ImageVerifierCode 换一换
格式:DOC , 页数:18 ,大小:338KB ,
资源ID:852025      下载积分:2000 积分
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
如需开发票,请勿充值!快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。
如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝扫码支付 微信扫码支付   
注意:如需开发票,请勿充值!
验证码:   换一换

加入VIP,免费下载
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【http://www.mydoc123.com/d-852025.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录  

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文([考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷84及答案与解析.doc)为本站会员(towelfact221)主动上传,麦多课文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知麦多课文库(发送邮件至master@mydoc123.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷84及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 84 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶非零矩阵,E 是 n 阶单位矩阵,若 A3=0,则( )(A)E 一 A 不可逆,E+A 不可逆(B) E 一 A 不可逆,E+A 可逆(C) E 一 A 可逆,E+A 可逆(D)E A 可逆,E+A 不可逆2 A 是 4 阶实对称矩阵,A 2+2A=0,r(A)=3,则 A 相似于( )二、填空题3 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3,如果|2A|=一 48,则 =_4 A 是 3 阶矩阵,特征值为 1,2,2则|4A -1 一 E|=_5 A 是 3 阶

2、矩阵,它的特征值互不相等,并且|A|=0,则 r(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 构造非齐次方程组,使得其通解为 (1,0,0,1) T+c1(1,1,0,一 1)T+c2(0, 2,1 ,1) T,c 1,c 2 任意7 设 1, 2, , s, 1, 2, t 线性无关,其中 1, 2, s 是齐次方程组AX=0 的基础解系证明 A1,A 2,A t 线性无关8 设 1, 2, 3 为 3 个 n 维向量,已知 n 元齐次方程组 AX=0 的每个解都可以用1, 2, 3 线性表示,并且 r(A)=n 一 3,证明 1, 2, 3 为 AX=0 的一个基础解系9

3、 n 元非齐次线性方程组 AX= 如果有解,则解集合的秩为 =nr(A)+110 设 1=(1, 2,0) T, 2=(1,a+2,一 3a)T, 3=(一 1,一 b2,a+2b)T, =(1,3,一 3)T试讨论当 a,b 为何值时, (1) 不能用 1, 2, 3 线性表示; (2) 能用 1, 2, 3 唯一地线性表示,求表示式; (3) 能用 1, 2, 3 线性表示,且表示式不唯一,求表示式的一般形式。11 已知平面上三条直线的方程为 l 1:ax+2by+3c=0, l 2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c

4、=012 设 求a ,b 取什么值时存在矩阵 X,满足 AX 一XA=B?求满足 AX 一 XA=B 的矩阵 X 的一般形式13 (1)求方程组 AX=0 的一个基础解系(2)a,b,c 为什么数时 AX=B 有解?(3) 此时求满足 AX=B 的通解14 设 , 都是 n 维列向量时,证明 T 的特征值为 0,0,0, T 如果 不是零向量,则 是 T 的特征向量,特征值为 T15 已知 =(1,1,一 1)T 是 A= 的特征向量,求 a,b 和 的特征值16 已知 |A|=一 1,( 一 1,一 1,1) T 是 A*的特征向量,特征值为 求 a,b,c,和 17 设 3 阶矩阵 A 有

5、 3 个特征向量 1=(1,2,2) T, 2=(2,一 2,1) T, 3=(一 2,一1,2) T,它们的特征值依次为 1,2,3,求 A18 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1,1,1) T, 2=(1,2,4) T, 3=(1,3,9) T,它们的特征值依次为、1,2,3又设 =(1,1,3) T,求 An19 设 求 A 和 A-1+E 的特征值20 A 是 2 阶矩阵,2 维列向量 1, 2 线性无关,A 1=1+2,A 2=41+2求 A 的特征值和|A|21 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2,又 1=(1,2,2) T 和 2=(0,2,1) T 分别是

6、(A 一 E)X=0 和(A+E)X=0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A22 A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A23 设 4 阶矩阵 A 满足 A3=A (1) 证明 A 的特征值不能为 0,1,和-1 以外的数 (2)如果 A 还满足 |A+2E|=8,确定 A 的特征值24 已知 3 阶矩阵 A 满足|A+E|=|AE|=|4E 一 2A|=0,求|A 3-5A2|25 设 =(1, 2,一 1)T,=(一 2,1,一 2)T,A=E 一 T求|A 2-2A+2E|26 设 =(1, 0,一 1)T,A=

7、T,求|aEA n|27 计算28 已知 n 阶矩阵 A 满足 A3=E (1)证明 A22A 一 3E 可逆 (2) 证明 A2+A+2E 可逆29 已知 3 阶矩阵 有一个二重特征值,求 a,并讨论 A 是否相似于对角矩阵30 设 A 为 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是线性无关的 3 维列向量组,满足 A1=1+22+23,A 2=21+2+23,A 3=21+22+3 (1)求 A 的特征值 (2)判断A 是否相似于对角矩阵?31 求 A 的特征值判断 a,b 取什么值时 A 相似于对角矩阵?32 (1)求 x,y(2)求作可逆矩阵 U,使得 U-1AU=B33 (1)问 k 为何值时

8、 A 可相似对角化 ?(2)此时作可逆矩阵U,使得 U-1AU 是对角矩阵34 已知 ,a 是一个实数 (1) 求作可逆矩阵 U,使得 U-1AU 是对角矩阵 (2)计算|AE|考研数学一(线性代数)模拟试卷 84 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3=0,所以 A 的特征值满足 3=0则 A 的特征值都是 01 和一 1 都不是 A 的特征值,因此 EA 和 E+A 都可逆【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 A2+2A=0,A 的特征值满足 2+2=0,因此只可能是 0 或一2于是和它相

9、似的矩阵的特征值也只可能是 0 或一 2(A)(B)中的矩阵的特征值中都有 2 因此不可能相似于 A,都可排除又 r(A)=3,和它相似的矩阵的秩也应该是 3,(C)中矩阵的秩为 2,也可排除【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 一 1【试题解析】 |2A|=8|A|,得|A|=一 6又|A|=23得 =一 1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 3【试题解析】 A -1 的特征值为 1,12,124A -1 一 E 的特征值为 3,1,1,|4A -1 一 E|=3【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 2【试题解析】 A 的特征值互不相等,因此相似于对角矩阵,并且对角线上的元

10、素就是 A 的特征值,为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为|A|=0),则 r(A)=2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 设 c1A1+c2A2+ctAt=0则 A(c11+c22+ctt)=0 即c11+c22+ctt 是 AX=0 的一个解于是它可以用 1, 2, s 线性表示: c11+c22+ctt=t11+t22+tss,再由 1, 2, s, 1, 2, t 线性无关,得所有系数都为 0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 3,所以 AX=0 的基础解系包

11、含 3 个解设1, 2, 3 是 AX=0 的一个基础解系,则条件说明 1, 2, 3 可以用 1, 2, 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式: 3=r( 1, 2, 3)r(1, 2, 3; 1, 2, 3)=r(1, 2, 3)3,从而 r( 1, 2, 3) =r(1, 2, 3; 1, 2, 3) =r(1, 2, 3),这说明 1, 2, 3 和 1, 2, 3 等价,从而 1, 2, 3 也都是 AX=0 的解;又 r(1, 2, 3)=3,即 1, 2, 3 线性无关,因此是 AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 记 s=nr(A),则本题要说明两点

12、 (1)存在 AX= 的 s+1 个线性无关的解(2)AX= 的 s+2 个解一定线性相关 (1)设 为(I)的一个解,1, 2, s 为导出组的基础解系,则 不能用 1, 2, s 线性表示,因此, 1, 2, s 线性无关,+ 1,+ 2,+ s 是(I)的 s+1 个解,并且它们等价于 , 1,2, s于是 r( ,+ 1,+ 2,+ s) =r(, 1, 2, s) =s+1,因此 ,+ 1,+ 2,+ s 是(I) 的 s+1 个线性无关的解 (2)AX= 的任何 s+2 个解都可用 , 1, 2, s 这 s+1 向量线性表示,因此一定线性相关。【知识模块】 线性代数10 【正确答

13、案】 记 A=(1, 2, 3),则问题化为线性方程组 AX= 解的情形的讨论及求解问题了.(1)a=0(b 任意)时方程组 AX= 无解, 不能用1, 2, 3 线性表示 (2)当 a0,ab 时,r(A|)=r(A)=3,方程组 AX= 有唯一解,即 可用 1, 2, 3 唯一表示(3)当 a=b0 时 r(A|)=r(A)=2,AX= 有无穷多解,即 可用 1, 2, 3 线性表示,且表示式不唯一AX= 有特解 而(0,1,1) T 构成AX=0 的基础解系,AX= 的通解为【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 l 1,l 2,l 3 交于一点即方程组 有唯一解,即系数矩阵的秩=增广

14、矩阵的秩 =2 则方程组系数矩阵的秩=r(A),增广矩阵的秩=r(B) ,于是 l1,l 2,l 3 交于一点 r(A)=r(B)=2 必要性 由于 r(B)=2,则|B|=0计算出 |B|=一(a+b+c)(a 2+b2+c2ab 一 ac 一 bc) =一(a+b+c)(ab)2+(b 一 c)2+(c 一 a)2a ,b,c 不会都相等( 否则 r(A)=1),即(a 一b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)20得 a+b+c=0 充分性 当 a+b+c=0 时,|B|=0 ,于是 r(A)r(B)2只用再证 r(A)=2,就可得到 r(A)=r(B)=2 用反证法若 r(A)2,则

15、A的两个列向量线性相关不妨设第 2 列是第 1 列的 倍,则b=a, c=b, a=c于是 3a=a, 3b=b, 2c=c,由于 a,b,c 不能都为 0,得3=1,即 =1,于是 a=b=c再由 a+b+c=0,得 a=b=c=0,这与直线方程中未知数的系数不全为 0 矛盾【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 X 一定是 2 阶矩阵AX 一 XA=B 即x1,x 2,x 3,x 4 是线性方程组:得 a=一 3,b=一 2 把 a=一 3,b=一 2 代入右边的矩阵,并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵 解得通解为 (一 3,一 2,0,0)T+c1(1, 1,1 ,0) T+c2(1,0

16、,0,1) T,c 1,c 2 任意 则满足 AX 一 XA=B 的矩阵 X的一般形式为【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 对 AX=B 的增广矩阵(A|B)作初等行变换化为阶梯形矩阵:得到AX=0 的同解方程组: 求得基础解系:(一 2,1,1,0)T, (1,0,0, 1)T (2)AX=B 有解 r(A|B)=r(A)=2,得 a=6,b=一 3,c=3 (3)建立 3 个线性方程组,它们的系数矩阵都是 A,常数列依次为 B 的各列则 X 的各列依次是它们的解它们的导出组都是 AX=0,已经有了基础解系(一 2,1,1,0)T, (1,0,0, 1)T,只用再各求一个特解就可得到通

17、解可以一起用矩阵消元法求它们的特解: 于是(32, 32,0,0) T,(一 32,32,0,0) T,(0,1,0,0) T 依次是这 3 个方程组的特解AX=B 的通解为:【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 r( T)1,因此 T 的特征值为 0,0,0,tr( T) 设=(a1,a 2,a n)T,=(b 1,b 2,b n)T,则 T 的对角线元素为a1b1,a 2b2,a nbn,于是 tr(T)=a1b1+a2b2+anbn=T 仍记 A=T,则A=T=(T),因此则 是 A 的特征向量,特征值为 T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A=,得 于是一1=,2+a=

18、,1+b= 一 ,解出 =一 1,a=一 3,b=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 a=2,b=一 3,c=2,=1 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 建立矩阵方程 A(1, 2, 3)=(1,2 2,3 3),用初等变换法求解:【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 把 表示为 1, 2, 3 线性组合,即解方程 x11+x22+x33=,得到 =2122+3 线于是 A n=An(2122+3) =2An12An2+An3=212n+12+3n3=(22n+1+3n,22 n+2+3n+1,2 2n+3+3n+2)T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 的特征多

19、项式=( 一 1)(2+4 一 5)=( 一 1)2(+5)得到 A 的特征值为 1(二重)和一 5 A -1 的特征值为 1(二重) 和一15 A -1+E 的特征值为 2(二重)和 45【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 先找 A 的特征向量由于 1, 2 线性无关,每个 2 维向量都可以用它们线性表示于是 A 的特征向量应是 1, 2 的非零线性组合 c11+c22,由于从条件看出 1 不是特征向量,c 2 不能为 0,不妨将其定为 1,即设 =c1+2 是 A的特征向量,特征值为 ,则 A=, A=A(c 1+2)=c(1+2)+41+2=(c+4)1+(c+1)2, 则 (c+

20、4) 1+(c+1)2=(c1+), 得 c+4=c,c+1=解得 c=2 或一 2,对应的特征值 分别为 3,一 1|A|=一 3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1) 1=(1,2,2) T 是(AE)X=0 的解,即 A1=1,于是 1 是 A 的特征向量,特征值为 1 同理得 2 是 A 的特征向量,特征值为一 1 记3=(1, 1,1) T,由于 A 的各行元素之和都为 2,A 3=(2,2,2) T=23,即 3 也是A 的特征向量,特征值为 2 于是 A 的特征值为 1,一 1,2 属于 1 的特征向量为 c1,c0 属于一 1 的特征向量为 c2,c0 属于 2 的特

21、征向量为 c3,c0 (2)建立矩阵方程 A(1, 2, 3)=(1,一 2,2 3),用初等变换法解得【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)由条件得 A(1,2,一 1)T=(一 3,一 6,3),A(1 ,0,1)T=(3,0,3) ,说明(1 ,2,一 1)T 和(1,0,1) T 都是 A 的特征向量,特征值分别为一 3 和 3 A 的秩为 2维数 3,于是 0 也是 A 的特征值 A 的特征值为一3,3,0 属于一 3 的特征向量为 c(1,2,一 1)T, c0 属于 3 的特征向量为c(1, 0,1) T,c0 属于 0 的特征向量和(1,2,一 1)T,(1,0,1)

22、 T 都正交,即是方程组 的非零解,解出属于 0 的特征向量为:c(一 1,1,1)T, c0(2)利用 A 的 3 个特征向量,建立矩阵方程求 A【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)由于 A3=A,A 的特征值 满足 3=,从而 只能为 0,1 或一1(但并非 0,1,一 1 都一定是 A 的特征值!) (2)由 A 的特征值不是 0,1,一 1 外的数,得知 A+2E 的特征值不是 2,3,1 之外的数又由于|A+2E|=8,必有 A+2E的特征值为 2,2,2,1,从而 A 的特征值为 0,0 ,0,一 1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 条件说明一 1,1,2 是

23、A 的特征值 得出 A3-5A2 的 3 个特征值:记 f(x)=x3-5x2,则 A3-5A2 的 3 个特征值为 f(一 1)=一 6,f(1)=一 4,f(2)= 一 12 |A3-5A2|=(一 4)(一 6)(一 12)=一 288【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 用特征值计算 T=2,于是 T 的特征值为 0,0,2,从而 A 的特征值为 1,1,一 1,A 2-2A+2E 的特征值为 1,1,5于是|A 2-2A+2E|=115=5【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 利用 A 容易计算其方幂,求出矩阵 aE-An 后再计算行列式|aEAn|=a(a 一 2n-1)2

24、 一(2 n-1)2=a2(a2n)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 记矩阵则所求为|A|A=B+cE,而 于是 B 的特征值为0,0,0,a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4 从而 A 的特征值为 c,c,c ,a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c,则|A|=c3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 通过特征值来证明,矩阵可逆的充要条件是 0 不是它的特征值 由于 A3=E,A 的特征值都满足 3=1 (1)A 22A 一 3E=(A 一 3E)(A+E),3 和一 1都不满足 3=1,因此都不是 A 的特征值于是(A 一

25、 3E)和(A+E)都可逆,从而A22A 一 3E 可逆 (2)设 A 的全体特征值为 1, 2, n,则 A2+A+2E 的特征值 i2+i+2,i=1 ,2,n. 由于 i3=1, i 或者为 1,或者满足 i2+i+1=0于是i2+i+2 或者为 4,或者为 1,总之都不是 0因此 A2+A+2E 可逆【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)求 a A 的特征多项式为要使得它有二重根,有两种可能的情况: 2 是二重根,即 2 是 2 一 8+18+3a 的根,即 4 一16+18+3a=0,求出 a=一 2,此时三个特征值为 2, 2,6 2 是一重根,则 2 一8+18+3a

26、有二重根, 2 一 8+18+3a=(x 一 4)2,求出 a=一 23此时三个特征值为 2,4,4 (2)讨论 A 是否相似于对角化矩阵 当 a=一 2 时,对二重特征值2,考察 3 一 r(A 一 2E)是否为 2?即 r(A 一 2E)是否为 1当 a=一 23 时,对二重特征值 4,考察 3 一 r(A 一 4E)是否为 2?即 r(A 一 4E)是否为 1r(A 一 4E)=2,此时 A 不相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)用矩阵分解: A( 1, 2, 3) =(1+22+23,2 1+2+23,2 1+22+3)=(1, 2, 3)B,这里 从1,

27、2, 3 线性无关的条件知道,( 1, 2, 3)是可逆矩阵于是 A 相似于 B的秩为 1,其特征值为 0,0,6得 B的特征值为一 1,一 1,5则 A 的特征值也为一 1,一 1,5(2)B 是实对称矩阵,一定相似于对角矩阵,由相似的传递性,A 也相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 A 的特征值 0,5,b如果 b0 和 5,则 A 的特征值两两不同,A 相似于对角矩阵如果 b=0,则 A 的特征值 0,0,5 A 相似于对角矩阵 特征值 0 的重数 2=3 一 r(A),r(A)=1,a=0于是:a=0 且 b=0 时 A 相似于对角矩阵;a0 且 b=0 时 A 不

28、相似于对角矩阵;如果 b=5,则 A 的特征值0,5,5 而 r(A 一 5E)=2,特征值 5 的重数 23 一 r(A 一5E),A 不相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 (1)A 与 B 相似,从而有相同的特征值 2,2,y2 是二重特征值,于是 r(A 一 2E)=1 A 与 B 相似从而 tr(A)=tr(B),于是 1+4+5=2+2+y得 y=6(2)求属于 2 的两个线性无关的特征向量:即求(A 一 2E)X=0 的基础解系:得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x 1 =一x2+x3, 得基础解系 1=(1,一 1,0) T, 2=(1,0,1) T 求

29、属于 6 的一个特征向量:即求(A 一 6E)X=0 的一个非零解: 得(A一 6E)X=0 的同解方程组 得解 3=(1,一 2,3) T 令U=(1, 2, 3),则【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)求 A 的特征值:于是 A 的特征值为 1(一重)和一 1(二重 ) 要使 A 可对角化,只需看特征值一 1要满足 3 一 r(a+E)=2,即r(A+E)=1, (2)求属于一 1的两个线性无关的特征向量,即求(A+E)X=0 的基础解系:得(A+E)X=0 的同解方程组 2x 1+x2 一 x3=0 得基础解系 1=(1,0,2) T, 2=(0,1,1) T 求属于 1 的

30、一个特征向量,即求(A E)X=0 的一个非零解: 得(A E)X=0 的同解方程组 得解 3=(1,0,1) T 令 U=(1, 2, 3),则【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值A 的特征值为 a+1(二重)和 a2(一重) 求属于 a+1 的两个线性无关的特征向量,即求 A 一(a+1)EX=0的基础解系: 得A 一(a+1)EX=0 的同解方程组 x 1=x2+x3,得基础解系 1=(1,1,0) T, 2=(1,0,1) T 求属于a2 的一个特征向量,即求A 一(a 2)EX=0 的一个非零解:得A 一(a 一 2)EX=0 的同解方程组得解 3=(一 1,1,1) T 令 U=(1, 2, 3),则(2)AE 的特征值为 a(二重)和 a 一 3,于是|A E|=a2(a 一 3)【知识模块】 线性代数

copyright@ 2008-2019 麦多课文库(www.mydoc123.com)网站版权所有
备案/许可证编号:苏ICP备17064731号-1