1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 82 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 AB=0，A， B 是两个非零矩阵，则（A）A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关2 设 1， 2， ， s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若
2、 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关3 1， 2， 3， 线性无关，而 1， 2， 3， 线性相关，则（A） 1， 2， 3，c+ 线性相关（B） 1， 2， 3，c+ 线性无关（C） 1， 2， 3，+c 线性相关（D） 1， 2， 3，+c 线性无关4 设 1， 2， 3 线性无关，则( )线性无关：（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52535 设 1， 2，
3、 3 是 3 维向量空间 R3 的基，则从基 1， 2/2， 33 到1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为( )二、填空题6 已知 1， 2， 3 线性无关 1+t2， 2+23， 3+4t1 线性相关则实数 t 等于_7 设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T，则方程组 AX=的解为_8 1=(1，2，一 1，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T， 1， 2， 3 生成的向量空间为 2 维空间，则，a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 已知 求 r(ABA)10 3 阶矩阵 已知 r(
4、AB)小于 r(A)和 r(B)，求a，b 和 r(AB)11 设 ， 都是 3 维列向量，A= T+T证明 (1)r(A)2 (2)如果 ， 线性相关，则 r(A)212 给定向量组(I) 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和()1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T当 a 为何值时(I) 和()等价?a 为何值时(I)和( )不等价?13 求常数 a，使得向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a
5、 ，4) T， 3=(一 2，a，a) T 线性表示，但是 1， 2， 3不可用 1， 2， 3 线性表示14 已知 可用 1， 2， s 线性表示，但不可用 1， 2， s-1 线性表示证明 (1) s 不可用 1， 2， s-1 线性表示； (2) s 可用 1， 2， s-1， 线性表示15 已知(2 ，1，1，1) T，(2，1，a，a) T，(3，2，1，a) T，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a16 设 1=(1， 1，1，3) T， 2=(一 1，一 3，5，1) T， 3=(3，2，一 1，p+2) T， 4=(一2，一 6，10，p) Tp 为什么数时，
6、1， 2， 3， 4 线性相关?此时求r(1， 2， 3， 4)和写出一个最大线性无关组17 已知 1， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为一 1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A3=2+3证明 1， 2， 3 线性无关18 设 n 维向量组 1， 2， s 线性相关，并且 10，证明存在 1ks，使得 k可用 1， k-1 线性表示19 设 A 为 n 阶矩阵， 00，满足 A0=0，向量组 1， 2 满足 A1=0，A 22=0证明 0， 1， 2 线性无关20 设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 2， s 满足 Ai-1i=1(i=2，3
7、 ，s)证明 1， 2， s 线性无关21 设 1， 2， ， s 线性无关， i=i+i+1，i=1 ，s 一 1， s=s+1判断1， 2， s 线性相关还是线性无关 ?22 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 AX=0 的基础解系，记1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t3， 4=4+t1实数 t 满足什么条件时，1， 2， 3， 4 也是 AX=0 的基础解系?23 设 1， 2， 3， 4 线性无关， 1=21+3+4， 2=21+2+3， 3=2 一 4， 4=3+4， 5=2+3 (1)求 r(1， 2， 3， 4， 5)； (2)求 1， 2， 3， 4， 5 的一个
8、最大无关组24 证明 r(A+B)r(A)+r(B)25 设 A 是 n 阶矩阵，证明26 设 1， 2， ， r 和 1， 2， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组1， 2， r； 1， 2， s线性相关 存在非零向量 r，它既可用1， 2， r 线性表示，又可用 1， 2， s 线性表示27 设 A=(1， 2， n)是实矩阵，证明 ATA 是对角矩阵 ,1， 2， n 两两正交28 设 1， 2， ， s 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关29 设 1， 2， ， s 和 1， 2， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个i 和 j 都正交，证明 1， 2， s
9、， 1， 2， t 线性无关30 设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 AT=A*，证明 A 是正交矩阵31 设 1， 1， k 是向量子空间 V 的一个规范正交基， 1， 2V，它们在此基下的坐标分别为 k 维实向量 1， 2证明： (1)内积 (1， 2)=(1， 2) (2)| i| =|i|，i=1 ， 2考研数学一（线性代数）模拟试卷 82 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数
10、5 【正确答案】 A【试题解析】 基 1， 22， 33 到 1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵，也就是1+2， 2+3， 3+1 对于 1， 22， 33 的表示矩阵 1+2=1+2(22)，2+3=2(22)+3( 33)， 3+1=1+3(33)于是 1+2， 2+3， 3+1 对于1， 22， 33 的表示矩阵为【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 t=一 1 2【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 设 A=(1， 2， 3)A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 1 是(1，0， 0)T则 = 1=A(1，0，0) T， 解为(1，0，
11、0) T【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 6【试题解析】 1， 2， 3 生成的向量空间的维数即 r(1， 2， 3)，因此条件说明r(1， 2， 3)=2 得a=6【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 如果先求出 ABA，再求它的秩，计算量比较大注意到 ABA=A(B 一 E)，而 B 一 E 是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质，r(ABA)=r(A)，直接计算 r(A)就简单多了得 r(ABA)=r(A)=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 条件 r(AB)小于 r(A)，说明 B 不可逆 (这是用了矩阵秩的性质的逆否命题)类似
12、地 r(AB)小于 r(B)，说明 A 不可逆于是|A|=|B|=0求出|A|=一4a+8b 一 12，|B|=a+b 一 3，则 a，b 满足 解得 a=1b=2 r(AB)r(A)3，则 r(AB)1再由 AB 不是零矩阵( 如它的(2，3)位元素为 4)，得r(AB)=1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (1)r(A)r( T)+r(T)，而 r(T)r()1，同理 r(T)1 (2)不妨假设 =c，则 A=T+c(cT)=(1+c2)T，于是 r(A)r( T)12【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 思路(I)和( )等价用秩来刻画，即 r(1， 2， 3， 1， 2，
13、3)=r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)当 a+1=0 时，r(1， 2， 3)=2，而 r(1， 2， 3， 1， 2， 3=3，因此 (I)与()不等价当 a+10时，r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=3再来计算 r(1， 2， 3)则 r(1， 2， 3)=3(与 a无关)于是 a+10 时(I)与()等价【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 用秩来表达就是 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1， 2， 3)r( 1， 2， 3) 当 a1和一 2时，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1,2， 3)=3，不符合要求 当 a=
14、一 2 时，r(1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3)=2，不符合要求 当 a=1 时，r( 1， 2， 3)=1，r( 1， 2， 3)=3，必有 r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=3，符合要求，得 a=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由于 可用 1， 2， s 线性表示，可设有表示式 =k11+k22+kmm， (I) (1)用反证法 如果 s 可用 1， 2， s-1 线性表示；设s=t11+t22+tm-1m-1，代入(I) 式得 用 1， 2， s-1 线性表示式： =(k 1+t1)1+(k2+t2)2+(km-1+tm-1)m-1，与条件矛盾 (2)(I)
15、中的 km0(否则 可用1， 2， s-1 线性表示)于是有【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为这 4 个向量线性相关，所以以它们为列向量的 4 阶行列式为0求出此行列式的值： 得 a=12【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 计算 r(1， 2， 3， 4)则当 p=2时，r( 1， 2， 3， 4)=3， 1， 2， 3， 4 线性相关， 1， 2， 3 是一个最大线性无关组 当 p2时，r( 1， 2， 3， 4)=4， 1， 2， 3， 4 线性无关【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 根据特征向量的性质， 1， 2 都是 A 的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性
16、无关的证明 3 不可用 1， 2 线性表示 用反证法如果 3 可用1， 2 表示，设 3=c11+c22，用 A 左乘等式两边，得 2+3=一 c11+c22，减去原式得 2=一 2c11， 与 1， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用 1， 2 线性表示【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 1， 2， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数c1，c 2，c s，使得 c 11+c22+css=0设 ck 是 c1，c 2，c s 中最后一个不为0 的数，即 ck0，但 ik 时，c i=0则 k1(否则 1=0，与条件矛盾)，并且有c11+c22+ckk=0则于【知识模块】 线性代
17、数19 【正确答案】 用定义证明即要说明当 c1，c 2， c3 满足 c10+c21+c32=0 时它们一定都是 0 记此式为(1)式，用 A 乘之，得 c 20+c3A2=0(2) 再用 A 乘(2)得c30=0由 00，得 c3=0代入(2) 得 c2=0再代入 (1)得 c1=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 c11+c22+css=0(1)，要推出系数 ci 都为 0条件说明Aii=A1=0(i=1，2，3，s) 用 As-1 乘(1)的两边，得 cs1=0，则 cs=0 再用As-2 乘(1)的两边，得 cs-11=0，则 cs-1=0这样可逐个得到每个系数都为 0【
18、知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1， 2， ， s 对 1， 2， s 的表示矩阵为|C|=1+(一 1)s+1于是当 s 为偶数时，|C|=0，r(C)s ，从而 r(1， 2， s) s， 1， 2， s 线性相关当 s 为奇数时，|C|=2，r(C)=s，从而 r(1， 2， s)=s， 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 t1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1) 1， 2， 3， 4， 5 对 1， 2， 3， 4 的表示矩阵为用初等行变换化阶梯形矩阵：则 r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3 (2)记 C 的列向量组为 1，
19、 2， 3， 4， 5则由(1)的计算结果知 1， 2， 4 是线性无关的又( 1， 2， 4)=(1， 2， 3， 4)(1， 2， 4)得到 r(1， 2， 4)=r(1， 2， 4)=3， 1， 2， 4 线性无关，是 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大线性无关组【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 r(A+B)r(A+B|B)对矩阵(A+B|B)进行初等列变换：左边 A+B 各列都减去右边 B 的对应列，化为(A|B)于是r(A+B)r(A+B|B)=r(A|B)r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A 可逆，从而 A*也可逆，秩为
20、n 当 r(A)n 一 1时，它的每个余子式 Mij(是 n 一 1 阶子式)都为 0，从而代数余子式 Aij 也都为0于是 A*=0，r(A*)=0 当 r(A)=n1 时，|A|=0，所以 AA*=0于是 r(A)+r(A*)n由于 r(A)=n1，得到 r(A*)1 又由 r(A)=n 一 1 知道 A 有 n 一 1 阶非 0 子式，从而存在代数余子式 Ahk 不为 0，于是 A*0，r(A*)0于是 r(A*)=1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 “ ”因为 1， 2， r； 1， 2， s线性相关，所以存在c1，c 2，c r，c r+1，c r+s 不全为 0，使得 c1
21、1+c22+crr+cr+11+cr+22+cr+ss=0 记 =c11+c22+crr=一(cr+11+cr+22+cr+ss)，则 0(否则由 1， 2， r 和 1， 2， s 都线性无关，推出 c1， c2，c r，c r+1，c r+s 全为 0)，并且它既可用 1， 2， r 表示，又可用 1， 2， s 表示 “ ”设 0，它既可用 1， r 表示，又可用1， s 表示 记 =c11+c22+crs=t11+t22+tss，则 c1，c 2，c r 和t1，t 2，t s 都不全为 0，而 c 11+c22+crst11 一 t22 一一 tss=0根据定义， 1， 2， r；
22、1， 2， s线性相关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A TA 的(i，j)位元素为( i， j)于是 A TA 是对角矩阵,当 ij 时，ATA 的(i ，j) 位元素为 0.当 ij时， i， j 正交 1， 2， n 两两正交【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 以 1， 2， s 为列向量组构造矩阵 A=(1， 2， s)，则ATA 是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为| 1|2，| 2|2，| s|2，它们都不为 0于是 r( 1， 2， s)=r(A)=r(ATA)=S， 从而 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 用定义证明设 c 11+
23、c22+css+k11+k22+ktt=0，记=c11+c22+css=一(k 11+k22+ktt)，则(， )=一(c11+c22+css，k 11+k22+ktt)=0 即 =0，于是c1，c 2，c s，k 1，k 2，k t 全都为 0【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 AA T=AA*=|A|E，因此只用证明|A|=1，就可由定义得出 A 是正交矩阵 由于 A0，有非零元素，设 aij0则 AAT 的(i，i) 位元素|A|=ai12+ai22+aij2+ain20，从而 AAT0 对等式 AAT=|A|E，两边取行列式，得|A| 2=|A|n，即|A| n-2=1又由|A|0，得出|A|=1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)设 i=(ci1,ci2，c ik)T，则 i=ci11+ci22+cikk，i=1 ，2于是 (1， 2) =(c111+c122+c1kk，c 211+c222+c2kk) =c11c21+c12c22+c1kc2k=(1， 2) (2)当 1=2 时，用(1) 得| i|2=|i|2，从而|i|=|i|,i=1，2【知识模块】 线性代数
