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[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷229及答案与解析.doc

1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 229 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在 一 1,1上连续,则 x=0 是函数 g(x)= 的( )(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)连续点(D)第二类间断点2 设 f(x)在0,+)上连续,在(0,+)内可导,则( )3 函数 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点,则 k 的范围为( )(A)k1(B) k1(C) k2(D)k24 设在区间a,b上 f(x)0,f (x)0,f (x)0,令 S1=abf(x)dx,S 2=f(b)(b 一 a),S3= f(a)+f(b),则( )(A)S

2、1S 2S 3 (B) S2S 1S 3(C) S3S 1S 2(D)S 2S 3S 15 设 f(x,y)= ,则 f(x,y)在(0,0) 处( )(A)对 x 可偏导,对 y 不可偏导(B)对 x 不可偏导,对 y 可偏导(C)对 x 可偏导,对 y 也可偏导(D)对 x 不可偏导,对 y 也不可偏导6 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex,y 2=2xex,y 3=3ex ,则该微分方程为( )(A)y 一 y一 y+y=0(B) y+y一 y一 y=0(C) y+2y一 y一 2y=0(D)y 一 2y一 y+2y=0二、填空题7 =_8 =_9 =_10 设 f(x,y)

3、连续,且 f(x,y)=3x+4y+6+(),其中 = ,则dz (1, 0)=_11 设 I= dx+xdy,其中 L 是椭圆 4x2+y2=1,L 为逆时针方向,则 I=_12 函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 14 讨论函数 f(x)= (x0)的连续性15 设 f(x)= 处处可导,确定常数 a,b,并求 f(x)16 证明:当 0x1 时, 17 求 18 设 f(x)在a,b上连续,且 f(x)0,证明:存在 (a,b),使得 af(x)dx=bf(x)dx19 求点 M(1,一 1,2)关于平面 :x 一 2y

4、z 一 7=0 对称的点的坐标20 求 =x2+y2+z2 在 =1 上的最小值21 把二重积分 f(x,y)dxdy 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r 后 ),其中 D由直线 x+y=1,x=1,y=1 围成22 求曲面积分 x2dydz+y2dzdx,其中是 z=x2+y2 与 z=x 围成的曲面,取下侧23 判断级数 的敛散性24 将 f(x)= 展开成 x2 的幂级数24 设有幂级数 2 25 求该幂级数的收敛域;26 证明此幂级数满足微分方程 y一 y=一 1;27 求此幂级数的和函数28 求微分方程 y+y=x2+3+cosx 的通解考研数学一(高等数学)模拟试卷 229 答案

5、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 显然 x=0 为 g(x)的间断点,因为=f(0),所以 x=0 为 g(x)的可去间断点,选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 事实上,取 = f(x)=A,所以存在 X0,当 xX 时,f (x)一A ,从而 f(x) 当 xX 时,f(x)一 f(X)=f()(xX) (xX)(X x) ,从而 f(x)f(X)+ =+,应选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 =,令 f(x)=3x2 一 3=0,得x=1,f (x)=6x,由 f(

6、一 1)=一 60,得 x=一 1 为函数的极大值点,极大值为f(一 1)=2+k,由 f(1)=6 0,得 x=1 为函数的极小值点,极小值为 f(1)=一 2+k,因为 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点,所以 2+k0 或一 2+k0,故k2,选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在a ,b 上为单调减少的凹函数,根据几何意义,S2S 4S 3,选(B) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在,所以f(x,y)在(0,0)处对 x 不可偏导;因为=0,所以 fy(0,0)=0 ,即 f(x,y)在(0,0)

7、处对 y 可偏导,应选(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex,y 2=2xex,y 3=3ex 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2=1, 3=一 1,其特征方程为( 一 1)2(+1)=0,即 3 一 2 一+1=0,所求的微分方程为 y一 y一 y+y=0,选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2arcsin C【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 (2ln21)【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 3dx4dy【试题解析】

8、 因为 f(x,y) 连续,所以 f(1,0)=9,由 f(x,y)=3x+4y+6+()得z=f(x,y)一 f(1,0)=3(x 一 1)+4y+( ),由可微的定义得 dz (1,0) )=3dx+4dy【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 I= (12yey2)dxdy,由二重积分的对称性得 I= 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 f(x)=【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 x0 时, 所以 A=A【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 当 x(0,e) 时,f(x)= =1,当

9、x=e 时,f(e)=1,当 xe 时, f(x)= =lnx,故 f(x)=因为 f(e 一 0)=f(e)=f(e+0)=1,所以 f(x)在 x0 处处连续【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续,得 b=0f (0)=a,f (0)= =2由 f(x)在 x=0 处可导,得 a=2,所以 f(x)=【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arcsinx,f(0)=0,f (x)=ln(1+x)arcsinx0(0x 1),由 得当 0x1 时,f(x)0,故 【试题解析】 等价于(1+x)ln(1+x) arc

10、sinx【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 g(x)=axf(t)dtxbf(t)dt,因为 f(x)在a,b上连续,且 f(x)0,所以 g(a)=一 abf(t)dt0,g(b)= abf(t)dt0, 由零点定理,存在 (a,b),使得 g()=0,即 af(x)dx=bf(x)dx【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 过点 M 且垂直于平面丌的直线为 L: ,参数形式为 L: ,代入平面 得直线 L 与 的交点为 T(2,一 3,1),设对称点为 N(a,b,c),由 =1 得对称点为 N(3,一 5,0) 【知识模块】 高等数学

11、20 【正确答案】 令 F=x2+y2+z2+( 一 1),=x2+y2+z2 在 =1 上的最小值为 min=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 D 1=(x,y)0 rsec,D 2=(x,y)rcsc,【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由对称性得曲面在平面 yOz 上的投影区域为 D:y 2+ ,【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 是正项级数,又 n时,收敛,根据比较审敛法的极限形式,级数收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 =0,所以收敛半径为 R=+,故幂级数的收敛域为(一,+)【

12、知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 f(x)=2+ ,则 f(x)= ,f (x)=1+=1+f(x)一 2,故该幂级数满足微分方程 y一 y=一 1【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C1ex +C2ex+1,再由 f(0)=2,f (0)=0 得,所以 f(x)=chx+1【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 特征方程为 2+1=0,特征值为 1=一 i, 2=i,方程 y+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx对方程 y+y=x23,特解为 y1=x2+1;对方程 y+y=cosx,特解为 xsinx,原方程的特解为 x2+1+ xsinx,则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1 xsinx【知识模块】 高等数学

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