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[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷137及答案与解析.doc

1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 137 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 若极限 A,则函数 f(x)在 xa 处(A)不一定可导(B)不一定可导,但 f (a)A(C)不一定可导,但 f (a)A(D)可导,且 f (a)A2 设有多项式 P(x)x 4a 3x3a 2x2a 1xa 0,又设 xx 0 是它的最大实根,则P(x0)满足(A)P(x 0)0(B) P(x0)0(C) P(x0)0(D)P(x 0)03 设 f(x)3x 2x 2x,则使 fn(0)存在的最高阶数 n(A)0(B) 1(C) 2(D)34 设 f(x) 在 x0 处可

2、导,则 a,b 满足(A)a0, b0(B) a1b1(C) a 为 常数,b0(D)a 为 常数,b15 设 f(a)0,则 0,有(A)f(x)f(a)(x (a 一 ,a)(B) f(x)f(a)(x(a 一 , a)(C) f(x) f(a)(x(a,a),f(x)f(a)(x (a 一 ,a)(D)f(x)f(a)(x (a,a) ,f(x) f(a)(x(a 一 ,a)6 设 f(x) 则(A)f(x)在 x0 处不连续(B) f(0)存在(C) f(0)不 ,曲线 y f(x)在点(0,0)处不 切线(D)f(0)不 ,曲线 y f(x)在点(0,0)处处有切线二、填空题7 设

3、f(x) ,则 f(1)_8 若函数 f(x)在 x1 处的导数存在,则极限_9 设 f(0)1,f(0)0,则 _10 设 k 为常数,则 _11 设 y 且 f(x)arctanx 2,则 _12 设 ysinx 2,则 _13 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)f 3(x),则 f(n)(x)_ 14 设 yln(1x 2),则 y(5)(0)_15 设 则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 a0 为常数, xn ,求 17 设 (x-3sin3xax -2 b)0,试确定常数 a,b 的值18 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型:()y(1x)arct

4、an ; ()y ;()y ;()f(x) (1x),x(0,2) ;()yfg(x),其中 f(x)19 设 0x 0,x n+1x n(2 一 xn),求证:x n收敛并求 20 证明: 21 设 f(x) g(x) 0, f*(x) (x)0 ,且 f(x)f *(x),g(x)g *(x)(xa).(I)当 xa 时无穷小 f(x)与 g(x)可比较,不等价( r1,或),求证:f(x)g(x)f *(x)g *(x)(xa);(II)当 0x 一 a 时f(x)与 f*(x)均为正值,求证: f(x)g(x) f*(x)g*(x)(其中一端极限存在,则另端极限也存在且相等)22 设

5、f(x)在(a,b)连续,x 1,x 2,x n(a,b), 1, 2, n 为任意 n 个正数,求证: (a,b) ,使得 23 设 f(x)在a,b连续,且 xa,b,总 ya,b,使得f(y) f(x)试证: a,b,使得 f()024 设 f(x)在0,)连续, f(x)A0,求证: f(t)dt25 设 f(x)在0,)连续, f(x)A0,证明: f(nx)dxA 考研数学一(高等数学)模拟试卷 137 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限存在并不能保证极限 都存在,因此两个单侧导数都不一定存在,应选(A

6、) 请读者试举一例【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 注意 P(z)在 (一,)连续,又 P(x) xx 0 时 P(x)0选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 实质上就是讨论 g(x)x 2x 时,g (n)(0) 的最高阶数 n 由于x在 x0 处不可导,因此 n2选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 首先,f(x)在 x0 连续 f(0),即 b0然后,f(x)在 x0 可导 f (0)f (0)当 b0 时, 按定义求出 由求导法则知由 f (0)f (0)得 a0因此选(A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】

7、 C【试题解析】 直接由定义出发 f(a) 由极限的保序性0,当 x(a 一 ,a)xa 时 f(x)f(a) (x(a,a),f(x)f(a) (x(a ,a)因此选(C)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)0f(0) 又yf(x)的图形见图 21因此,f(0)不 ,yf(x)在(0,0) 切线 x 0选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积,如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值,都比较麻烦.其实,当把 x1 代入每个因式后,只有第一项10,而其余所有项都不等于 0记 g(x)【知识模块】

8、 高等数学8 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义,将原式改写成f(1)2f(1)6f(1) 9f(1) 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 k【试题解析】 【分析一】 【分析二】利用等价无穷小因子替换:t0 时,(1t) k 一 1 kt,有原式【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 yf(u),【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】 设 ux 3,则 ,于是由复合函数求导法则即得 【分析二】 用微分之商来求【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (2n-1)!f 2n1 (

9、x)【试题解析】 f (2)(x)3f 2(x)f(x)3f 5(x),f (3)(x)35f 4(x)f(x)35f 7, 可归纳证明f(n)(x)(2n 1)!f2n1 (x)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 0【试题解析】 y 为偶函数 y5(x)为奇函数 y(5)(0)0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 当 0a1 时 0x na n, 0; 当 a1 时;【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由题设知【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 () 这是初等函数

10、,它在定义域(x 21)上联系因此,x1 时均连续x1 时, 故 x1 是第一类间断点(跳跃的). 又 故 x1 也是第一类间断点(可去)()先求极限函数注意x1 时,x1 与 x1 分别与某初等函数相同,故连续x1 时均是第一类间断点(跳跃间断点)因左、右极限均 ,不相等() 在区间(0,),1,0)上函数 y 分别与某初等函数相同,因为连续在 x0 处无定义,()f(x) 是初等函数,在(0 ,2)内 f(x)有定义处均连续,仅在无定义处及 处 f(x)不连续()方法 1 先求 fg(x)表达式当 x1,x1 时,fg(x)分别与某初等函数相同,因为连续,当 x1 时,分别求左、右极限故

11、x1为第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 f(x)x(2 一 x),则 xn1 f(x n)易知 f(x)2(1 一 x)0, x(0,1)因 0x 01 x1x 0(2 一 x0)1 一(x 01)2(0,1)若 xn(O,1)xn1 x n(2 一 xn)(0,1)又 x1 一 x0x 0(1 一 x0)0 x n单调上升且有界 极限 由递归方程得 aa(2 一 a)显然 a0 a1因此1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 取对数化乘积为和差【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 () 考察极限【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 依题设 n

12、 个函数值 f(x1),f(x 2),f(x n)中一定有最小和最大的,不妨设 minf(x 1),f(x n)f(x 1), maxf(x 1),f(x n)f(x n),则 记 ,若 f(x 1),则 x 1(a,b),f();若 f(x n),则 x n(a,b) ,f()若 f(x1)f(x n),由【定理 118】, 在 x1 与 xn 之间,即 (a,b) ,f()【试题解析】 只需证明: 是 f(x)在(a,b) 内某两个函数值的中间值【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 反证法若在a,b 上 f(x)处处不为零,则 f(x)在a,b上或恒正或恒负不失一般性,设 f(x)0,x a,b,则 x0a,b,f(x 0) f(x)0由题设,对此 x0, ya,b,使得 f(y) f(y) f(x 0) f(x0)f(x 0),与 f(x0)是最小值矛盾因此, a,b,使 f()0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因 ,由极限的不等式性质可知, ,当x 时 f(x) ,则 x 时有【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 先作变量替换:这是 型数列极限将它转化为 型函数极限,便可用洛必达法则求之,即【知识模块】 高等数学

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