1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 224 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 y=f(x)由 cos(xy)+lnyx=1 确定,则 =( )(A)2(B) 1(C)一 1(D)一 22 设 f(x)=x 3 一 1g(x),其中 g(x)连续,则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( ) (A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件3 极坐标下的累次积分 d02cosf(rcos,rsin)rdr 等于( )4 设 的收敛半径为( )二、填空题5 当 x0 时,3x 一 4sinx+sinxcosx 与 xn 为
2、同阶无穷小,则 n=_6 设 L: 则 t=0 对应的曲线上点处的法线为_7 e =_8 点 M(2,1,1)到直线 L: 之间的距离为_9 由方程 xyz+ 确定的隐函数 z=z(x,y)在点(1,0,一 1)处的微分为 dz=_10 微分方程 xy= +y 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 设 a1=1,a n1 + =0,证明:数列a n)收敛,并求 an13 设 f(x)连续,f(0)=0,f (0)=1,求 a af(x+a)dx 一 a af(xa)dx14 证明:当 x0 时,x 2(1+x)ln 2(1+x)15 计算 16 求 17 求
3、18 求函数 f(x)=0x2(2t)e t dt 的最大值与最小值19 求直线 L: 在平面 :x 一 3y+2z 一 5=0 上的投影直线20 设 y=f(x, t),其中 t 是由 G(x,y,t)=0 确定的 x,y 的函数,且 f(x,t) ,G(x,y ,t) 一阶连续可偏导,求 21 计算 Lx3dy( y)dx,其中 L:y= 从点 B(一 1,0)到点A(1,0)21 计算 Lxdy 一(2y+1)dx ,其中22 L 从原点经过直线 y=x 到点(2 ,2);23 L 从原点经过抛物线 y= 到点(2 ,2)24 计算 (x2+y2)ds,其中 S:x 2+y2+z2=2z
4、25 求 的和函数26 求幂级数 xn1 的收敛域,并求其和函数27 用变量代换 x=sint 将方程 (1 一 x2) 一 4y=0 化为 y 关于 t 的方程,并求微分方程的通解考研数学一(高等数学)模拟试卷 224 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 将 x=0 代入得 y=1,cos(xy)+lnyx=1 两边对 x 求导得一 sin(xy)一 1=0将 x=0,y=1 代入得 =1,即 f(0)=1,于是=2f(0)=2,应选(A) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)=0,f (1
5、)= (x 2+x+1)g(x)=0, f (1)= (x2+x+1)g(x)=0,因为 f (1)=f (1)=0,所以f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 x=1 处可导,f (1)= (x 2+x+1)g(x)=一 3g(1),f (1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1),因为 f (1)=f (1)=0,所以 g(1)=0,故 g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导,应选(C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分所对应的二重积分的积分区域为 D:x 2+y22x(y0),则D=(x,y)0x2,0y ,选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正
6、确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 5【试题解析】 则 3x4sinxsinxcosx x5,故 n=5。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y=2x【试题解析】 t=0 对应的曲线上点为(0,0),又,故法线方程为 y 一 0=一 2(x一 0),即 y=一 2x【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 M 0(1,1, 0)为直线上一点, =1,0,1,直线的方向向量为 s=1,0,一 1, s=0,2,0,由 s=s d 得距离为d= 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 d
7、z=dx dy【试题解析】 xyz+ 两边求微分得 yzdx+xzdy+xydz(xdx+ydy+zdz)=0,把(1,0,一 1)代入上式得 dz=dx dy【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 arcsin =lnxC【试题解析】 由 xy= ,得,解得 arcsin=lnx+C,则原方程通解为 arcsin =lnx+C【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 先证明a n单调减少a 2=0,a 2a i;设 ak1 a k,a k2 =一,由 ak1 ak 得 1 一 ak1 1 一 ak,
8、从而 ,即 ak2 a k1 ,由归纳法得数列 an单调减少现证明 an ,【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 a af(xa)dx 一 a af(xa)dx= a af(x+a)d(xa) a af(xa)d(xa)=02af(x)dx 2a 0f(x)dx=02af(x)dx 02a f(x)dx,又由 ln(1+a)=a 一 +(a2)得 a0时 a 一 ln(1+a) ,于是【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x),f(0)=0;f (x)=2xln2(1+x)一 2ln(1+x),f(0)=0;f (x)=2 一 0(x0),
9、由得 f(x)0(x0);由 得 f(x)0(x0),即 x2(1+x)ln 2(1+x)(x0)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 x=t2,则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为(3+sinxcosx) =cos2x,所以【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数,所以只研究 f(x)在0 ,+) 内的最大值与最小值即可令 f(x)=2x(2 一 x2)ex2 =0,得 f(x)的唯一驻点为 x= ,当 x(0, )时,f(x)0,当 x( ,+)时,f (x)0,注意到驻点的唯一性,则为函数 f(x)的最
10、大值点,最大值为 ,因为 f()=f(一)= 0 (2 一 t)et dt=1 及 f(0)=0,所以最小值为 0【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 直线 L:过直线L 的平面束为 :x+2y 1+(y+z3)=0,或 :x+(2+)y+z 一 13=0,由1,2+,1, 3,2=0 得 =一 5,所以过 L 垂直于 的平面方程为:x 一 3y 一 5z+14=0,投影直线为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 将 y=f(x,t)与 G(x,y,t)=0 两边对 x 求导得解得 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】
11、 Lxdy 一 (2y+1)dx=02xdx(2x+1)dx= 02(x+1)dx=4【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 Lxdy 一 (2y+1)dx=02xxdx 一(x 2+1)dx=一 2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =1 得 R=1,当 x=1 时,因为收敛,所以 x=1 时,原级数收敛,故收敛域为一1,1 S(0)=0;【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 ,则收敛半径为 R=2,当 x=一 2 时,收敛;当 x=2 时, 发散,故幂级数的收敛域为一 2,2)所以S(x)= 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 一4y=0 的通解为 y=C1e2t +C2e2t,故原方程的通解为 y=C1e2arcsinx +C2e2arcsinx【知识模块】 高等数学
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