ImageVerifierCode 换一换
格式:DOC , 页数:13 ,大小:148.50KB ,
资源ID:852023      下载积分:2000 积分
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
如需开发票,请勿充值!快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。
如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝扫码支付 微信扫码支付   
注意:如需开发票,请勿充值!
验证码:   换一换

加入VIP,免费下载
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【http://www.mydoc123.com/d-852023.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录  

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文([考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷82及答案与解析.doc)为本站会员(towelfact221)主动上传,麦多课文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知麦多课文库(发送邮件至master@mydoc123.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷82及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 82 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 AB=0,A, B 是两个非零矩阵,则(A)A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关(B) A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关(C) A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关2 设 1, 2, , s 都是 n 维向量,A 是 mn 矩阵,下列选项中正确的是( )(A)若 1, 2, s 线性相关,则 A1,A 2, ,A s 线性相关(B)若 1, 2, s 线性相关,则 A1,A 2,A s 线性无关(C)若

2、 1, 2, s 线性无关,则 A1,A 2,A s 线性相关(D)若 1, 2, s 线性无关,则 A1,A 2, ,A s 线性无关3 1, 2, 3, 线性无关,而 1, 2, 3, 线性相关,则(A) 1, 2, 3,c+ 线性相关(B) 1, 2, 3,c+ 线性无关(C) 1, 2, 3,+c 线性相关(D) 1, 2, 3,+c 线性无关4 设 1, 2, 3 线性无关,则( )线性无关:(A) 1+2, 2+3, 3 一 1(B) 1+2, 2+3, 1+22+3(C) 1+22,2 2+33,3 3+1(D) 1+2+3,2 132+223,3 1+52535 设 1, 2,

3、 3 是 3 维向量空间 R3 的基,则从基 1, 2/2, 33 到1+2, 2+3, 3+1 的过渡矩阵为( )二、填空题6 已知 1, 2, 3 线性无关 1+t2, 2+23, 3+4t1 线性相关则实数 t 等于_7 设 A 为 3 阶正交矩阵,它的第一行第一列位置的元素是 1,又设 =(1,0,0) T,则方程组 AX=的解为_8 1=(1,2,一 1,0) T, 2=(1,1,0,2) T, 3=(2,1,1,a) T, 1, 2, 3 生成的向量空间为 2 维空间,则,a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 已知 求 r(ABA)10 3 阶矩阵 已知 r(

4、AB)小于 r(A)和 r(B),求a,b 和 r(AB)11 设 , 都是 3 维列向量,A= T+T证明 (1)r(A)2 (2)如果 , 线性相关,则 r(A)212 给定向量组(I) 1=(1,0,2) T, 2=(1,1,3) T, 3=(1,一 1,a+2) T 和()1=(1,2,a+3) T, 2=(2,1,a+6) T, 3=(2,1,a+4) T当 a 为何值时(I) 和()等价?a 为何值时(I)和( )不等价?13 求常数 a,使得向量组 1=(1,1,a) T, 2=(1,a ,1) T, 3=(a,1,1) T 可由向量组 1=(1,1,a) T, 2=(一 2,a

5、 ,4) T, 3=(一 2,a,a) T 线性表示,但是 1, 2, 3不可用 1, 2, 3 线性表示14 已知 可用 1, 2, s 线性表示,但不可用 1, 2, s-1 线性表示证明 (1) s 不可用 1, 2, s-1 线性表示; (2) s 可用 1, 2, s-1, 线性表示15 已知(2 ,1,1,1) T,(2,1,a,a) T,(3,2,1,a) T,(4,3,2,1) T 线性相关,并且 a1,求 a16 设 1=(1, 1,1,3) T, 2=(一 1,一 3,5,1) T, 3=(3,2,一 1,p+2) T, 4=(一2,一 6,10,p) Tp 为什么数时,

6、1, 2, 3, 4 线性相关?此时求r(1, 2, 3, 4)和写出一个最大线性无关组17 已知 1, 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量,特征值分别为一 1 和 1,又 3 维向量 3 满足 A3=2+3证明 1, 2, 3 线性无关18 设 n 维向量组 1, 2, s 线性相关,并且 10,证明存在 1ks,使得 k可用 1, k-1 线性表示19 设 A 为 n 阶矩阵, 00,满足 A0=0,向量组 1, 2 满足 A1=0,A 22=0证明 0, 1, 2 线性无关20 设 A 为 n 阶矩阵, 1 为 AX=0 的一个非零解,向量组 2, s 满足 Ai-1i=1(i=2,3

7、 ,s)证明 1, 2, s 线性无关21 设 1, 2, , s 线性无关, i=i+i+1,i=1 ,s 一 1, s=s+1判断1, 2, s 线性相关还是线性无关 ?22 已知 1, 2, 3, 4 是齐次方程组 AX=0 的基础解系,记1=1+t2, 2=2+t3, 3=3+t3, 4=4+t1实数 t 满足什么条件时,1, 2, 3, 4 也是 AX=0 的基础解系?23 设 1, 2, 3, 4 线性无关, 1=21+3+4, 2=21+2+3, 3=2 一 4, 4=3+4, 5=2+3 (1)求 r(1, 2, 3, 4, 5); (2)求 1, 2, 3, 4, 5 的一个

8、最大无关组24 证明 r(A+B)r(A)+r(B)25 设 A 是 n 阶矩阵,证明26 设 1, 2, , r 和 1, 2, s 是两个线性无关的 n 维向量证明:向量组1, 2, r; 1, 2, s线性相关 存在非零向量 r,它既可用1, 2, r 线性表示,又可用 1, 2, s 线性表示27 设 A=(1, 2, n)是实矩阵,证明 ATA 是对角矩阵 ,1, 2, n 两两正交28 设 1, 2, , s 是一组两两正交的非零向量,证明它们线性无关29 设 1, 2, , s 和 1, 2, t 是两个线性无关的 n 维实向量组,并且每个i 和 j 都正交,证明 1, 2, s

9、, 1, 2, t 线性无关30 设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2),并且 AT=A*,证明 A 是正交矩阵31 设 1, 1, k 是向量子空间 V 的一个规范正交基, 1, 2V,它们在此基下的坐标分别为 k 维实向量 1, 2证明: (1)内积 (1, 2)=(1, 2) (2)| i| =|i|,i=1 , 2考研数学一(线性代数)模拟试卷 82 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数

10、5 【正确答案】 A【试题解析】 基 1, 22, 33 到 1+2, 2+3, 3+1 的过渡矩阵,也就是1+2, 2+3, 3+1 对于 1, 22, 33 的表示矩阵 1+2=1+2(22),2+3=2(22)+3( 33), 3+1=1+3(33)于是 1+2, 2+3, 3+1 对于1, 22, 33 的表示矩阵为【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 t=一 1 2【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (1,0,0) T【试题解析】 设 A=(1, 2, 3)A 为正交矩阵,列向量是单位向量于是 1 是(1,0, 0)T则 = 1=A(1,0,0) T, 解为(1,0,

11、0) T【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 6【试题解析】 1, 2, 3 生成的向量空间的维数即 r(1, 2, 3),因此条件说明r(1, 2, 3)=2 得a=6【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 如果先求出 ABA,再求它的秩,计算量比较大注意到 ABA=A(B 一 E),而 B 一 E 是可逆矩阵,则根据矩阵秩的性质,r(ABA)=r(A),直接计算 r(A)就简单多了得 r(ABA)=r(A)=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 条件 r(AB)小于 r(A),说明 B 不可逆 (这是用了矩阵秩的性质的逆否命题)类似

12、地 r(AB)小于 r(B),说明 A 不可逆于是|A|=|B|=0求出|A|=一4a+8b 一 12,|B|=a+b 一 3,则 a,b 满足 解得 a=1b=2 r(AB)r(A)3,则 r(AB)1再由 AB 不是零矩阵( 如它的(2,3)位元素为 4),得r(AB)=1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (1)r(A)r( T)+r(T),而 r(T)r()1,同理 r(T)1 (2)不妨假设 =c,则 A=T+c(cT)=(1+c2)T,于是 r(A)r( T)12【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 思路(I)和( )等价用秩来刻画,即 r(1, 2, 3, 1, 2,

13、3)=r(1, 2, 3)=r(1, 2, 3)当 a+1=0 时,r(1, 2, 3)=2,而 r(1, 2, 3, 1, 2, 3=3,因此 (I)与()不等价当 a+10时,r( 1, 2, 3, 1, 2, 3)=r(1, 2, 3)=3再来计算 r(1, 2, 3)则 r(1, 2, 3)=3(与 a无关)于是 a+10 时(I)与()等价【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 用秩来表达就是 r(1, 2, 3)=r(1, 2, 3, 1, 2, 3)r( 1, 2, 3) 当 a1和一 2时,r( 1, 2, 3)=r(1, 2, 3, 1,2, 3)=3,不符合要求 当 a=

14、一 2 时,r(1, 2, 3)=2,r( 1, 2, 3)=2,不符合要求 当 a=1 时,r( 1, 2, 3)=1,r( 1, 2, 3)=3,必有 r(1, 2, 3, 1, 2, 3)=3,符合要求,得 a=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由于 可用 1, 2, s 线性表示,可设有表示式 =k11+k22+kmm, (I) (1)用反证法 如果 s 可用 1, 2, s-1 线性表示;设s=t11+t22+tm-1m-1,代入(I) 式得 用 1, 2, s-1 线性表示式: =(k 1+t1)1+(k2+t2)2+(km-1+tm-1)m-1,与条件矛盾 (2)(I)

15、中的 km0(否则 可用1, 2, s-1 线性表示)于是有【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为这 4 个向量线性相关,所以以它们为列向量的 4 阶行列式为0求出此行列式的值: 得 a=12【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 计算 r(1, 2, 3, 4)则当 p=2时,r( 1, 2, 3, 4)=3, 1, 2, 3, 4 线性相关, 1, 2, 3 是一个最大线性无关组 当 p2时,r( 1, 2, 3, 4)=4, 1, 2, 3, 4 线性无关【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 根据特征向量的性质, 1, 2 都是 A 的特征向量,特征值不相等,于是它们是线性

16、无关的证明 3 不可用 1, 2 线性表示 用反证法如果 3 可用1, 2 表示,设 3=c11+c22,用 A 左乘等式两边,得 2+3=一 c11+c22,减去原式得 2=一 2c11, 与 1, 2 线性无关矛盾,说明 3 不可用 1, 2 线性表示【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 1, 2, s 线性相关,所以存在不全为 0 的数c1,c 2,c s,使得 c 11+c22+css=0设 ck 是 c1,c 2,c s 中最后一个不为0 的数,即 ck0,但 ik 时,c i=0则 k1(否则 1=0,与条件矛盾),并且有c11+c22+ckk=0则于【知识模块】 线性代

17、数19 【正确答案】 用定义证明即要说明当 c1,c 2, c3 满足 c10+c21+c32=0 时它们一定都是 0 记此式为(1)式,用 A 乘之,得 c 20+c3A2=0(2) 再用 A 乘(2)得c30=0由 00,得 c3=0代入(2) 得 c2=0再代入 (1)得 c1=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 c11+c22+css=0(1),要推出系数 ci 都为 0条件说明Aii=A1=0(i=1,2,3,s) 用 As-1 乘(1)的两边,得 cs1=0,则 cs=0 再用As-2 乘(1)的两边,得 cs-11=0,则 cs-1=0这样可逐个得到每个系数都为 0【

18、知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1, 2, , s 对 1, 2, s 的表示矩阵为|C|=1+(一 1)s+1于是当 s 为偶数时,|C|=0,r(C)s ,从而 r(1, 2, s) s, 1, 2, s 线性相关当 s 为奇数时,|C|=2,r(C)=s,从而 r(1, 2, s)=s, 1, 2, s 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 t1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1) 1, 2, 3, 4, 5 对 1, 2, 3, 4 的表示矩阵为用初等行变换化阶梯形矩阵:则 r(1, 2, 3, 4, 5)=r(C)=3 (2)记 C 的列向量组为 1,

19、 2, 3, 4, 5则由(1)的计算结果知 1, 2, 4 是线性无关的又( 1, 2, 4)=(1, 2, 3, 4)(1, 2, 4)得到 r(1, 2, 4)=r(1, 2, 4)=3, 1, 2, 4 线性无关,是 1, 2, 3, 4, 5 的一个最大线性无关组【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 r(A+B)r(A+B|B)对矩阵(A+B|B)进行初等列变换:左边 A+B 各列都减去右边 B 的对应列,化为(A|B)于是r(A+B)r(A+B|B)=r(A|B)r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 当 r(A)=n 时,A 可逆,从而 A*也可逆,秩为

20、n 当 r(A)n 一 1时,它的每个余子式 Mij(是 n 一 1 阶子式)都为 0,从而代数余子式 Aij 也都为0于是 A*=0,r(A*)=0 当 r(A)=n1 时,|A|=0,所以 AA*=0于是 r(A)+r(A*)n由于 r(A)=n1,得到 r(A*)1 又由 r(A)=n 一 1 知道 A 有 n 一 1 阶非 0 子式,从而存在代数余子式 Ahk 不为 0,于是 A*0,r(A*)0于是 r(A*)=1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 “ ”因为 1, 2, r; 1, 2, s线性相关,所以存在c1,c 2,c r,c r+1,c r+s 不全为 0,使得 c1

21、1+c22+crr+cr+11+cr+22+cr+ss=0 记 =c11+c22+crr=一(cr+11+cr+22+cr+ss),则 0(否则由 1, 2, r 和 1, 2, s 都线性无关,推出 c1, c2,c r,c r+1,c r+s 全为 0),并且它既可用 1, 2, r 表示,又可用 1, 2, s 表示 “ ”设 0,它既可用 1, r 表示,又可用1, s 表示 记 =c11+c22+crs=t11+t22+tss,则 c1,c 2,c r 和t1,t 2,t s 都不全为 0,而 c 11+c22+crst11 一 t22 一一 tss=0根据定义, 1, 2, r;

22、1, 2, s线性相关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A TA 的(i,j)位元素为( i, j)于是 A TA 是对角矩阵,当 ij 时,ATA 的(i ,j) 位元素为 0.当 ij时, i, j 正交 1, 2, n 两两正交【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 以 1, 2, s 为列向量组构造矩阵 A=(1, 2, s),则ATA 是对角矩阵,并且对角线上的元素依次为| 1|2,| 2|2,| s|2,它们都不为 0于是 r( 1, 2, s)=r(A)=r(ATA)=S, 从而 1, 2, s 线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 用定义证明设 c 11+

23、c22+css+k11+k22+ktt=0,记=c11+c22+css=一(k 11+k22+ktt),则(, )=一(c11+c22+css,k 11+k22+ktt)=0 即 =0,于是c1,c 2,c s,k 1,k 2,k t 全都为 0【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 AA T=AA*=|A|E,因此只用证明|A|=1,就可由定义得出 A 是正交矩阵 由于 A0,有非零元素,设 aij0则 AAT 的(i,i) 位元素|A|=ai12+ai22+aij2+ain20,从而 AAT0 对等式 AAT=|A|E,两边取行列式,得|A| 2=|A|n,即|A| n-2=1又由|A|0,得出|A|=1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)设 i=(ci1,ci2,c ik)T,则 i=ci11+ci22+cikk,i=1 ,2于是 (1, 2) =(c111+c122+c1kk,c 211+c222+c2kk) =c11c21+c12c22+c1kc2k=(1, 2) (2)当 1=2 时,用(1) 得| i|2=|i|2,从而|i|=|i|,i=1,2【知识模块】 线性代数

copyright@ 2008-2019 麦多课文库(www.mydoc123.com)网站版权所有
备案/许可证编号:苏ICP备17064731号-1