1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 93 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )2 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组() ： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组( )线性相关，则 ( )（A）(I)，( )都线性相关（B） (I)线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关3 设 ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不
2、相似4 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） kna*（C） kn1 A*（D）k n(n1) A*5 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对二、填空题6 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，则 =_7 设 A 是三阶矩阵，且A=4，则 =_8 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_9 设方程组 有解，则 a1，a 2，a 3，a 4 满足的条件是 _1
3、0 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一12 设 1， 2， ， M， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关。证明：向量 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示13 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设 1+2=， 2+3= ，求方程组 AX=b 的通解13 设 为 A 的特征向量14 求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量15 A 可否对角化? 若可对角化，求可逆矩阵 P，
4、使得 P1 AP 为对角矩阵16 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量，证明：X 1+X2 不是A 的特征向量17 设 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 17 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32 一 4x1x28x1x34x2x3 经过正交变换化为标准形 5y12+by22 一 4y32，求：18 常数 a，b ；19 正交变换的矩阵 Q20 设 A=(aij)nn 是非零矩阵，且A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A021 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*=
5、A n2 A22 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆23 设向量组 1， 2， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2正交证明： 1， 2 线性相关23 设 24 求() ，()的基础解系；25 求() ，()的公共解26 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( )=rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n 一 r+1 个27 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明： A，B 有公共的特征向量2
6、7 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 an0，若A1=2，A 22=3，A n1 =n，A n=028 证明： 1， 2， n 线性无关；29 求 A 的特征值与特征向量30 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y22 一 2y32，且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 1= ，求此二次型考研数学一（线性代数）模拟试卷 93 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为 ，所以 ，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】
7、若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)=n， r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)=r(1， 2， n)n，故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由E 一 B=0得 B 的特征值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n 一 1 阶子式，所以
8、(kA) *=kn1 A*，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 令 ，显然 A，B 有相同的特征值，而 r(A)r(B)，所以(A) ，(B)，(C)都不对，选 (D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 (-1) mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2【试题解析】 ( A) 1=2A 1 =2 3A 1 =2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 因为B=1
9、00，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 a 1a 2a 3a 4=0【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A，令 AX=X，因为 A2X=2X，所以有( 2 一 3)X=0，而X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+3=tr(A)=(，)，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=O，故r(A)+r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r
10、(BC)=0 ，BC=O ，于是B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为向量组 1， 2， M， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 K+，其中 为AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质，=(2+3)一( 1+2)=3 一 1= ，所以方程组
11、AX=b 的通解为 (K 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1+X2)=(X1+X2)， 因为 AX1=1X1，AX 2=2X2，所以( 1 一 )X1+(2 一 )X2=0， 而 X1，X 2 线性无关，于是 1=2=，矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由
12、得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=XtAX，矩阵 A 的特征值为1=5， 2=b， 3=一 4，由 ，从而 A= ，特征值为 1=2=5， 3=一 4【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 将 1=2=5 代入(E 一 A)X=0，即(5E A)X=0，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则A=a k1Ak1+ak2Ak2+aknAkn=ak12+ak22+akn20【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (A *)*A*=A *
13、E= A n1 E，当 r(A)=n 时，r(A *)=n，A *=AA 1 ，则(A *)*A*=(A*)*AA 1 =A n1 E，故(A *)*=A n2 A，当 r(A)=n 一 1 时，A=0，r(A *)=1，r(A *)*=0，即 (A*)*=O，原式显然成立，当r(A)n 一 1 时，A=0，r(A *)=0，(A *)*=O，原式也成立【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B) =n， (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关
14、的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 A= ，因为 1， 2， n1 与 1， 2 正交，所以A1=0，A 2=0，即 1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有nr 个线性无关的解向量，设为 1， 2， n r 设 0 为方程
15、组 AX=b 的一个特解， 令 0=0， 1=1+0， 2=2+0， nr =nr +0，显然0， 1， 2， nr 为方程组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+knr nr =0，即(k0+k1+knr )0+k11+k22+knr nr =0， 上式两边左乘 A 得(k 0+k1+knr )b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+knr =0，于是k11+k22+knr nr =0，注意到 1， 2， nr 线性无关，所以k1=k2=knr =0， 故 0， 1， 2， nr 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n一 r1 个线性无关的解向量构成的向量组，设 1， 2，
16、 nr2 为方程组 AX=b的一组线性无关解， 令 1=2 一 1， 2=3 一 1， nr1 =nr2 1 根据定义，易证 1， 2， nr1 线性无关，又 1， 2， ， nr1 为齐次线性方程组AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 n 一 r+1 个线性无关的解，矛盾，所以AX=b 的任意 n 一 r+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量盼个数最多为 n 一 r+1 个【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX
17、=0 的非零解；B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解，因为 有非零解，即A，B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 令 x11+x22+xnn=0，则x1A1+x2A2+xnAn=0 x12x 23+xn1 n=0x1A2+x2A3+x n1 An=0x13+x24+xn2 n=0x1n=0 因为 n0，所以 x1=0，反推可得x2=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A( 1， 2， n)=(1， 2， n) ，令 P=(1， 2， n)，则 P1 AP= =n=0，即 A
18、的特征值全为零，又 r(A)=n 一 1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为kn(k0)【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y222y 32，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 2由A= 123=一 2 得 A*的特征值为1=2=一 2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0， 3，即 1 为 A*+2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=一 2 的特征向量令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即x1+x3=0 故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为【知识模块】 线性代数
