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[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷198及答案与解析.doc

1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 198 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) (A)若|f(x)|在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处连续(B)若 f(x)在 x=a 处连续,则|f(x)|在 x=a 处连续(C)若 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续(D)若 f(a+h)f(a h)=0 ,则 f(x)在 x=a 处连续2 f(x)g(x)在 x0 处可导,则下列说法正确的是 ( )(A)f(x),g(x) 在 x0 处都可导(B) f(x)在 x0 处可导,g(x)在 x0 处不可导

2、(C) f(x)在 x0 处不可导,g(x) 在 x0 处可导(D)f(x),g(x) 在 x0 处都可能不可导3 下列说法正确的是( ) (A)设 f(x)在 x0 二阶可导,则 f“(x)在 x=x0 处连续(B) f(x)在a,b 上的最大值一定是其极大值(C) f(x)在(a,b) 内的极大值一定是其最大值(D)若 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内可导,且 f(x)在(a,b)内有唯一的极值点,则该极值点一定为最值点4 设 f(x),g(x) 是连续函数,当 x0 时,f(x)与 g(x)是等价无穷小,令 F(x)=0xf(xt)dt,G(x)= 01xg(xt)出,则当 x0

3、 时,F(x) 是 G(x)的( )(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但非等价无穷小(D)等价无穷小5 设 1(x), 2(x), 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为( )(A)C 11(x)+2(x)+C23(x)(B) C11(x) 2(x)+C23(x)(C) C11(x)+2(x)+C21(x) 3(x)(D)C 11(x)+C22(x)+C33(x),其中 C1+C2+C3=1二、填空题6 7 8 9 点 M(3,1,2)到直线 的距离为_10 设 z=xf(x+y)+g(xy,x 2+y2),其中 f,

4、g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则=_11 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 a0, x10,且定义 xn+1=14(3x n+ )(n=1,2,),证明: xn 存在并求其值13 14 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内二阶连续可导证明:存在 (a,b),使得15 设 f(x)在a,b上二阶可导,且 f“(x)0,取 xia,b(i=1,2,n)及ki0(i=1,2,n)且满足 k1+k2+kn=1证明: f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)15 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内存在二阶导数,

5、且 f(a)=f(b)=0, abf(x)dx=0证明:16 存在 c(a,b),使得 f(c)=0;17 存在 i(a,b)(i=1,2),且 12,使得 f(i)+f(i)=0(i=1,2);18 存在 (a,b) ,使得 f“()=f();19 存在 (a,b),使得 f“()3f()+2f()=020 01x4 dx21 22 设 f(x)在0,1 上连续且|f(x)|M证明:| 01f(x)dx f(kn)|M2n23 某 f 家生产的一种产品同时在两个市场上销售,售价分别为 p1,p 2,销售量分别为 q1,q 2,需求函数分别为 q1=2402p 1,q 2=10005p 2,总

6、成本函数为C=35+40(q1+q2),问 f 家如何确定两个市场的销售价格,能使其获得总利润最大 ?最大利润为多少?24 计算 01dx (x2+y2)2dy25 设 :x 2+y2+z21,证明:26 位于点(0 ,1) ,的质点 A 对质点 M 的引力大小为 kr 2(其中常数 k0,且r=|AM|),质点 M 沿曲线 L:y= 自点 B(2,0)到点(0,0),求质点 A 对质点 M 所做的功27 设na n收敛,且 n(ana n1 )收敛,证明:级数 an 收敛28 证明 S(x)= x4n(4n)!满足微分方程 y(4)y=0 并求和函数 S(x)29 设非负函数 f(x)当 x

7、0 时连续可微,且 f(0)=1由 y=f(x),x 轴,y 轴及过点(x,0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0,x上弧的长度相等,求 f(x)考研数学一(高等数学)模拟试卷 198 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)= 显然|f(x)|1 处处连续,然而 f(x)处处间断,(A)不对;令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续,但在任意 x=a0处函数f(x)部是间断的,故(C) 不对;令 f(x)= f(0+h)f(0h)=0,但f(x)在 x=0 处不连续, (D)不对;若

8、 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)=f(a),又 0|f(x)|f(a)|f(x)f(a)|,根据夹逼定理, |f(x)|=|f(a)|,选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= 显然 f(x),g(x)在每点都不连续,当然也不可导,但 f(x)g(x)1 在任何一点都可导,选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= f“(x)不存在,所以(A)不对;若最大值在端点取到则不是极大值,所以(B)不对;(C)显然不对,选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)= 0xf(xt)dt=

9、 0xf(xt)d(xt) 0xf(u)du,G(x)= 01xg(xt)dt0xg(u)du,则 选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x), 2(x), 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,所以 1(x) 3(x), 2(x) 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解,于是方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x) 3(x)+C22(x) 3(x)+3(x) 即 C11(x)+C22(x)+C33(x),其中 C3=1C 1C 2 或 C1+C2+C3=1

10、,选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 14【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 0【试题解析】 当 x=0 时,t=0;当 t=0 时,由 y+ey=1,得 y=0方程 y+ey=ln(e+t2)两边对 t 求导数,得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 直线的方向向量为 S=1,1,12,1,1=0 ,3,3,显然直线经过点 M0(1,1 ,1) , s=3,6,6,则点M(3,1,2)到直线【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 f+xf“+xy1 g1+yxy1 lnxg1+yx

11、2y1 lnxg“11+2y2xy1 g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy,x 2+y2),得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy1 g1(xy,x 2+y2)+2xg2(xy,x 2+y2)=f+xf“+xy1 g1+yxy1 lnxg1+yx2y1 lnxg“11+2y2xy1 g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 3e【试题解析】 令 S(x)= xn(x+),= xn+(x+1)ex=(x2+x+1)ex 于是 =S(1)=3e【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出

12、文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数,所以有从而 xn+1x n=14( 0(n=2,3,),故x nn=2单调减少,再由 xn0(n=2,3,),则 xn 存在,令 xn=A,等式 xn+1=14(3x n+ )两边令n得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(x)在(a ,b)内二阶可导,所以有两式相加得 f(a)+f(b)2f( f“(1)+f“(2)因为 f“(x)在(a,b)内连续,所以 f“(x)在1, 2上连续从而 f“(x)在 1, 2上取到最小值 m 和最大值 M,故 mM

13、,由介值定理,存在 1, 2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn,显然 x0a,b因为 f“(x)0,所以f(x)f(x0)+f(x0)(xx 0),分别取 x=xi(i=1,2,n),得由 ki0(i=1,2,n) ,上述各式分别乘以ki(i=1,2,n),得 将上述各式分别相加,得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn),即 f(k1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt,则 F(x)在a,b上连续,在

14、(a ,b)内可导,且F(x)=f(x)故存在 c(a,b),使得 abf(x)dx=F(b)F(a)=F(c)(ba)=f(c)(ba)=0,即 f(c)=0【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 h(x)=exf(x),因为 h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在1(a, c), 2(c,b) ,使得 h(1)=h(2)=0, 而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0,所以f(i)+f(i)=0(i=1,2)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 (z)=ex f(x)+f(x),( 1),( 2)=0,由罗尔定理,存在(1, 2) (a,b) ,使得 (

15、)=0,而 (x)=ex f“(x)f(x)且 ex 0,所以 f“()=f()【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 g(x)=ex f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0,由罗尔定理,存在 1(a,c) ,2(c, b),使得 g(1)=g(2)=0,而 g(x)=ex f(x)f(x) 且 ex 0,所以 f(1)f( 1)=0,f( 2)f( 2)=0令 (x)=e2x f(x)f(x),( 1)=(2)=0,由罗尔定理,存在 (1, 2) (a,b),使得 ()=0,而 (x)=e2x f“(x)3f(z)+2f(x)且e2x 0,所以 f“()3f()+2f()=0【知识

16、模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 f(x)= =x,当1x2 时,【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 p 1=1205q 1,p 2=20020q 2收入函数为 R=p1q1+p2q2,总利润函数为 L=RC=(1205q 1)q1+(20020q2)q 235+40(q 1+q2),得 q1=8,q 2=4,从而 p1=80,p 2=120L(8 ,4)=605 ,由实际问题的意义知,当 p1=80,p 2=120 时,f 家获得的利润最大,最大利润为605【知识模块】 高等数学24 【正确答案】

17、 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 f(x,y,z)=x+2y2z+5,因为 fx=10,f y=20,f z=20,所以 f(x,y,z)在区域 的边界 x2+y2+z2=1 上取到最大值和最小值令F(x,y,z,)=x+2y 2z+5+(x 2+y2+z21),因为 f(P1)=8,f(P 2)=2,所以 在 上的最大值与最小值分别为 2 和 ,于是【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 任取 M(x,y)L ,r= 两质点的引力大小为|F|=k r2=则 F=|F|F0则 W=LP(x,y)dx+Q(x,y)dy ,所以曲线积分与路径无关,从而【知识模块】 高等数学27 【

18、正确答案】 令 Sn=a1+a2+an,S n+1=(a1a 0)+2(a2a 1)+(n+1)(an+1a n),则 Sn+1=(n+1)an+1S na 0,因为 n(ana n1 )收敛且数列na n收敛,所以(n+1)an+1 都存在,于是 Sn 存在,根据级数收敛的定义, an 收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 显然级数的收敛域为(,+) ,显然 S(x)满足微分方程 y(4)y=0。 y(4)y=0 的通解为 y=C1ex+C2ex +C3cosx+C4sinx,由 S(0)=1,S(0)=S“(0)=S“(0)=0 得 C1=14C 2=14,C 3=12,C 4=0,故和函数为 S(x)=cosx【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 根据题意得 0xf(t)dt=0x dt,由 y(0)=1,得 C=1,所以【知识模块】 高等数学

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