1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 225 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ,则 x=0 是 f(x)的( )(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)不能判断连续性的点2 设 f(x)= ,其中 g(x)为有界函数,则 f(x)在 x=0 处( )(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导3 设 f(x)连续,且 =一 2,则( )(A)f(x)在 x=0 处不可导(B) f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0(C) f(x)在 x=0 处取极小值(D)f(x)在 x=0 处取极大值4 设 a
2、n(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛,则此级数在 x=2 处( )(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不确定二、填空题5 设 a =_6 =_7 曲线 y=x4ex2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为_8 曲线 L: 绕 y 轴旋转而成的曲面为 _9 设 f(x,y, z)=exyz2,其中 z=z(x,y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数,则fx(0,1,一 1)=_10 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y+y+qy=Q(x)有特解 y=3e4x +x2+3x+2,则Q(x)=_,该微分方程的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12
3、 设 x1=2, x=n1 =2+ 13 设 0x2tetdt+0lnyet dt=ex2,求 14 证明:当 x0 时,arctanx+ 15 求 16 求 17 求 11 dx18 求直线 L1: 与直线 L2: 的夹角19 设 =0 且 F 可微,证明: =zxy20 改变积分次序 21 计算 =1,逆时针方向21 计算 L(xy2+y)dx(x 2y+x)dy,其中22 L 从原点沿直线 y=x 到点 (1,1);23 L 从原点沿抛物线 y=x2 到点(1 ,1)24 设: +z2=1(z0),点 P(x,y,z) , 为曲面 在点 P 处的切平面,d(x,y ,z) 为点 O(0,
4、0, 0)到平面 的距离,计算 25 求级数 的和函数26 求级数 的收敛域与和函数27 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x,y 2=2ex 一 3e2x 为特解,求该微分方程考研数学一(高等数学)模拟试卷 225 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时,f(x)= =1;当 x=0 时,f(x)= ;当 x0 时,f(x)=x因为 f(0+0)=1,f(0)= ,f(00)=0,所以 x=0 为 f(x)的第一类间断点,选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0+0)=
5、 =0,f(0)=f(00)= g(x)=0,所以 f(x)在x=0 处连续; =0,即 f (0)=0,=0,即 f (0)=0,因为 f (0)=f (0)=0,所以 f(x)在 x=0 处可导,应选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由 =一 2 得 f(0)=1,由极限的保号性,存在 0,当0x 时, 0,即 f(x)1=f(0),故 x=0 为 f(x)的极大点,应选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 an(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛,且 an(一 2)n 收敛,所以aantn 的收敛半径 R2,故当 x=2 时,
6、21R ,所以级数 an(x 一 1)n 在x=2 处绝对收敛,选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 所求的曲面为: =1【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 1【试题解析】 f x(x,y,z)= ,x+y+2+xyz=0 两边对 x 求偏导得1 =0,将 x=0,y=1 ,z= 一 1 代入得解得 fx(0,1,一 1)=1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 Q(x)=2 2x+312(x
7、 2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19, 通解为y=(C1e4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1,C 2 为任意常数)【试题解析】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解,故 q=一 12,即特征方程为 2+ 一 12=0,特征值为 1=一 4, 2=3 因为 x23x+2 为微分方程 yy 一12y=Q(x)的一个特解,所以 Q(x)=22x+312(x 2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19,且通解为 y=(C1e4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1,C 2 为任意常数)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8、11 【正确答案】 cos(sinx)=1 一 +o(x4),【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 方程 0x2tetdt+0lnyet dt=ex2 两边对 x 求导数得 2xx 2ex2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=arctanx+ ,因为 f(x)= 0(x0),所以 f(x)在(0, +)内单调递减,又因为【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 s 1=1,一 1,2,s 2=1,0,一
9、21,3,1= 6,一3,3=3 2 ,一 1,1,设两直线的夹角为 ,则 cos=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 =0 两边对 x 求偏导得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 D=(x,y)0x ,x 2yx,则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令L0:x 2+y2=r2(r0,L 0 在 L 内,L 0 取逆时针),设 L0 与 L 所围成的多连通区域为D1,L 0 所围成的单连通区域为 D2,【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=01(x3+x)dx+(x3+x)dx=01(2x3+2x)dx=
10、【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=01(x5+x2)dx+(x4+x)2xdx=01(3x5+3x2)dx= 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 平面 的方程为 +zZ 一 1=0,d(x,y,z)=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =1 得收敛半径为 R=1,当 x=1 时,因为0,所以当 x=1 时,级数发散,故幂级数的收敛域为(一 1, 1)令 S(x)= ,S(0)=3;故 S(x)=【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 x2+x+1=t,则级数化为的收敛半径为 R=1,注意到t=x2+x+1= ,又 t=1 时,级数由 x2x11 得一 1x0,故级数 的收敛域为一 1,0令 S(x),x=一 1,0 时,S(一 1)=S(0)=1,x(一 1,0)时,【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 因为 y1=e2x,y 2=2ex 一 3e2x 为特解,所以 e2x,e x 也是该微分方程的特解,故其特征方程的特征值为 1=一 1, 2=2,特征方程为(+1)( 一 2)=0即 2 一 一 2=0,所求的微分方程为 y一 y一 2y=0【知识模块】 高等数学
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