1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 170 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，f (0)=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点2 下列结论正确的是( ) 3 设 f(x)连续可导，g(x) 在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f (x)=一 sin2x+0xg(x-t)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)
2、为 y=f(x)的拐点（D）x=0 非极值点，(0，f(0) 非 y=f(x)的拐点4 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） x af(t)dt（C） x 0f(t)dt x0f(t)dt（D） x xtf(t)dt二、填空题5 若 (cosx 一 b)=5，则 a=_，b=_6 设 f(x)连续，则 0xxf(xt)dt=_7 设 f(x)连续，且 =_8 Lyds=_，其中 L：(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)(a0)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 设 (x3 sin3
3、x+ax2 +b)=0，求 a，b 的值11 设 f(x)连续，且 g(x)=0xx2f(xt)dt，求 g(x)12 求 (x1) 13 求 14 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f()bg(x)dx=g()af(x)dx15 求过 M(1，一 2，2)且与直线 L： 垂直的平面方程16 设 z=fxg(y)，xy ，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 17 求 dxdy，其中 D：x 2y 2218 计算 (x2+y2)ds，其中 S：x 2+y2+z2=2z19 求幂级数 n(n+1)xn 的和函数20 求微分方程 y2dx+(2xy+y2
4、)dy=0 的通解21 证明： =122 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数23 求椭圆 所围成的公共部分的面积23 设直线 L： 24 求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；25 求该旋转曲面介于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积26 27 设 f(x)在( ，+)内一阶连续可导，且 收敛，而 发散28 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?考研数学一（高等数学）模拟试卷 170 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】
5、由 =1 及 f(x)的连续性，得 f(0)=0，由极限的保号性，存在0，当 0 x 时， 0，从而 f(x)0，于是 f(x)在(一 ，)内单调增加，再由 f(0)=0，得当 x(-，0)时，f (x)0，当 x(0，)时，f (x)0，x=0 为f(x)的极小值点，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 所以 x=0 为 f(x)的极大点，应选(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)= xxtf(t)dt=20xtf(t)dt， (x+T)=2 0xT tf(t)dt=20xt
6、f(t)dt+2xxT tf(t)dt(x)，选 (D)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 a=1，b=一 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 0xf()dxf(x)【试题解析】 0xxf(xt)dt= x 0xf(xt)d(xt) x x0f()d=x0xf()d，则0xxf(xt)dt= x0xf()d=0xf()dxf(x)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 0xtf(xt)dt x0(x 一 )f()(一 d)=x0xf()d0xf()d， 0x(x一 t)2dt x0arctan2(一 du)=0xarctan2d，【知识模块】
7、高等数学8 【正确答案】 2a 2(2- )【试题解析】 L 的极坐标形式为 L：r 2=a2cos2，ds= ，【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 g(x)= x20xf(xt)d(xt) x 2x0f()d=x20xf()d，g (x)=2x0xf()d+x2f(x)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt，显然 (x)在a，
8、b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)bxg(t)dt+g(x)axf(t)dt，所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【试题解析】 由 f(x)xbg(t)dt=g(x)axf(t)dt 得 g(x)axf(t)dt+f(x)bxg(t)dt=0 即 axf(t)dtbxg(t)dt=0，则辅助函数为 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 所求平面的法向量为 n=s1s2= 2，1，一 1 0，1，一 1=0， 2，2，于是
9、所求平面方程为 ：2(y+2)+2(z 一 2)=0，即 ：y+z=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 =g(y)f1+f2， =g(y)f1+g(y)xg(y)f11一 f12+xg(y)f21一f22=g(y)f1+xg(y)g(y)f11+xg(y)一 g(y)f12一 f22【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 (02，0r)，则 =02d0rcosrdr=20rd(sinr)=2(rsinr 0一 0sinrdr)=一 4【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
10、21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 ae x=x2 等价于 x2ex a=0令 f(x)=x2ex 一 a，由 f(x)=(2xx2)ex =0 得 x=0，x=2当 x0 时，f (x)0；当 0 x2 时，f (x)0；当 x2 时，f(x)0，于是 x=0 为极小点，极小值为 f(0)=一 a0；x=2 为极大点，极大值为f(2)= 一 a，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为，设 M
11、(x，y，z)为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点 M0(x0，y 0，z) 及T(0，0，z)，由 M0T=MT得 x2+y2=x02+y02，注意到 M0L，则： 代入上式得：x 2+y2=(1+2z)2+(2+z)2，即：x 2+y2=5z2+8z+5【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 对任意的 z0，1，截口面积为 A(z)=(x2+y2)=(5z2+8z+5)，则V=01A(z)dz=01(5z2+8z+5)dz= 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8 一 x)m，此时链条受到的重力为(10+x)g 一(8 一 x)g=2(x+1)g，链条的总重量为 18，由牛顿第二定理F=ma 得【知识模块】 高等数学
