1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 198 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) （A）若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续（D）若 f(a+h)f(a h)=0 ，则 f(x)在 x=a 处连续2 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导
2、（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导3 下列说法正确的是( ) （A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点4 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)=0xf(xt)dt，G(x)= 01xg(xt)出，则当 x0
3、 时，F(x) 是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小5 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x)+2(x)+C23(x)（B） C11(x) 2(x)+C23(x)（C） C11(x)+2(x)+C21(x) 3(x)（D）C 11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1二、填空题6 7 8 9 点 M(3，1，2)到直线 的距离为_10 设 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，其中 f，
4、g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_11 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 a0， x10，且定义 xn+1=14(3x n+ )(n=1，2，)，证明： xn 存在并求其值13 14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得15 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明： f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内存在二阶导数，
5、且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0证明：16 存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；17 存在 i(a，b)(i=1，2)，且 12，使得 f(i)+f(i)=0(i=1，2)；18 存在 (a，b) ，使得 f“()=f()；19 存在 (a，b)，使得 f“()3f()+2f()=020 01x4 dx21 22 设 f(x)在0，1 上连续且|f(x)|M证明：| 01f(x)dx f(kn)|M2n23 某 f 家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p1，p 2，销售量分别为 q1，q 2，需求函数分别为 q1=2402p 1，q 2=10005p 2，总
6、成本函数为C=35+40(q1+q2)，问 f 家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大 ?最大利润为多少?24 计算 01dx (x2+y2)2dy25 设 ：x 2+y2+z21，证明：26 位于点(0 ，1) ，的质点 A 对质点 M 的引力大小为 kr 2(其中常数 k0，且r=|AM|)，质点 M 沿曲线 L：y= 自点 B(2，0)到点(0，0)，求质点 A 对质点 M 所做的功27 设na n收敛，且 n(ana n1 )收敛，证明：级数 an 收敛28 证明 S(x)= x4n(4n)!满足微分方程 y(4)y=0 并求和函数 S(x)29 设非负函数 f(x)当 x
7、0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 198 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)= 显然|f(x)|1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0处函数f(x)部是间断的，故(C) 不对；令 f(x)= f(0+h)f(0h)=0，但f(x)在 x=0 处不连续， (D)不对；若
8、 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)=f(a)，又 0|f(x)|f(a)|f(x)f(a)|，根据夹逼定理， |f(x)|=|f(a)|，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= 显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)1 在任何一点都可导，选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= f“(x)不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)= 0xf(xt)dt=
9、 0xf(xt)d(xt) 0xf(u)du，G(x)= 01xg(xt)dt0xg(u)du，则 选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1(x) 3(x)， 2(x) 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x) 3(x)+C22(x) 3(x)+3(x) 即 C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1C 1C 2 或 C1+C2+C3=1
10、，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 14【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 0【试题解析】 当 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+ey=1，得 y=0方程 y+ey=ln(e+t2)两边对 t 求导数，得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 直线的方向向量为 S=1，1，12，1，1=0 ，3，3，显然直线经过点 M0(1，1 ，1) ， s=3，6，6，则点M(3，1，2)到直线【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 f+xf“+xy1 g1+yxy1 lnxg1+yx
11、2y1 lnxg“11+2y2xy1 g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy1 g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2)=f+xf“+xy1 g1+yxy1 lnxg1+yx2y1 lnxg“11+2y2xy1 g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 3e【试题解析】 令 S(x)= xn(x+)，= xn+(x+1)ex=(x2+x+1)ex 于是 =S(1)=3e【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出
12、文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有从而 xn+1x n=14( 0(n=2，3，)，故x nn=2单调减少，再由 xn0(n=2，3，)，则 xn 存在，令 xn=A，等式 xn+1=14(3x n+ )两边令n得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有两式相加得 f(a)+f(b)2f( f“(1)+f“(2)因为 f“(x)在(a，b)内连续，所以 f“(x)在1， 2上连续从而 f“(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 mM
13、，由介值定理，存在 1， 2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b因为 f“(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(xx 0)，分别取 x=xi(i=1，2，n)，得由 ki0(i=1，2，n) ，上述各式分别乘以ki(i=1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在
14、(a ，b)内可导，且F(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 abf(x)dx=F(b)F(a)=F(c)(ba)=f(c)(ba)=0，即 f(c)=0【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 h(x)=exf(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在1(a， c)， 2(c，b) ，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以f(i)+f(i)=0(i=1，2)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 (z)=ex f(x)+f(x)，( 1)，( 2)=0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 (
15、)=0，而 (x)=ex f“(x)f(x)且 ex 0，所以 f“()=f()【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 g(x)=ex f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在 1(a，c) ，2(c， b)，使得 g(1)=g(2)=0，而 g(x)=ex f(x)f(x) 且 ex 0，所以 f(1)f( 1)=0，f( 2)f( 2)=0令 (x)=e2x f(x)f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e2x f“(x)3f(z)+2f(x)且e2x 0，所以 f“()3f()+2f()=0【知识
16、模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 f(x)= =x，当1x2 时，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 p 1=1205q 1，p 2=20020q 2收入函数为 R=p1q1+p2q2，总利润函数为 L=RC=(1205q 1)q1+(20020q2)q 235+40(q 1+q2)，得 q1=8，q 2=4，从而 p1=80，p 2=120L(8 ，4)=605 ，由实际问题的意义知，当 p1=80，p 2=120 时，f 家获得的利润最大，最大利润为605【知识模块】 高等数学24 【正确答案】
17、 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 f(x，y，z)=x+2y2z+5，因为 fx=10，f y=20，f z=20，所以 f(x，y，z)在区域 的边界 x2+y2+z2=1 上取到最大值和最小值令F(x，y，z，)=x+2y 2z+5+(x 2+y2+z21)，因为 f(P1)=8，f(P 2)=2，所以 在 上的最大值与最小值分别为 2 和 ，于是【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 任取 M(x，y)L ，r= 两质点的引力大小为|F|=k r2=则 F=|F|F0则 W=LP(x，y)dx+Q(x，y)dy ，所以曲线积分与路径无关，从而【知识模块】 高等数学27 【
18、正确答案】 令 Sn=a1+a2+an，S n+1=(a1a 0)+2(a2a 1)+(n+1)(an+1a n)，则 Sn+1=(n+1)an+1S na 0，因为 n(ana n1 )收敛且数列na n收敛，所以(n+1)an+1 都存在，于是 Sn 存在，根据级数收敛的定义， an 收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 显然级数的收敛域为(，+) ，显然 S(x)满足微分方程 y(4)y=0。 y(4)y=0 的通解为 y=C1ex+C2ex +C3cosx+C4sinx，由 S(0)=1，S(0)=S“(0)=S“(0)=0 得 C1=14C 2=14，C 3=12，C 4=0，故和函数为 S(x)=cosx【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 根据题意得 0xf(t)dt=0x dt，由 y(0)=1，得 C=1，所以【知识模块】 高等数学
