1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 225 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）不能判断连续性的点2 设 f(x)= ，其中 g(x)为有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设 f(x)连续，且 =一 2，则( )（A）f(x)在 x=0 处不可导（B） f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值4 设 a
2、n(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定二、填空题5 设 a =_6 =_7 曲线 y=x4ex2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为_8 曲线 L： 绕 y 轴旋转而成的曲面为 _9 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，一 1)=_10 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y+y+qy=Q(x)有特解 y=3e4x +x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12
3、 设 x1=2， x=n1 =2+ 13 设 0x2tetdt+0lnyet dt=ex2,求 14 证明：当 x0 时，arctanx+ 15 求 16 求 17 求 11 dx18 求直线 L1： 与直线 L2： 的夹角19 设 =0 且 F 可微，证明： =zxy20 改变积分次序 21 计算 =1，逆时针方向21 计算 L(xy2+y)dx(x 2y+x)dy，其中22 L 从原点沿直线 y=x 到点 (1，1)；23 L 从原点沿抛物线 y=x2 到点(1 ，1)24 设： +z2=1(z0)，点 P(x，y，z) ， 为曲面 在点 P 处的切平面，d(x，y ，z) 为点 O(0，
4、0， 0)到平面 的距离，计算 25 求级数 的和函数26 求级数 的收敛域与和函数27 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2ex 一 3e2x 为特解，求该微分方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 225 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)= =1；当 x=0 时，f(x)= ；当 x0 时，f(x)=x因为 f(0+0)=1，f(0)= ，f(00)=0，所以 x=0 为 f(x)的第一类间断点，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0+0)=
5、 =0，f(0)=f(00)= g(x)=0，所以 f(x)在x=0 处连续； =0，即 f (0)=0，=0，即 f (0)=0，因为 f (0)=f (0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，应选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由 =一 2 得 f(0)=1，由极限的保号性，存在 0，当0x 时， 0，即 f(x)1=f(0)，故 x=0 为 f(x)的极大点，应选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 an(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛，且 an(一 2)n 收敛，所以aantn 的收敛半径 R2，故当 x=2 时，
6、21R ，所以级数 an(x 一 1)n 在x=2 处绝对收敛，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 所求的曲面为： =1【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 1【试题解析】 f x(x，y，z)= ，x+y+2+xyz=0 两边对 x 求偏导得1 =0，将 x=0，y=1 ，z= 一 1 代入得解得 fx(0，1，一 1)=1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 Q(x)=2 2x+312(x
7、 2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19， 通解为y=(C1e4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=一 12，即特征方程为 2+ 一 12=0，特征值为 1=一 4， 2=3 因为 x23x+2 为微分方程 yy 一12y=Q(x)的一个特解，所以 Q(x)=22x+312(x 2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19，且通解为 y=(C1e4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8、11 【正确答案】 cos(sinx)=1 一 +o(x4)，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 方程 0x2tetdt+0lnyet dt=ex2 两边对 x 求导数得 2xx 2ex2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=arctanx+ ，因为 f(x)= 0(x0)，所以 f(x)在(0， +)内单调递减，又因为【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 s 1=1，一 1，2，s 2=1，0，一
9、21，3，1= 6，一3，3=3 2 ，一 1，1，设两直线的夹角为 ，则 cos=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 =0 两边对 x 求偏导得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 D=(x，y)0x ，x 2yx，则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令L0：x 2+y2=r2(r0，L 0 在 L 内，L 0 取逆时针)，设 L0 与 L 所围成的多连通区域为D1，L 0 所围成的单连通区域为 D2，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=01(x3+x)dx+(x3+x)dx=01(2x3+2x)dx=
10、【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=01(x5+x2)dx+(x4+x)2xdx=01(3x5+3x2)dx= 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 平面 的方程为 +zZ 一 1=0，d(x，y，z)=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =1 得收敛半径为 R=1，当 x=1 时，因为0，所以当 x=1 时，级数发散，故幂级数的收敛域为(一 1， 1)令 S(x)= ，S(0)=3；故 S(x)=【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 x2+x+1=t，则级数化为的收敛半径为 R=1，注意到t=x2+x+1= ，又 t=1 时，级数由 x2x11 得一 1x0，故级数 的收敛域为一 1，0令 S(x)，x=一 1，0 时，S(一 1)=S(0)=1，x(一 1，0)时，【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2ex 一 3e2x 为特解，所以 e2x，e x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=一 1， 2=2，特征方程为(+1)( 一 2)=0即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y一 y一 2y=0【知识模块】 高等数学
