AB) -1A=A(E+BA)-1 A=(E+AB)A(E+BA)-1 (用 E+AB左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A ( 用 E+BA 右乘等式两边)等式 A(E+BA)=(E+AB)A显然成立,于是(E+AB) -1A=A(E+BA)-1 成立【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 两边都加 A(A+B)-1A 后,都等于 A: B(A+B

22、) -1A+A(A+B)-1A=(B+A)(A+B)-1A=A A(A+B) -1B+A(A+B)-1A=A(A+B)-1(B+A)=A 因此 B(A+B)-1A=A(A+B)-1B【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 AX=B 的解为 A-1B,XA=b 的解为 bA-1 AX=B 和 XA=B 的解相同即 A-1B=BA-1作恒等变形: A -1B=BA-1,B=ABA-1,BA=AB【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵AX=XA 即: ax 1+x3=ax1+x2. ax2+x4=x1, x 1=ax3+x4 x 2=x3,整理得 x1

23、,x 2,x 3,x 4 的齐次线性方程组解得通解为 c 1(a,1,1,0) T+c2(1,0,0,1) T,c 1,c 2 任意则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为 c1A+c2E,c 1,c 2 任意【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换,要证明 B 是对角矩阵,即要说明 B 的对角线外的元素 bij(ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1, 2, n则 AB 的(i,j)位元素为 ibij,而 BA 的(i,j)位元素为 jbij,因为 AB=BA,得 ibij=jbij 因为ij,所以 bij=0 (2) 先说明 C 一定是对角矩阵由于 C

24、与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换,由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11, c22,c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A,使得其(i,j)位元素为1,ij,则 CA 的(i ,j)位元素为 cii,AC 的(i,j)位元素为 cjj于是 cii=cjj这里的i,j 是任意的,从而 c 11=c22= =cnn【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 正确的是和 ,和都不对 显然 不对,可用一个反例说明 取 不可用 1, 2, s 线性表示, =一 ,则 也不可用1, 2, s 线性表示,但是 +=0,是可用 1, 2, s 线性表示 用反证法

25、说明不对 对如果 + 可用 1, 2, s 线性表示,则因为 可用1, 2, s 线性表示,所以 =(+)一 也可用 1, 2, s 线性表示,与条件矛盾【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)由上面的说明,C 的列向量组可以用 A 的列向量组线性表示当 B 是可逆矩阵时,有 CB-1=A,于是 A 的列向量组又可以用 C 的列向量组线性表示 (2)C 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示当 A 是可逆矩阵时,A -1C=B,于是 B 的行向量组又可以用 C 的行向量组线性表示【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 以 1, 2, 3, 4, 5 为列向量作矩阵 A,用初等行变换

26、把 A 化为阶梯形矩阵: 于是r(1, 2, 3, 4, 5)=3 1, 2, 4 是 1, 2, 3, 4, 5 的一个最大无关组【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 构造矩阵 A=(1T, 2T, 3T, 4T, 5T),并对它作初等行变换:记B 和 C 分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵B 有 3 个非零行,则 r(1, 2, 3, 4, 5)=3 B 的台角在 1,2,4 列,则 1, 2, 4 是1, 2, 3, 4, 5 的一个最大无关组设 C 的列向量组为 1, 2, 3, 4, 5,则1, 2, 3, 4, 5 和 1, 2, 3, 4, 5 有相同线性关系 显然3=31+2, 5=21+2,于是 3=31+2, 5=21+2【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 a=0 或一 10a=0 时,每个向量都构成最大线性无关组a= 一10,其中任何 3 个都构成最大线性无关组【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 k+1【知识模块】 线性代数

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