1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 81 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得 C 则 C=( )（A）P -1AP（B） PAP-1（C） PTAP（D）PAP T2 设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1， 2， 3)为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1+2， 2， 3)已知则 QTAQ=( )3 设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（A）交换 A*的 1，2 行得到 B*（B）交换 A*的 1，2 列得到 B*（C）交
2、换 A*的 1，2 行得到一 B*（D）交换 A*的 1，2 列得到一 B*4 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，a 11,a12，a 13 为 3 个相等的正数，则它们为5 设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 BC 为（A）E （B）一 E（C） A（D）一 A6 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B)2=A2+2AB+B2 AB=cE (AB) 2=A2B2 则其中可推出 AB=BA 的有( )（A）（B） （C） （D） 7 1， 2， ， r，线性无关 ( )（A）存在全为零的实数 k1，
3、k 2，k r，使得 k11+k21+krr=0（B）存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11+k21+krr0（C）每个 i 都不能用其他向量线性表示（D）有线性无关的部分组8 设 A 是 45 矩阵， 1， 2， 3， 4， 5 是 A 的列向量组，r( 1， 2， 3， 4， 5)=3，则 ( )正确。（A）A 的任何 3 个行向量都线性无关（B） 1， 2， 3， 4， 5 的一个含有 3 个向量的部分组(I)如果与1， 2， 3， 4， 5 等价，则一定是 1， 2， 3， 4， 5 的最大无关组（C） A 的 3 阶子式都不为 0（D） 1， 2， 3， 4， 5 的
4、线性相关的部分组含有向量的个数一定大于 39 设 1， 2， ， s 是 n 维向量组，r( 1， 2， s)=r，则( ) 不正确（A）如果 r=n，则任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示（B）如果任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示，则 r=n（C）如果 r=s，则任何 n 维向量都可用 1， 2， s 唯一线性表示（D）如果 rn，则存在 n 维向量不能用 1， 2， s 线性表示10 n 维向量组(I) 1， 2， r 可以用 n 维向量组() 1， 2， s 线性表示（A）如果(I)线性无关，则 rs（B）如果 (I)线性相关，则 rs（C）如果 ()线性无关
5、，则 rs（D）如果() 线性相关，则 rs11 已知 n 维向量组 1， 2， s 线性无关，则 n 维向量组 1， 2， s 也线性无关的充分必要条件为（A） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（B） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（C） 1， 2， s 与 1， 2， s 等价（D）矩阵( 1， 2， s)和( 1， 2， s)等价12 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，|AB|0（B）当 mn 时，|AB|=0（C）当 nm 时，|AB|0（D）当 nm 时，|AB|=013 A 是 mn 矩阵，B 都 nm 矩阵AB
6、可逆，则（A）r(A)=m，r(B)=m（B） r(A)=m，r(B)=n （C） r(A)=n，r(B)=m （D）r(A)=n，r(B)=n 14 n 阶矩阵 的秩为 n 一 1，则 a=( )（A）1（B） 1(1 一 n)（C）一 1（D）1(n 1)二、填空题15 设 1， 2， 3， 4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1， 2， 3线性无关， 4 不能用 1， 2， 3 线性表示，则 1， 2， 3， 4 线性无关 如果1， 2 线性无关， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示，则 1， 2， 3， 4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵 A，使得 A1，A 2，A 3
7、，A 4 线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关 如果 1=A1， 2=A2， 3=A3， 4=A4，其中 A 可逆，1， 2， 3， 4 线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关 其中成立的为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A*=AT证明|A|017 设 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 2)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵证明 C 可逆的充分必要条件是 A，B 都可逆18 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆19 设 A，B 都是 n 阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且 (EBA) -
8、1=E+B(EAB)-1A20 设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A-1B=B 一 4E证明 A 一 2E 可逆21 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 E+AB 都可逆，证明： B(E+AB)-1B-1=E 一B(E+AB)-1A22 设 A，B 都是对称矩阵，并且 E+AB 可逆，证明(E+AB) -1 是对称矩阵23 设 A，B 都是 n 阶矩阵，使得 A+B 可逆，证明 B(A+B) -1A=A(A+B)-1B24 设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AX=B 和 XA=B的解相同 AB=BA25 设 求与 A 乘积可交换的所有矩阵26
9、 (1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵27 设 1， 2， ， s 是一个 n 维向量组， 和 也都是 n 维向量判断下列命题的正确性 如果 ， 都可用 1， 2， s 线性表示，则 + 也可用1， 2， s 线性表示 如果 ， 都不可用 1， 2， s 线性表示，则+ 也不可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可用 1， 2， s 线性表示，则 + 可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可
10、用 1， 2， s 线性表示，则+ 不可用 1， 2， s 线性表示28 设 AB=C，证明：(1)如果 B 是可逆矩阵，则 A 的列向量组和 C 的列向量组等价(2)如果 A 是可逆矩阵，则 B 的行向量组和 C 的行向量组等价29 设 1=(2， 1，2，3) T， 2=(一 1，1，5，3) T， 3=(0，一 1，一 4，一 3)T， 4=(1，0，一 2，一 1)T， 5=(1，2，9，8) T求 r(1， 2， 3， 4， 5)，找出一个最大无关组30 设 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1，2) ， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一2，2，0), 5=(2，1
11、，5，10) 求 r(1， 2， 3， 4， 5) 求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示31 设 1=(1+a，1，1，1)， 2=(2，2+a ，2，2)，a 3=(3，3，3+a，3)，a4=(4，4，4，4+a) 问 a 为什么数时 1， 2， 3， 4 线性相关? 在 1， 2， 3， 4线性相关时求出一个最大线性无关组32 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=k，r( 1， 2， s， ，)=k+1，求 r(1， 2， s， 一 )考研数学一（线性代数）模拟试卷 81 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
12、 B【试题解析】 根据初等矩阵的有关性质，则 B=PA，C=BP -1，得 C=PAP-1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 显然关键是 Q 和 P 的关系由矩阵分解，有【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是可逆矩阵，所以 B 也可逆，则 B*=|B|B -1 得结论：交换A*的 1，2 列得到一 B*【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB 得(EA)B=E，由 C=A+CA 得C(EA)=A，则 C(E 一 A)B=AB，得 C=ABB 一 C=E+ABAB=E【知识
13、模块】 线性代数6 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对，当 k1=k2=kr=0 时，对任何向量组1， 2， r，k 11+k21+krr=0 都成立 (B)不对， 1， 2， r，线性相关时，也存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11+k21+krr0； (C)就是线性无关的意义 (D)不对，线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 r( 1， 2， 3， 4， 5)=3，说明 1， 2， 3， 4， 5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定线性相关，但是线性相关不一定
14、包含向量超过 3个(D)不对 r(1， 2， 3， 4， 5)=3，则 A 的行向量组的秩也是 3，因此存在3 个行向量线性无关，但是不是任何 3 个行向量都线性无关排除(A) A 的秩也是 3，因此有 3 阶非零子式，但是并非每个 3 阶子式都不为 0，(C)也不对 下面说明(B) 对(I)与 1， 2， 3， 4， 5 等价，则(I) 的秩=r( 1， 2， 3， 4， 5)=3=(I)中向量的个数，于是(I)线性无关，由定义(I)是最大线性无关组【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 利用“用秩判断线性表示”的有关性质 当 r=n 时，任何 n 维向量添加进 1， 2，
15、s 时，秩不可能增大，从而 (A)正确 如果(B)的条件成立，则任何 n 维向量组 1， 2， t 都可用 1， 2， s 线性表示，从而r(1， 2， ， t)r(1， 2， t)如果取 1， 2， n 是一个 n 阶可逆矩阵的列向量组，则得 n=r( 1， 2， n)r(1， 2， s)n，从而r(1， 2， ， s)=n，(B)正确 (D) 是(B)的逆否命题，也正确 由排除法，得选项应该为(C) 下面分析为什么 (C)不正确 r=s 只能说明 1， 2， s 线性无关，如果 rn，则用(B)的逆否命题知道存在 n 维向量不可用 1， 2， s 线性表示，因此(C)不正确【知识模块】 线
16、性代数10 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 从条件(A) 可推出 1， 2， s 的秩不小于 1， 2， s 的秩s， 1， 2， ， s 线性无关即(A)是充分条件，但它不是必要条件 条件(C)也是充分条件，不是必要条件 条件(B)既非充分的，又非必要的 两个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等现在( 1， 2， s)和( 1， 2， s)都是 ns矩阵，( 1， 2， s)的秩为 s，于是 1， 2， s 线性无关(即矩阵(1， 2， s)的秩也为 s),(1， 2， s)和( 1， 2， s)等价【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【知识
17、模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 AB 是 m 阶矩阵，AB 可逆，则 m=r(AB)r(A)m，得 r(A)=m同理得 r(B)=m【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、填空题15 【正确答案】 ，【试题解析】 直接从定理 32 得到 明显不对，例如 3 不能用 1， 2 线性表示，而 3=4 时， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示但是 1， 2， 3， 4 线性相关 容易用秩说明： A1，A 2，A 3，A 4 的秩即矩阵(A 1，A 2，A 3，A 4)的秩，而(A 1，A 2，A 3，A 4)=A(1， 2， 3， 4)，由矩阵秩
18、的性质， r(A1，A 2， A3，A 4)r(1， 2， 3， 4)A 1，A 2，A 3，A 4 无关，秩为4，于是 1， 2， 3， 4 的秩也一定为 4，线性无关 也可从秩看出：A 可逆时，r(1， 2， 3， 4)=r(A1，A 2，A 3，A 4)=4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 把条件 A*=AT 写出，由于 A 是实矩阵，其元素的平方0，又 A 有非 0 元素，得|A| 0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则)于是 |C|=|A T|B|=|A|B|则 |C|0 |A|
19、0 并且|B|0 即C 可逆 A，B 都可逆【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 是一个抽象矩阵，因此用行列式证明是困难的下面的证明思路是通过(E+A)X=0 只有零解来说明结论 设 是一个 n 维实向量，满足(E+A)=0，要证明 =0用 T 左乘上式，得 T(E+A)=0，即 T=一 TA 由于 A 是反对称矩阵， TA 是一个数， TA=(TA)T=一 TA，因此 TA=0 于是 T=0 是实向量，( ，)= T=0，从而 =0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (E BA)E+B(EAB)-1A=(EBA)+(EBA)B(EAB)-1A =(EBA)+(BBAB)(EAB
20、)-1A =(EBA)+B(EAB)(EAB)-1A =EBA+BA=E【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 用 A 左乘 2A-1B=B 一 4E 两侧得 2B=AB 一 4A 即 (A 一 2E)B=4A 由 A 可逆，得 A 一 2E 可逆【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对此等式进行恒等变形：B(E+AB) -1B-1=E 一 B(E+AB)-1A B(E+AB)-1=B 一 B(E+AB)-1AB (用 B 右乘等式两边) B(E+AB) -1+B(E+AB)-1AB=B B(E+AB)-1(E+AB)=B最后的等式显然成立【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (E+
21、AB) -1A 对称，就是(E+AB) -1AT=(E+AB)-1A (E+AB) -1AT=A(E+AB)-1T=A(E+AB)T-1=A(E+BA)-1于是要证明的是 (E+AB) -1A=A(E+BA)-1对此式作恒等变形： (E+AB) -1A=A(E+BA)-1 A=(E+AB)A(E+BA)-1 (用 E+AB左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A ( 用 E+BA 右乘等式两边)等式 A(E+BA)=(E+AB)A显然成立，于是(E+AB) -1A=A(E+BA)-1 成立【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 两边都加 A(A+B)-1A 后，都等于 A： B(A+B
22、) -1A+A(A+B)-1A=(B+A)(A+B)-1A=A A(A+B) -1B+A(A+B)-1A=A(A+B)-1(B+A)=A 因此 B(A+B)-1A=A(A+B)-1B【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 AX=B 的解为 A-1B，XA=b 的解为 bA-1 AX=B 和 XA=B 的解相同即 A-1B=BA-1作恒等变形： A -1B=BA-1,B=ABA-1,BA=AB【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵AX=XA 即： ax 1+x3=ax1+x2. ax2+x4=x1， x 1=ax3+x4 x 2=x3，整理得 x1
23、，x 2，x 3，x 4 的齐次线性方程组解得通解为 c 1(a，1，1，0) T+c2(1，0，0，1) T，c 1，c 2 任意则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为 c1A+c2E，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换，要证明 B 是对角矩阵，即要说明 B 的对角线外的元素 bij(ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1， 2， n则 AB 的(i，j)位元素为 ibij，而 BA 的(i，j)位元素为 jbij,因为 AB=BA，得 ibij=jbij 因为ij，所以 bij=0 (2) 先说明 C 一定是对角矩阵由于 C
24、与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11， c22，c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A，使得其(i，j)位元素为1，ij，则 CA 的(i ，j)位元素为 cii,AC 的(i，j)位元素为 cjj于是 cii=cjj这里的i，j 是任意的，从而 c 11=c22= =cnn【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 正确的是和 ，和都不对 显然 不对，可用一个反例说明 取 不可用 1， 2， s 线性表示， =一 ，则 也不可用1， 2， s 线性表示，但是 +=0，是可用 1， 2， s 线性表示 用反证法
25、说明不对 对如果 + 可用 1， 2， s 线性表示，则因为 可用1， 2， s 线性表示，所以 =(+)一 也可用 1， 2， s 线性表示，与条件矛盾【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)由上面的说明，C 的列向量组可以用 A 的列向量组线性表示当 B 是可逆矩阵时，有 CB-1=A，于是 A 的列向量组又可以用 C 的列向量组线性表示 (2)C 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示当 A 是可逆矩阵时，A -1C=B，于是 B 的行向量组又可以用 C 的行向量组线性表示【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量作矩阵 A，用初等行变换
26、把 A 化为阶梯形矩阵： 于是r(1， 2， 3， 4， 5)=3 1， 2， 4 是 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 构造矩阵 A=(1T， 2T， 3T， 4T， 5T)，并对它作初等行变换：记B 和 C 分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵B 有 3 个非零行，则 r(1， 2， 3， 4， 5)=3 B 的台角在 1，2，4 列，则 1， 2， 4 是1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组设 C 的列向量组为 1， 2， 3， 4， 5，则1， 2， 3， 4， 5 和 1， 2， 3， 4， 5 有相同线性关系 显然3=31+2， 5=21+2，于是 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 a=0 或一 10a=0 时，每个向量都构成最大线性无关组a= 一10，其中任何 3 个都构成最大线性无关组【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 k+1【知识模块】 线性代数
