1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 224 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=f(x)由 cos(xy)+lnyx=1 确定，则 =( )（A）2（B） 1（C）一 1（D）一 22 设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( ) （A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件3 极坐标下的累次积分 d02cosf(rcos，rsin)rdr 等于( )4 设 的收敛半径为( )二、填空题5 当 x0 时，3x 一 4sinx+sinxcosx 与 xn 为
2、同阶无穷小，则 n=_6 设 L： 则 t=0 对应的曲线上点处的法线为_7 e =_8 点 M(2，1，1)到直线 L： 之间的距离为_9 由方程 xyz+ 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的微分为 dz=_10 微分方程 xy= +y 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 设 a1=1，a n1 + =0，证明：数列a n)收敛，并求 an13 设 f(x)连续，f(0)=0，f (0)=1，求 a af(x+a)dx 一 a af(xa)dx14 证明：当 x0 时，x 2(1+x)ln 2(1+x)15 计算 16 求 17 求
3、18 求函数 f(x)=0x2(2t)e t dt 的最大值与最小值19 求直线 L： 在平面 ：x 一 3y+2z 一 5=0 上的投影直线20 设 y=f(x， t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t) ，G(x，y ，t) 一阶连续可偏导，求 21 计算 Lx3dy( y)dx，其中 L：y= 从点 B(一 1，0)到点A(1，0)21 计算 Lxdy 一(2y+1)dx ，其中22 L 从原点经过直线 y=x 到点(2 ，2)；23 L 从原点经过抛物线 y= 到点(2 ，2)24 计算 (x2+y2)ds，其中 S：x 2+y2+z2=2z
4、25 求 的和函数26 求幂级数 xn1 的收敛域，并求其和函数27 用变量代换 x=sint 将方程 (1 一 x2) 一 4y=0 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 224 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 将 x=0 代入得 y=1，cos(xy)+lnyx=1 两边对 x 求导得一 sin(xy)一 1=0将 x=0，y=1 代入得 =1，即 f(0)=1，于是=2f(0)=2，应选(A) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)=0，f (1
5、)= (x 2+x+1)g(x)=0， f (1)= (x2+x+1)g(x)=0，因为 f (1)=f (1)=0，所以f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 x=1 处可导，f (1)= (x 2+x+1)g(x)=一 3g(1)，f (1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1)，因为 f (1)=f (1)=0，所以 g(1)=0，故 g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导，应选(C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分所对应的二重积分的积分区域为 D：x 2+y22x(y0)，则D=(x，y)0x2，0y ，选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正
6、确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 5【试题解析】 则 3x4sinxsinxcosx x5，故 n=5。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y=2x【试题解析】 t=0 对应的曲线上点为(0，0)，又，故法线方程为 y 一 0=一 2(x一 0)，即 y=一 2x【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 M 0(1，1， 0)为直线上一点， =1，0，1，直线的方向向量为 s=1，0，一 1， s=0，2，0，由 s=s d 得距离为d= 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 d
7、z=dx dy【试题解析】 xyz+ 两边求微分得 yzdx+xzdy+xydz(xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，一 1)代入上式得 dz=dx dy【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 arcsin =lnxC【试题解析】 由 xy= ，得，解得 arcsin=lnx+C，则原方程通解为 arcsin =lnx+C【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 先证明a n单调减少a 2=0，a 2a i；设 ak1 a k，a k2 =一，由 ak1 ak 得 1 一 ak1 1 一 ak，
8、从而 ，即 ak2 a k1 ，由归纳法得数列 an单调减少现证明 an ，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 a af(xa)dx 一 a af(xa)dx= a af(x+a)d(xa) a af(xa)d(xa)=02af(x)dx 2a 0f(x)dx=02af(x)dx 02a f(x)dx，又由 ln(1+a)=a 一 +(a2)得 a0时 a 一 ln(1+a) ，于是【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0；f (x)=2xln2(1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0；f (x)=2 一 0(x0)，
9、由得 f(x)0(x0)；由 得 f(x)0(x0)，即 x2(1+x)ln 2(1+x)(x0)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 x=t2，则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为(3+sinxcosx) =cos2x，所以【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值即可令 f(x)=2x(2 一 x2)ex2 =0，得 f(x)的唯一驻点为 x= ，当 x(0， )时，f(x)0，当 x( ，+)时，f (x)0，注意到驻点的唯一性，则为函数 f(x)的最
10、大值点，最大值为 ，因为 f()=f(一)= 0 (2 一 t)et dt=1 及 f(0)=0，所以最小值为 0【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 直线 L：过直线L 的平面束为 ：x+2y 1+(y+z3)=0，或 ：x+(2+)y+z 一 13=0，由1，2+，1， 3，2=0 得 =一 5，所以过 L 垂直于 的平面方程为：x 一 3y 一 5z+14=0，投影直线为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得解得 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】
11、 Lxdy 一 (2y+1)dx=02xdx(2x+1)dx= 02(x+1)dx=4【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 Lxdy 一 (2y+1)dx=02xxdx 一(x 2+1)dx=一 2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =1 得 R=1，当 x=1 时，因为收敛，所以 x=1 时，原级数收敛，故收敛域为一1，1 S(0)=0；【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 ，则收敛半径为 R=2，当 x=一 2 时，收敛；当 x=2 时， 发散，故幂级数的收敛域为一 2，2)所以S(x)= 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 一4y=0 的通解为 y=C1e2t +C2e2t，故原方程的通解为 y=C1e2arcsinx +C2e2arcsinx【知识模块】 高等数学
