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[考研类试卷]考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编23及答案与解析.doc

1、考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (99 年 )设2 (00 年 )设级数 收敛,则必收敛的级数为3 (02 年 )设 un0,(n=1, 2,3,),且(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性根据所给条件不能判定4 (04 年 )设 为正项级数,下列结论中正确的是5 (06 年 )若级数 收敛,则级数6 (09 年 )设有两个数列 an,b n,若 ,则7 (11 年 )设数列 an单调减少, (n=1,2,)无界,则幂级数的收敛域为(A)(一 1,1 (B) -1,1)(C) 0,2) (D

2、)(0 ,28 (13 年 )设 f(x)= ,b n=201f(x)sinnnxdx(n=1,2,)令 S(x)= 则 =9 (15 年 )若级数 条件收敛,则 依次为幂级数 的(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点二、填空题10 (97 年) 设幂级数 的收敛半径为 3,则幂级数 的收敛区间为_11 (03 年) 设 x2= (一 x),则 a2=_12 (08 年) 已知幂级数 在 x=0 处收敛,在 x=一 4 处发散,则幂级数的收敛域为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (97 年) 设 a1=2, 证明:14 (98

3、年) 设正项数列 an单调减小,且 是否收敛?并说明理由15 (99 年) (2)试证:对任意的常数 0,级数 收敛16 (00 年) 求幂级数 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性17 (01 年) 设 f(x)= ,试将 f(x)展开成 x 的幂级数,并求级数的和18 (03 年) 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数,并求级数 的和19 (04 年) 设有方程 xn+nx 一 1=0,其中 n 为正整数,证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当 1 时,级数 收敛20 (05 年) 求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x)21 (06 年) 将函数 展开成 x 的幂级数22 (07 年

4、) 设幂级数 在(一,+)内收敛,其和函数 y(x)满足 y“一 2xy一4y=0, y(0)=0,y(0)=1 ()求 y(x)的表达式23 (08 年) 将函数 f(x)=1 一 x2(0x)展开成余弦级数,并求级数 的和24 (09 年) 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1,2,)所围成区域的面积,记求 S1 与 S2 的值25 (10 年) 求幂级数 的收敛域及和函数26 (12 年) 求幂级数 的收敛域及和函数27 (13 年) 设数列 an满足条件:a 0=3,a 1=1,a n-2=-n(n 一 1)an=0(n2),S(x)是幂级数 的和函数()证明:S“(x

5、)一 S(x)=0;()求 S(x)的表达式28 (14 年) 设数列 an,b n满足 0a n ,cosa n 一 an=cosbn,且级数 收敛29 (16 年) 已知函数 f(x)可导,且 f(0)=1,0f(x) 设数列x n满足 xn+1=f(xn)(n=1,2,)证明:30 (87 年) 求微分方程 y“+6y“+(9+a2)y=1 的通解(一般解 ),其中常数 a0考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)是定义在0 ,1上的分段连续函数, S(x)是 f(x)

6、作偶延拓后得到的傅里叶余弦展开式,且 S(x)定义在(一 ,+) 上以 2 为周期,由狄里克雷收敛定理知【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由原级数 是这两个收敛级数的和,因此必收敛【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 由比较判别法的极限形式知,级数 同敛散而【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 收敛,故D【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 取 an=bn= 发散,则(A)不正确;取 an=bn= 显然(B) 和(D)都不正确;故(C)【知识模块】 高等

7、数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由于幂级数 的收敛区间的中心应为 1,则(A)(B)选项不正确【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知本题是将 f(x)以周期 2 且作奇延拓展开为正弦级数,则故(C)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 由级数 (x 一 1)n 在 x=2 处条件收敛,则 x=2 为幂级数 (x 一 1)n 的收敛区间的端点,故其收敛半径为 1由幂级数的性质可知,幂级数 的收敛半径也为 1由于为收敛点,x=3 为发散点,故(B)【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 (一 2,4)【试题解析】 由于 而幂级数逐项求

8、导后收敛半径不变,则 收敛半径为 3,从而 的收敛半径为 3故收敛半径为 3,其收敛域为(一 2,4)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 1【试题解析】 由原题可知 故应填 1【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (1,5 【试题解析】 由于 在 x=0 收敛,在 x=一 4 发散,根据阿贝尔定理知,该幂级数收敛域为(-4,0 当 x=一 4 时,x+2=一 2,令 x-3=-2 得 x=1,当 x=0 时,x+2=2,令 x 一 3=2 得 x=5 则幂级数 的收敛域为(1,5【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】

9、高等数学14 【正确答案】 由正项数列a n单调减少知极限发散知,a0,否则若 a=0,由莱不尼兹准则可知 收敛既然 a0,则 a0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 则 R=3,收敛区间为(一 3,3)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 记 f n(x)=xn+nx 一 1 当 x0 时,f n(x)=nxn-1+n0 故 fn(x)在0,+) 上单调增加 而 fn(0)=一 10,f n(1)=n0,由连续函数的介值定理知xn+nx 一 1=0 存在惟一

10、正实根 xn 由 xnn+nxn 一【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 所以当 x21时,原级数绝对收敛,当 x21 时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为 1,收敛区间为(-1, 1)由于 S(0)=0,S(0)=0 所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 代入 y“一 2xy-4y=0 得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由于【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 所以当x21,即|x|1 时, 绝对收敛,当|x| 1 时, 发散,因此幂级数的收敛半径 R=1当 x=1 时,原级

11、数为 由莱布尼茨判别法知此级数收敛,因此幂级数的收敛域为一 1,1【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 记 所以原级数的收敛半径为 1又因为当 x=1 时,级数 发散,所以幂级数的收敛域是(一 1,1) 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (I)由题设得 的收敛半径为+ 由于 an-2 一n(n 一 1)an=0,所以 故 S“(x)一 S(x)=0( )齐次微分方程 S“(x)一 S(x)=0 的特征根为 1 和一 1,通解为 S(x)=C1ex+C2e-x由 S(0)=a0=3,S(0)=a 1=1 得 C1=2,C 2【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 (I)由级数 又

12、0a n=cosan 一 cosbn1 一cosbn(cosx 在第一象限单调减) 由夹逼原理可知, ()由(I) 中的结论0a n1 一 cosbn 可知【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (I)因为 xn+1=f(xn),所以|x n+1 一 xn|f(xn)一 f(xn-1)|=|f()(xn 一 xn-1),其中 介于 xn 与 xn-1 之间即c 是 g(x)=x 一 f(x)的零点因为 g(0)=一 1,g(2)=2 一 f(2)=1 一f(2)一 f(0)=12f()【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 该方程对应的齐次方程的特征方程为 3+62+(9+a2)=0 其根为1=0, 2,3=一 3ai 则齐次方程通解为 由 =0 为特征方程的单根,则可设非齐次方程特解为 y*=Ax 代入原方程得 故原方程通解为 【知识模块】 高等数学

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