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[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷170及答案与解析.doc

1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 170 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续,f (0)=0, =1,则( )(A)f(0)是 f(x)的极大值(B) f(0)是 f(x)的极小值(C) (0,f(0)是 y=f(x)的拐点(D)f(0)非极值,(0,f(0)也非 y=f(x)的拐点2 下列结论正确的是( ) 3 设 f(x)连续可导,g(x) 在 x=0 的邻域内连续,且 g(0)=1,f (x)=一 sin2x+0xg(x-t)dt,则( )(A)x=0 为 f(x)的极大点(B) x=0 为 f(x)的极小点(C) (0,f(0)

2、为 y=f(x)的拐点(D)x=0 非极值点,(0,f(0) 非 y=f(x)的拐点4 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数,则下列函数中不是周期函数的是( )(A) axf(t)dt(B) x af(t)dt(C) x 0f(t)dt x0f(t)dt(D) x xtf(t)dt二、填空题5 若 (cosx 一 b)=5,则 a=_,b=_6 设 f(x)连续,则 0xxf(xt)dt=_7 设 f(x)连续,且 =_8 Lyds=_,其中 L:(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)(a0)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 设 (x3 sin3

3、x+ax2 +b)=0,求 a,b 的值11 设 f(x)连续,且 g(x)=0xx2f(xt)dt,求 g(x)12 求 (x1) 13 求 14 设 f(x),g(x) 在a,b 上连续,证明:存在 (a,b),使得 f()bg(x)dx=g()af(x)dx15 求过 M(1,一 2,2)且与直线 L: 垂直的平面方程16 设 z=fxg(y),xy ,其中 f 二阶连续可偏导,g 二阶可导,求 17 求 dxdy,其中 D:x 2y 2218 计算 (x2+y2)ds,其中 S:x 2+y2+z2=2z19 求幂级数 n(n+1)xn 的和函数20 求微分方程 y2dx+(2xy+y2

4、)dy=0 的通解21 证明: =122 设 a0,讨论方程 aex=x2 根的个数23 求椭圆 所围成的公共部分的面积23 设直线 L: 24 求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面;25 求该旋转曲面介于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积26 27 设 f(x)在( ,+)内一阶连续可导,且 收敛,而 发散28 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上,链条长 18m,运动开始时链条一边下垂 8m,另一边下垂 10m,问整个链条滑过钉子需要多长时间?考研数学一(高等数学)模拟试卷 170 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】

5、由 =1 及 f(x)的连续性,得 f(0)=0,由极限的保号性,存在0,当 0 x 时, 0,从而 f(x)0,于是 f(x)在(一 ,)内单调增加,再由 f(0)=0,得当 x(-,0)时,f (x)0,当 x(0,)时,f (x)0,x=0 为f(x)的极小值点,选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 所以 x=0 为 f(x)的极大点,应选(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)= xxtf(t)dt=20xtf(t)dt, (x+T)=2 0xT tf(t)dt=20xt

6、f(t)dt+2xxT tf(t)dt(x),选 (D)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 a=1,b=一 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 0xf()dxf(x)【试题解析】 0xxf(xt)dt= x 0xf(xt)d(xt) x x0f()d=x0xf()d,则0xxf(xt)dt= x0xf()d=0xf()dxf(x)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 0xtf(xt)dt x0(x 一 )f()(一 d)=x0xf()d0xf()d, 0x(x一 t)2dt x0arctan2(一 du)=0xarctan2d,【知识模块】

7、高等数学8 【正确答案】 2a 2(2- )【试题解析】 L 的极坐标形式为 L:r 2=a2cos2,ds= ,【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 g(x)= x20xf(xt)d(xt) x 2x0f()d=x20xf()d,g (x)=2x0xf()d+x2f(x)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt,显然 (x)在a,

8、b上可导,又 (a)=(b)=0,由罗尔定理,存在 (a,b) ,使得 ()=0,而 (x)=f(x)bxg(t)dt+g(x)axf(t)dt,所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0,即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【试题解析】 由 f(x)xbg(t)dt=g(x)axf(t)dt 得 g(x)axf(t)dt+f(x)bxg(t)dt=0 即 axf(t)dtbxg(t)dt=0,则辅助函数为 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 所求平面的法向量为 n=s1s2= 2,1,一 1 0,1,一 1=0, 2,2,于是

9、所求平面方程为 :2(y+2)+2(z 一 2)=0,即 :y+z=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 =g(y)f1+f2, =g(y)f1+g(y)xg(y)f11一 f12+xg(y)f21一f22=g(y)f1+xg(y)g(y)f11+xg(y)一 g(y)f12一 f22【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 (02,0r),则 =02d0rcosrdr=20rd(sinr)=2(rsinr 0一 0sinrdr)=一 4【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学

10、21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 ae x=x2 等价于 x2ex a=0令 f(x)=x2ex 一 a,由 f(x)=(2xx2)ex =0 得 x=0,x=2当 x0 时,f (x)0;当 0 x2 时,f (x)0;当 x2 时,f(x)0,于是 x=0 为极小点,极小值为 f(0)=一 a0;x=2 为极大点,极大值为f(2)= 一 a,【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 根据对称性,所求面积为第一象限围成面积的 4 倍,先求第一象限的面积【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为,设 M

11、(x,y,z)为曲面上的一点,过点 M 作与 z 轴垂直的平面,交直线 L 及 z 轴于点 M0(x0,y 0,z) 及T(0,0,z),由 M0T=MT得 x2+y2=x02+y02,注意到 M0L,则: 代入上式得:x 2+y2=(1+2z)2+(2+z)2,即:x 2+y2=5z2+8z+5【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 对任意的 z0,1,截口面积为 A(z)=(x2+y2)=(5z2+8z+5),则V=01A(z)dz=01(5z2+8z+5)dz= 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 设链条的线密度为 ,取 x 轴正向为垂直向下,设 t 时刻链条下垂 x(t)m,则下垂那段的长度为(10+x)m,另一段长度为(8 一 x)m,此时链条受到的重力为(10+x)g 一(8 一 x)g=2(x+1)g,链条的总重量为 18,由牛顿第二定理F=ma 得【知识模块】 高等数学

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