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[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷93及答案与解析.doc

1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 93 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 的逆矩阵为( )2 设 n 阶矩阵 A=(1, 2, n),B=( 1, 2, n),AB=( 1, 2, n),记向量组() : 1, 2, n;(): 1, 2, n;(): 1, 2, n,若向量组( )线性相关,则 ( )(A)(I),( )都线性相关(B) (I)线性相关(C) ()线性相关(D)() , ()至少有一个线性相关3 设 ,则 A 与 B( )(A)相似且合同(B)相似不合同(C)合同不相似(D)不合同也不

2、相似4 设 A 为 n 阶矩阵,k 为常数,则(kA) *等于( ) (A)kA *(B) kna*(C) kn1 A*(D)k n(n1) A*5 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A,B 的特征值相同,则( )(A)A,B 相似于同一个对角矩阵(B)存在正交阵 Q,使得 QTAQ=B(C) r(A)=r(B)(D)以上都不对二、填空题6 设 A 是 m 阶矩阵,B 是 n 阶矩阵,且A=a ,B=b,则 =_7 设 A 是三阶矩阵,且A=4,则 =_8 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2,B= ,则 r(AB)=_9 设方程组 有解,则 a1,a 2,a 3,a 4 满足的条件是 _1

3、0 设 , 为三维非零列向量,(,)=3,A= T,则 A 的特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一12 设 1, 2, , M, 1, 2, n 线性无关,而向量组 1, 2, m, 线性相关。证明:向量 可由向量组 1, 2, m, 1, 2, n 线性表示13 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1, 2, 3 且 r(A)=3,设 1+2=, 2+3= ,求方程组 AX=b 的通解13 设 为 A 的特征向量14 求 a,b 及 A 的所有特征值与特征向量15 A 可否对角化? 若可对角化,求可逆矩阵 P,

4、使得 P1 AP 为对角矩阵16 设 X1,X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1, 2 的特征向量,证明:X 1+X2 不是A 的特征向量17 设 为 A*的特征向量,求 A*的特征值 及 a,b,c 和 A 对应的特征值 17 二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+ax22+x32 一 4x1x28x1x34x2x3 经过正交变换化为标准形 5y12+by22 一 4y32,求:18 常数 a,b ;19 正交变换的矩阵 Q20 设 A=(aij)nn 是非零矩阵,且A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明:A021 设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A *)*=

5、A n2 A22 设 1, 2, , n 为 n 个 n 维线性无关的向量,A 是 n 阶矩阵证明:A1,A 2,A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆23 设向量组 1, 2, n1 为 n 维线性无关的列向量组,且与非零向量 1, 2正交证明: 1, 2 线性相关23 设 24 求() ,()的基础解系;25 求() ,()的公共解26 设 A 是 mn 阶矩阵,且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( )=rn证明:方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n 一 r+1 个27 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n证明: A,B 有公共的特征向量2

6、7 设 A 是 n 阶矩阵, 1, 2, n 是 n 维列向量,且 an0,若A1=2,A 22=3,A n1 =n,A n=028 证明: 1, 2, n 线性无关;29 求 A 的特征值与特征向量30 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y22 一 2y32,且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 1= ,求此二次型考研数学一(线性代数)模拟试卷 93 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A,B 都是可逆矩阵,因为 ,所以 ,选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】

7、若 1, 2, n 线性无关, 1, 2, n 线性无关,则 r(A)=n, r(B)=n,于是 r(AB)=n因为 1, 2, n 线性相关,所以 r(AB)=r(1, 2, n)n,故 1, 2, n 与 1, 2, n 至少有一个线性相关,选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1,3,一 5,由E 一 B=0得 B 的特征值为 1,1,一 1,所以 A 与 B 合同但不相似,选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式,而余子式为 n 一 1 阶子式,所以

8、(kA) *=kn1 A*,选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 令 ,显然 A,B 有相同的特征值,而 r(A)r(B),所以(A) ,(B),(C)都不对,选 (D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 (-1) mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次,然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次,如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次,则【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2【试题解析】 ( A) 1=2A 1 =2 3A 1 =2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 因为B=1

9、00,所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 a 1a 2a 3a 4=0【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A,令 AX=X,因为 A2X=2X,所以有( 2 一 3)X=0,而X0,故 A 的特征值为 0 或者 3,因为 1+2+3=tr(A)=(,),所以1=3, 2=3=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设存在可逆阵 B,C,使得 AB=AC=E,于是 A(BC)=O,故r(A)+r(BC)n,因为 A 可逆,所以 r(A)=n,从而 r

10、(BC)=0 ,BC=O ,于是B=C,即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为向量组 1, 2, M, 1, 2, n 线性无关,所以向量组 1, 2, , m 也线性无关,又向量组 1, 2, m, 线性相关,所以向量 可由向量组 1, 2, m 线性表示,从而 可由向量组1, 2, m, 1, 2, n 线性表示【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 r(A)=3,所以方程组 AX=b 的通解形式为 K+,其中 为AX=0 的一个基础解系, 为方程组 AX=b 的特解,根据方程组解的结构的性质,=(2+3)一( 1+2)=3 一 1= ,所以方程组

11、AX=b 的通解为 (K 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 A 的特征值都是单值,所以 A 可相似对角化【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量,则有A(X1+X2)=(X1+X2), 因为 AX1=1X1,AX 2=2X2,所以( 1 一 )X1+(2 一 )X2=0, 而 X1,X 2 线性无关,于是 1=2=,矛盾,故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量,由

12、得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 A= ,则 f(x1,x 2,x 3)=XtAX,矩阵 A 的特征值为1=5, 2=b, 3=一 4,由 ,从而 A= ,特征值为 1=2=5, 3=一 4【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 将 1=2=5 代入(E 一 A)X=0,即(5E A)X=0,【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵,所以 A 至少有一行不为零,设 A 的第 k 行是非零行,则A=a k1Ak1+ak2Ak2+aknAkn=ak12+ak22+akn20【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (A *)*A*=A *

13、E= A n1 E,当 r(A)=n 时,r(A *)=n,A *=AA 1 ,则(A *)*A*=(A*)*AA 1 =A n1 E,故(A *)*=A n2 A,当 r(A)=n 一 1 时,A=0,r(A *)=1,r(A *)*=0,即 (A*)*=O,原式显然成立,当r(A)n 一 1 时,A=0,r(A *)=0,(A *)*=O,原式也成立【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 B=(1, 2, n),因为 1, 2, n 为 n 个 n 维线性无关的向量,所以 r(B) =n, (A1,A 2,A n)=AB,因为 r(AB)=r(A),所以A1,A 2,A n 线性无关

14、的充分必要条件是 r(A)=n,即 A 可逆【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 A= ,因为 1, 2, n1 与 1, 2 正交,所以A1=0,A 2=0,即 1, 2 为方程组 AX=0 的两个非零解,因为 r(A)=n1,所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量,所以 1, 2 线性相关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 r(A)=rn,所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有nr 个线性无关的解向量,设为 1, 2, n r 设 0 为方程

15、组 AX=b 的一个特解, 令 0=0, 1=1+0, 2=2+0, nr =nr +0,显然0, 1, 2, nr 为方程组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+knr nr =0,即(k0+k1+knr )0+k11+k22+knr nr =0, 上式两边左乘 A 得(k 0+k1+knr )b=0, 因为 b 为非零列向量,所以 k0+k1+knr =0,于是k11+k22+knr nr =0,注意到 1, 2, nr 线性无关,所以k1=k2=knr =0, 故 0, 1, 2, nr 线性无关,即方程组 AX=b 存在由 n一 r1 个线性无关的解向量构成的向量组,设 1, 2,

16、 nr2 为方程组 AX=b的一组线性无关解, 令 1=2 一 1, 2=3 一 1, nr1 =nr2 1 根据定义,易证 1, 2, nr1 线性无关,又 1, 2, , nr1 为齐次线性方程组AX=0 的一组解,即方程组 AX=0 含有 n 一 r+1 个线性无关的解,矛盾,所以AX=b 的任意 n 一 r+2 个解向量都是线性相关的,所以 AX=b 的线性无关的解向量盼个数最多为 n 一 r+1 个【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n,所以 r(A)n,r(B)n,于是 =0 为 A,B 公共的特征值,A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX

17、=0 的非零解;B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解,因为 有非零解,即A,B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 令 x11+x22+xnn=0,则x1A1+x2A2+xnAn=0 x12x 23+xn1 n=0x1A2+x2A3+x n1 An=0x13+x24+xn2 n=0x1n=0 因为 n0,所以 x1=0,反推可得x2=xn=0,所以 1, 2, n 线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A( 1, 2, n)=(1, 2, n) ,令 P=(1, 2, n),则 P1 AP= =n=0,即 A

18、的特征值全为零,又 r(A)=n 一 1,所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量,而 An=0n(n0),所以 A 的全部特征向量为kn(k0)【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y222y 32,所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1, 3=一 2由A= 123=一 2 得 A*的特征值为1=2=一 2, 3=1,从而 A*+2E 的特征值为 0,0, 3,即 1 为 A*+2E 的属于特征值 3 的特征向量,故也为 A 的属于特征值 3=一 2 的特征向量令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为 = ,因为 A 为实对称矩阵,所以有 1T=0,即x1+x3=0 故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为【知识模块】 线性代数

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