1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (99 年 )设2 (00 年 )设级数 收敛，则必收敛的级数为3 (02 年 )设 un0，(n=1， 2，3，)，且（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性根据所给条件不能判定4 (04 年 )设 为正项级数，下列结论中正确的是5 (06 年 )若级数 收敛，则级数6 (09 年 )设有两个数列 an，b n，若 ，则7 (11 年 )设数列 an单调减少， (n=1，2，)无界，则幂级数的收敛域为（A）(一 1，1 （B） -1，1)（C） 0，2) （D
2、）(0 ，28 (13 年 )设 f(x)= ，b n=201f(x)sinnnxdx(n=1，2，)令 S(x)= 则 =9 (15 年 )若级数 条件收敛，则 依次为幂级数 的（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点二、填空题10 (97 年) 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为_11 (03 年) 设 x2= (一 x)，则 a2=_12 (08 年) 已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数的收敛域为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (97 年) 设 a1=2， 证明：14 (98
3、年) 设正项数列 an单调减小，且 是否收敛?并说明理由15 (99 年) (2)试证：对任意的常数 0，级数 收敛16 (00 年) 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性17 (01 年) 设 f(x)= ，试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数的和18 (03 年) 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并求级数 的和19 (04 年) 设有方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当 1 时，级数 收敛20 (05 年) 求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x)21 (06 年) 将函数 展开成 x 的幂级数22 (07 年
4、) 设幂级数 在(一，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“一 2xy一4y=0， y(0)=0，y(0)=1 ()求 y(x)的表达式23 (08 年) 将函数 f(x)=1 一 x2(0x)展开成余弦级数，并求级数 的和24 (09 年) 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围成区域的面积，记求 S1 与 S2 的值25 (10 年) 求幂级数 的收敛域及和函数26 (12 年) 求幂级数 的收敛域及和函数27 (13 年) 设数列 an满足条件：a 0=3，a 1=1，a n-2=-n(n 一 1)an=0(n2)，S(x)是幂级数 的和函数()证明：S“(x
5、)一 S(x)=0；()求 S(x)的表达式28 (14 年) 设数列 an，b n满足 0a n ，cosa n 一 an=cosbn，且级数 收敛29 (16 年) 已知函数 f(x)可导，且 f(0)=1，0f(x) 设数列x n满足 xn+1=f(xn)(n=1，2，)证明：30 (87 年) 求微分方程 y“+6y“+(9+a2)y=1 的通解(一般解 )，其中常数 a0考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)是定义在0 ，1上的分段连续函数， S(x)是 f(x)
6、作偶延拓后得到的傅里叶余弦展开式，且 S(x)定义在(一 ，+) 上以 2 为周期，由狄里克雷收敛定理知【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由原级数 是这两个收敛级数的和，因此必收敛【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 由比较判别法的极限形式知，级数 同敛散而【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 收敛，故D【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 取 an=bn= 发散，则(A)不正确；取 an=bn= 显然(B) 和(D)都不正确；故(C)【知识模块】 高等
7、数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由于幂级数 的收敛区间的中心应为 1，则(A)(B)选项不正确【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知本题是将 f(x)以周期 2 且作奇延拓展开为正弦级数，则故(C)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 由级数 (x 一 1)n 在 x=2 处条件收敛，则 x=2 为幂级数 (x 一 1)n 的收敛区间的端点，故其收敛半径为 1由幂级数的性质可知，幂级数 的收敛半径也为 1由于为收敛点，x=3 为发散点，故(B)【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 由于 而幂级数逐项求
8、导后收敛半径不变，则 收敛半径为 3，从而 的收敛半径为 3故收敛半径为 3，其收敛域为(一 2，4)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 1【试题解析】 由原题可知 故应填 1【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (1，5 【试题解析】 由于 在 x=0 收敛，在 x=一 4 发散，根据阿贝尔定理知，该幂级数收敛域为(-4，0 当 x=一 4 时，x+2=一 2，令 x-3=-2 得 x=1，当 x=0 时，x+2=2，令 x 一 3=2 得 x=5 则幂级数 的收敛域为(1，5【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】
9、高等数学14 【正确答案】 由正项数列a n单调减少知极限发散知，a0，否则若 a=0，由莱不尼兹准则可知 收敛既然 a0，则 a0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 则 R=3，收敛区间为(一 3，3)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 记 f n(x)=xn+nx 一 1 当 x0 时，f n(x)=nxn-1+n0 故 fn(x)在0，+) 上单调增加 而 fn(0)=一 10，f n(1)=n0，由连续函数的介值定理知xn+nx 一 1=0 存在惟一
10、正实根 xn 由 xnn+nxn 一【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 所以当 x21时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1， 1)由于 S(0)=0，S(0)=0 所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 代入 y“一 2xy-4y=0 得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由于【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 所以当x21，即|x|1 时， 绝对收敛，当|x| 1 时， 发散，因此幂级数的收敛半径 R=1当 x=1 时，原级
11、数为 由莱布尼茨判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为一 1，1【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 记 所以原级数的收敛半径为 1又因为当 x=1 时，级数 发散，所以幂级数的收敛域是(一 1，1) 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (I)由题设得 的收敛半径为+ 由于 an-2 一n(n 一 1)an=0，所以 故 S“(x)一 S(x)=0( )齐次微分方程 S“(x)一 S(x)=0 的特征根为 1 和一 1，通解为 S(x)=C1ex+C2e-x由 S(0)=a0=3，S(0)=a 1=1 得 C1=2，C 2【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 (I)由级数 又
12、0a n=cosan 一 cosbn1 一cosbn(cosx 在第一象限单调减) 由夹逼原理可知， ()由(I) 中的结论0a n1 一 cosbn 可知【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (I)因为 xn+1=f(xn)，所以|x n+1 一 xn|f(xn)一 f(xn-1)|=|f()(xn 一 xn-1)，其中 介于 xn 与 xn-1 之间即c 是 g(x)=x 一 f(x)的零点因为 g(0)=一 1，g(2)=2 一 f(2)=1 一f(2)一 f(0)=12f()【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 该方程对应的齐次方程的特征方程为 3+62+(9+a2)=0 其根为1=0， 2,3=一 3ai 则齐次方程通解为 由 =0 为特征方程的单根，则可设非齐次方程特解为 y*=Ax 代入原方程得 故原方程通解为 【知识模块】 高等数学
