1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 84 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 A3=0，则( )（A）E 一 A 不可逆，E+A 不可逆（B） E 一 A 不可逆，E+A 可逆（C） E 一 A 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆2 A 是 4 阶实对称矩阵，A 2+2A=0，r(A)=3，则 A 相似于( )二、填空题3 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，如果|2A|=一 48，则 =_4 A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则|4A -1 一 E|=_5 A 是 3 阶
2、矩阵，它的特征值互不相等，并且|A|=0，则 r(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 构造非齐次方程组，使得其通解为 (1，0，0，1) T+c1(1，1，0，一 1)T+c2(0， 2，1 ，1) T，c 1，c 2 任意7 设 1， 2， ， s， 1， 2， t 线性无关，其中 1， 2， s 是齐次方程组AX=0 的基础解系证明 A1，A 2，A t 线性无关8 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 AX=0 的每个解都可以用1， 2， 3 线性表示，并且 r(A)=n 一 3，证明 1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系9
3、 n 元非齐次线性方程组 AX= 如果有解，则解集合的秩为 =nr(A)+110 设 1=(1， 2，0) T， 2=(1，a+2，一 3a)T， 3=(一 1，一 b2，a+2b)T， =(1，3，一 3)T试讨论当 a，b 为何值时， (1) 不能用 1， 2， 3 线性表示； (2) 能用 1， 2， 3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式。11 已知平面上三条直线的方程为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c
4、=012 设 求a ，b 取什么值时存在矩阵 X，满足 AX 一XA=B?求满足 AX 一 XA=B 的矩阵 X 的一般形式13 (1)求方程组 AX=0 的一个基础解系(2)a，b，c 为什么数时 AX=B 有解?(3) 此时求满足 AX=B 的通解14 设 ， 都是 n 维列向量时，证明 T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T15 已知 =(1，1，一 1)T 是 A= 的特征向量，求 a，b 和 的特征值16 已知 |A|=一 1，( 一 1，一 1，1) T 是 A*的特征向量，特征值为 求 a，b，c，和 17 设 3 阶矩阵 A 有
5、 3 个特征向量 1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1) T， 3=(一 2，一1，2) T，它们的特征值依次为 1，2，3，求 A18 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，4) T， 3=(1，3，9) T，它们的特征值依次为、1，2，3又设 =(1，1，3) T，求 An19 设 求 A 和 A-1+E 的特征值20 A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1， 2 线性无关，A 1=1+2，A 2=41+2求 A 的特征值和|A|21 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，又 1=(1，2，2) T 和 2=(0，2，1) T 分别是
6、(A 一 E)X=0 和(A+E)X=0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A22 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A23 设 4 阶矩阵 A 满足 A3=A (1) 证明 A 的特征值不能为 0，1，和-1 以外的数 (2)如果 A 还满足 |A+2E|=8，确定 A 的特征值24 已知 3 阶矩阵 A 满足|A+E|=|AE|=|4E 一 2A|=0，求|A 3-5A2|25 设 =(1， 2，一 1)T，=(一 2，1，一 2)T，A=E 一 T求|A 2-2A+2E|26 设 =(1， 0，一 1)T，A=
7、T，求|aEA n|27 计算28 已知 n 阶矩阵 A 满足 A3=E (1)证明 A22A 一 3E 可逆 (2) 证明 A2+A+2E 可逆29 已知 3 阶矩阵 有一个二重特征值，求 a，并讨论 A 是否相似于对角矩阵30 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=1+22+23，A 2=21+2+23，A 3=21+22+3 (1)求 A 的特征值 (2)判断A 是否相似于对角矩阵?31 求 A 的特征值判断 a，b 取什么值时 A 相似于对角矩阵?32 (1)求 x，y(2)求作可逆矩阵 U，使得 U-1AU=B33 (1)问 k 为何值时
8、 A 可相似对角化 ?(2)此时作可逆矩阵U，使得 U-1AU 是对角矩阵34 已知 ，a 是一个实数 (1) 求作可逆矩阵 U，使得 U-1AU 是对角矩阵 (2)计算|AE|考研数学一（线性代数）模拟试卷 84 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3=0，所以 A 的特征值满足 3=0则 A 的特征值都是 01 和一 1 都不是 A 的特征值，因此 EA 和 E+A 都可逆【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 A2+2A=0，A 的特征值满足 2+2=0，因此只可能是 0 或一2于是和它相
9、似的矩阵的特征值也只可能是 0 或一 2(A)(B)中的矩阵的特征值中都有 2 因此不可能相似于 A，都可排除又 r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是 3，(C)中矩阵的秩为 2，也可排除【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 一 1【试题解析】 |2A|=8|A|，得|A|=一 6又|A|=23得 =一 1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 3【试题解析】 A -1 的特征值为 1，12，124A -1 一 E 的特征值为 3，1，1，|4A -1 一 E|=3【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 2【试题解析】 A 的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元
10、素就是 A 的特征值，为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为|A|=0)，则 r(A)=2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 设 c1A1+c2A2+ctAt=0则 A(c11+c22+ctt)=0 即c11+c22+ctt 是 AX=0 的一个解于是它可以用 1， 2， s 线性表示： c11+c22+ctt=t11+t22+tss，再由 1， 2， s， 1， 2， t 线性无关，得所有系数都为 0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 3，所以 AX=0 的基础解系包
11、含 3 个解设1， 2， 3 是 AX=0 的一个基础解系，则条件说明 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式： 3=r( 1， 2， 3)r(1， 2， 3； 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，从而 r( 1， 2， 3) =r(1， 2， 3； 1， 2， 3) =r(1， 2， 3)，这说明 1， 2， 3 和 1， 2， 3 等价，从而 1， 2， 3 也都是 AX=0 的解；又 r(1， 2， 3)=3，即 1， 2， 3 线性无关，因此是 AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 记 s=nr(A)，则本题要说明两点
12、 (1)存在 AX= 的 s+1 个线性无关的解(2)AX= 的 s+2 个解一定线性相关 (1)设 为(I)的一个解，1， 2， s 为导出组的基础解系，则 不能用 1， 2， s 线性表示，因此， 1， 2， s 线性无关，+ 1，+ 2，+ s 是(I)的 s+1 个解，并且它们等价于 ， 1,2， s于是 r( ，+ 1，+ 2，+ s) =r(， 1， 2， s) =s+1，因此 ，+ 1，+ 2，+ s 是(I) 的 s+1 个线性无关的解 (2)AX= 的任何 s+2 个解都可用 ， 1， 2， s 这 s+1 向量线性表示，因此一定线性相关。【知识模块】 线性代数10 【正确答
13、案】 记 A=(1， 2， 3)，则问题化为线性方程组 AX= 解的情形的讨论及求解问题了.(1)a=0(b 任意)时方程组 AX= 无解， 不能用1， 2， 3 线性表示 (2)当 a0，ab 时，r(A|)=r(A)=3，方程组 AX= 有唯一解，即 可用 1， 2， 3 唯一表示(3)当 a=b0 时 r(A|)=r(A)=2，AX= 有无穷多解，即 可用 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一AX= 有特解 而(0，1，1) T 构成AX=0 的基础解系，AX= 的通解为【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 l 1，l 2，l 3 交于一点即方程组 有唯一解，即系数矩阵的秩=增广
14、矩阵的秩 =2 则方程组系数矩阵的秩=r(A)，增广矩阵的秩=r(B) ，于是 l1，l 2，l 3 交于一点 r(A)=r(B)=2 必要性 由于 r(B)=2，则|B|=0计算出 |B|=一(a+b+c)(a 2+b2+c2ab 一 ac 一 bc) =一(a+b+c)(ab)2+(b 一 c)2+(c 一 a)2a ，b，c 不会都相等( 否则 r(A)=1)，即(a 一b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)20得 a+b+c=0 充分性 当 a+b+c=0 时，|B|=0 ，于是 r(A)r(B)2只用再证 r(A)=2，就可得到 r(A)=r(B)=2 用反证法若 r(A)2，则
15、A的两个列向量线性相关不妨设第 2 列是第 1 列的 倍，则b=a， c=b， a=c于是 3a=a， 3b=b， 2c=c，由于 a，b，c 不能都为 0，得3=1，即 =1，于是 a=b=c再由 a+b+c=0，得 a=b=c=0，这与直线方程中未知数的系数不全为 0 矛盾【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 X 一定是 2 阶矩阵AX 一 XA=B 即x1，x 2，x 3，x 4 是线性方程组：得 a=一 3，b=一 2 把 a=一 3，b=一 2 代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵 解得通解为 (一 3，一 2，0，0)T+c1(1， 1，1 ，0) T+c2(1，0
16、，0，1) T，c 1，c 2 任意 则满足 AX 一 XA=B 的矩阵 X的一般形式为【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 对 AX=B 的增广矩阵(A|B)作初等行变换化为阶梯形矩阵：得到AX=0 的同解方程组： 求得基础解系：(一 2，1，1，0)T， (1，0，0， 1)T (2)AX=B 有解 r(A|B)=r(A)=2，得 a=6，b=一 3，c=3 (3)建立 3 个线性方程组，它们的系数矩阵都是 A，常数列依次为 B 的各列则 X 的各列依次是它们的解它们的导出组都是 AX=0，已经有了基础解系(一 2，1，1，0)T， (1，0，0， 1)T，只用再各求一个特解就可得到通
17、解可以一起用矩阵消元法求它们的特解： 于是(32， 32，0，0) T，(一 32，32，0，0) T，(0，1，0，0) T 依次是这 3 个方程组的特解AX=B 的通解为：【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 r( T)1，因此 T 的特征值为 0，0，0，tr( T) 设=(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T，则 T 的对角线元素为a1b1，a 2b2，a nbn，于是 tr(T)=a1b1+a2b2+anbn=T 仍记 A=T，则A=T=(T)，因此则 是 A 的特征向量，特征值为 T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A=，得 于是一1=，2+a=
18、，1+b= 一 ，解出 =一 1，a=一 3，b=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 a=2，b=一 3，c=2，=1 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，用初等变换法求解：【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 把 表示为 1， 2， 3 线性组合，即解方程 x11+x22+x33=，得到 =2122+3 线于是 A n=An(2122+3) =2An12An2+An3=212n+12+3n3=(22n+1+3n，22 n+2+3n+1，2 2n+3+3n+2)T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 的特征多
19、项式=( 一 1)(2+4 一 5)=( 一 1)2(+5)得到 A 的特征值为 1(二重)和一 5 A -1 的特征值为 1(二重) 和一15 A -1+E 的特征值为 2(二重)和 45【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 先找 A 的特征向量由于 1， 2 线性无关，每个 2 维向量都可以用它们线性表示于是 A 的特征向量应是 1， 2 的非零线性组合 c11+c22，由于从条件看出 1 不是特征向量，c 2 不能为 0，不妨将其定为 1，即设 =c1+2 是 A的特征向量，特征值为 ，则 A=， A=A(c 1+2)=c(1+2)+41+2=(c+4)1+(c+1)2， 则 (c+
20、4) 1+(c+1)2=(c1+)， 得 c+4=c，c+1=解得 c=2 或一 2，对应的特征值 分别为 3，一 1|A|=一 3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1) 1=(1，2，2) T 是(AE)X=0 的解，即 A1=1，于是 1 是 A 的特征向量，特征值为 1 同理得 2 是 A 的特征向量，特征值为一 1 记3=(1， 1，1) T，由于 A 的各行元素之和都为 2，A 3=(2，2，2) T=23，即 3 也是A 的特征向量，特征值为 2 于是 A 的特征值为 1，一 1，2 属于 1 的特征向量为 c1，c0 属于一 1 的特征向量为 c2，c0 属于 2 的特
21、征向量为 c3，c0 (2)建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(1，一 2，2 3)，用初等变换法解得【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)由条件得 A(1，2，一 1)T=(一 3，一 6，3)，A(1 ，0，1)T=(3，0，3) ，说明(1 ，2，一 1)T 和(1，0，1) T 都是 A 的特征向量，特征值分别为一 3 和 3 A 的秩为 2维数 3，于是 0 也是 A 的特征值 A 的特征值为一3，3，0 属于一 3 的特征向量为 c(1，2，一 1)T， c0 属于 3 的特征向量为c(1， 0，1) T，c0 属于 0 的特征向量和(1，2，一 1)T，(1，0，1)
22、 T 都正交，即是方程组 的非零解，解出属于 0 的特征向量为：c(一 1，1，1)T， c0(2)利用 A 的 3 个特征向量，建立矩阵方程求 A【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)由于 A3=A，A 的特征值 满足 3=，从而 只能为 0，1 或一1(但并非 0，1，一 1 都一定是 A 的特征值!) (2)由 A 的特征值不是 0，1，一 1 外的数，得知 A+2E 的特征值不是 2，3，1 之外的数又由于|A+2E|=8，必有 A+2E的特征值为 2，2，2，1，从而 A 的特征值为 0，0 ，0，一 1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 条件说明一 1，1，2 是
23、A 的特征值 得出 A3-5A2 的 3 个特征值：记 f(x)=x3-5x2，则 A3-5A2 的 3 个特征值为 f(一 1)=一 6，f(1)=一 4，f(2)= 一 12 |A3-5A2|=(一 4)(一 6)(一 12)=一 288【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 用特征值计算 T=2，于是 T 的特征值为 0，0，2，从而 A 的特征值为 1，1，一 1，A 2-2A+2E 的特征值为 1，1，5于是|A 2-2A+2E|=115=5【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 利用 A 容易计算其方幂，求出矩阵 aE-An 后再计算行列式|aEAn|=a(a 一 2n-1)2
24、 一(2 n-1)2=a2(a2n)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 记矩阵则所求为|A|A=B+cE，而 于是 B 的特征值为0，0，0，a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4 从而 A 的特征值为 c，c，c ，a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c,则|A|=c3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是 0 不是它的特征值 由于 A3=E，A 的特征值都满足 3=1 (1)A 22A 一 3E=(A 一 3E)(A+E)，3 和一 1都不满足 3=1，因此都不是 A 的特征值于是(A 一
25、 3E)和(A+E)都可逆，从而A22A 一 3E 可逆 (2)设 A 的全体特征值为 1， 2， n，则 A2+A+2E 的特征值 i2+i+2，i=1 ，2，n. 由于 i3=1， i 或者为 1，或者满足 i2+i+1=0于是i2+i+2 或者为 4，或者为 1，总之都不是 0因此 A2+A+2E 可逆【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)求 a A 的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况： 2 是二重根，即 2 是 2 一 8+18+3a 的根，即 4 一16+18+3a=0，求出 a=一 2，此时三个特征值为 2， 2，6 2 是一重根，则 2 一8+18+3a
26、有二重根， 2 一 8+18+3a=(x 一 4)2，求出 a=一 23此时三个特征值为 2，4，4 (2)讨论 A 是否相似于对角化矩阵 当 a=一 2 时，对二重特征值2，考察 3 一 r(A 一 2E)是否为 2?即 r(A 一 2E)是否为 1当 a=一 23 时，对二重特征值 4，考察 3 一 r(A 一 4E)是否为 2?即 r(A 一 4E)是否为 1r(A 一 4E)=2，此时 A 不相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)用矩阵分解： A( 1， 2， 3) =(1+22+23，2 1+2+23，2 1+22+3)=(1， 2， 3)B，这里 从1，
27、2， 3 线性无关的条件知道，( 1， 2， 3)是可逆矩阵于是 A 相似于 B的秩为 1，其特征值为 0，0，6得 B的特征值为一 1，一 1，5则 A 的特征值也为一 1，一 1，5(2)B 是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A 也相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 A 的特征值 0，5，b如果 b0 和 5，则 A 的特征值两两不同，A 相似于对角矩阵如果 b=0，则 A 的特征值 0，0，5 A 相似于对角矩阵 特征值 0 的重数 2=3 一 r(A),r(A)=1,a=0于是：a=0 且 b=0 时 A 相似于对角矩阵；a0 且 b=0 时 A 不
28、相似于对角矩阵；如果 b=5，则 A 的特征值0，5，5 而 r(A 一 5E)=2，特征值 5 的重数 23 一 r(A 一5E），A 不相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 (1)A 与 B 相似，从而有相同的特征值 2，2，y2 是二重特征值，于是 r(A 一 2E)=1 A 与 B 相似从而 tr(A)=tr(B)，于是 1+4+5=2+2+y得 y=6(2)求属于 2 的两个线性无关的特征向量：即求(A 一 2E)X=0 的基础解系：得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x 1 =一x2+x3， 得基础解系 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1) T 求
29、属于 6 的一个特征向量：即求(A 一 6E)X=0 的一个非零解： 得(A一 6E)X=0 的同解方程组 得解 3=(1，一 2，3) T 令U=(1， 2， 3)，则【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)求 A 的特征值：于是 A 的特征值为 1(一重)和一 1(二重 ) 要使 A 可对角化，只需看特征值一 1要满足 3 一 r(a+E)=2，即r(A+E)=1， (2)求属于一 1的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0 的基础解系：得(A+E)X=0 的同解方程组 2x 1+x2 一 x3=0 得基础解系 1=(1，0，2) T， 2=(0，1，1) T 求属于 1 的
30、一个特征向量，即求(A E)X=0 的一个非零解： 得(A E)X=0 的同解方程组 得解 3=(1，0，1) T 令 U=(1， 2， 3)，则【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值A 的特征值为 a+1(二重)和 a2(一重) 求属于 a+1 的两个线性无关的特征向量，即求 A 一(a+1)EX=0的基础解系： 得A 一(a+1)EX=0 的同解方程组 x 1=x2+x3，得基础解系 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T 求属于a2 的一个特征向量，即求A 一(a 2)EX=0 的一个非零解：得A 一(a 一 2)EX=0 的同解方程组得解 3=(一 1，1，1) T 令 U=(1， 2， 3)，则(2)AE 的特征值为 a(二重)和 a 一 3，于是|A E|=a2(a 一 3)【知识模块】 线性代数
