1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 137 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若极限 A，则函数 f(x)在 xa 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f (a)A（C）不一定可导，但 f (a)A（D）可导，且 f (a)A2 设有多项式 P(x)x 4a 3x3a 2x2a 1xa 0，又设 xx 0 是它的最大实根，则P(x0)满足（A）P(x 0)0（B） P(x0)0（C） P(x0)0（D）P(x 0)03 设 f(x)3x 2x 2x，则使 fn(0)存在的最高阶数 n（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设 f(x) 在 x0 处可
2、导，则 a，b 满足（A）a0， b0（B） a1b1（C） a 为 常数，b0（D）a 为 常数，b15 设 f(a)0，则 0，有（A）f(x)f(a)(x (a 一 ，a)（B） f(x)f(a)(x(a 一 ， a)（C） f(x) f(a)(x(a，a)，f(x)f(a)(x (a 一 ，a)（D）f(x)f(a)(x (a，a) ，f(x) f(a)(x(a 一 ，a)6 设 f(x) 则（A）f(x)在 x0 处不连续（B） f(0)存在（C） f(0)不 ，曲线 y f(x)在点(0，0)处不 切线（D）f(0)不 ，曲线 y f(x)在点(0，0)处处有切线二、填空题7 设
3、f(x) ，则 f(1)_8 若函数 f(x)在 x1 处的导数存在，则极限_9 设 f(0)1，f(0)0，则 _10 设 k 为常数，则 _11 设 y 且 f(x)arctanx 2，则 _12 设 ysinx 2，则 _13 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)f 3(x)，则 f(n)(x)_ 14 设 yln(1x 2)，则 y(5)(0)_15 设 则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 a0 为常数， xn ，求 17 设 (x-3sin3xax -2 b)0，试确定常数 a，b 的值18 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：()y(1x)arct
4、an ； ()y ；()y ；()f(x) (1x)，x(0，2) ；()yfg(x)，其中 f(x)19 设 0x 0，x n+1x n(2 一 xn)，求证：x n收敛并求 20 证明： 21 设 f(x) g(x) 0， f*(x) (x)0 ，且 f(x)f *(x)，g(x)g *(x)(xa).(I)当 xa 时无穷小 f(x)与 g(x)可比较，不等价( r1，或)，求证：f(x)g(x)f *(x)g *(x)(xa)；(II)当 0x 一 a 时f(x)与 f*(x)均为正值，求证： f(x)g(x) f*(x)g*(x)(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)22 设
5、f(x)在(a，b)连续，x 1，x 2，x n(a，b)， 1， 2， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b) ，使得 23 设 f(x)在a，b连续，且 xa，b，总 ya，b，使得f(y) f(x)试证： a，b，使得 f()024 设 f(x)在0，)连续， f(x)A0，求证： f(t)dt25 设 f(x)在0，)连续， f(x)A0，证明： f(nx)dxA 考研数学一（高等数学）模拟试卷 137 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限存在并不能保证极限 都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选(A
6、) 请读者试举一例【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 注意 P(z)在 (一，)连续，又 P(x) xx 0 时 P(x)0选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 实质上就是讨论 g(x)x 2x 时，g (n)(0) 的最高阶数 n 由于x在 x0 处不可导，因此 n2选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 首先，f(x)在 x0 连续 f(0)，即 b0然后，f(x)在 x0 可导 f (0)f (0)当 b0 时， 按定义求出 由求导法则知由 f (0)f (0)得 a0因此选(A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】
7、 C【试题解析】 直接由定义出发 f(a) 由极限的保序性0，当 x(a 一 ，a)xa 时 f(x)f(a) (x(a，a)，f(x)f(a) (x(a ，a)因此选(C)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)0f(0) 又yf(x)的图形见图 21因此，f(0)不 ，yf(x)在(0，0) 切线 x 0选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦.其实，当把 x1 代入每个因式后，只有第一项10，而其余所有项都不等于 0记 g(x)【知识模块】
8、 高等数学8 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成f(1)2f(1)6f(1) 9f(1) 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 k【试题解析】 【分析一】 【分析二】利用等价无穷小因子替换：t0 时，(1t) k 一 1 kt，有原式【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 yf(u)，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】 设 ux 3，则 ，于是由复合函数求导法则即得 【分析二】 用微分之商来求【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (2n-1)!f 2n1 (
9、x)【试题解析】 f (2)(x)3f 2(x)f(x)3f 5(x)，f (3)(x)35f 4(x)f(x)35f 7， 可归纳证明f(n)(x)(2n 1)!f2n1 (x)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 0【试题解析】 y 为偶函数 y5(x)为奇函数 y(5)(0)0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 当 0a1 时 0x na n， 0; 当 a1 时；【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由题设知【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 () 这是初等函数
10、，它在定义域(x 21)上联系因此，x1 时均连续x1 时， 故 x1 是第一类间断点(跳跃的). 又 故 x1 也是第一类间断点(可去)()先求极限函数注意x1 时，x1 与 x1 分别与某初等函数相同，故连续x1 时均是第一类间断点（跳跃间断点）因左、右极限均 ，不相等() 在区间(0，)，1，0)上函数 y 分别与某初等函数相同，因为连续在 x0 处无定义，()f(x) 是初等函数，在(0 ，2)内 f(x)有定义处均连续，仅在无定义处及 处 f(x)不连续()方法 1 先求 fg(x)表达式当 x1，x1 时，fg(x)分别与某初等函数相同，因为连续，当 x1 时，分别求左、右极限故
11、x1为第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 f(x)x(2 一 x)，则 xn1 f(x n)易知 f(x)2(1 一 x)0， x(0，1)因 0x 01 x1x 0(2 一 x0)1 一(x 01)2(0，1)若 xn(O，1)xn1 x n(2 一 xn)(0，1)又 x1 一 x0x 0(1 一 x0)0 x n单调上升且有界 极限 由递归方程得 aa(2 一 a)显然 a0 a1因此1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 取对数化乘积为和差【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 () 考察极限【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 依题设 n
12、 个函数值 f(x1)，f(x 2)，f(x n)中一定有最小和最大的，不妨设 minf(x 1)，f(x n)f(x 1)， maxf(x 1)，f(x n)f(x n)，则 记 ，若 f(x 1)，则 x 1(a，b)，f()；若 f(x n)，则 x n(a，b) ，f()若 f(x1)f(x n)，由【定理 118】， 在 x1 与 xn 之间，即 (a，b) ，f()【试题解析】 只需证明： 是 f(x)在(a，b) 内某两个函数值的中间值【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 反证法若在a，b 上 f(x)处处不为零，则 f(x)在a，b上或恒正或恒负不失一般性，设 f(x)0，x a，b，则 x0a，b，f(x 0) f(x)0由题设，对此 x0， ya，b，使得 f(y) f(y) f(x 0) f(x0)f(x 0)，与 f(x0)是最小值矛盾因此， a，b，使 f()0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因 ，由极限的不等式性质可知， ，当x 时 f(x) ，则 x 时有【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 先作变量替换：这是 型数列极限将它转化为 型函数极限，便可用洛必达法则求之，即【知识模块】 高等数学
