1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 229 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在 一 1，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点2 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( )3 函数 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k24 设在区间a，b上 f(x)0，f (x)0，f (x)0，令 S1=abf(x)dx，S 2=f(b)(b 一 a)，S3= f(a)+f(b)，则( )（A）S
2、1S 2S 3 （B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 15 设 f(x，y)= ，则 f(x，y)在(0，0) 处( )（A）对 x 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 x 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 x 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导6 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex ，则该微分方程为( )（A）y 一 y一 y+y=0（B） y+y一 y一 y=0（C） y+2y一 y一 2y=0（D）y 一 2y一 y+2y=0二、填空题7 =_8 =_9 =_10 设 f(x，y)
3、连续，且 f(x，y)=3x+4y+6+()，其中 = ，则dz (1， 0)=_11 设 I= dx+xdy，其中 L 是椭圆 4x2+y2=1，L 为逆时针方向，则 I=_12 函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 14 讨论函数 f(x)= (x0)的连续性15 设 f(x)= 处处可导，确定常数 a，b，并求 f(x)16 证明：当 0x1 时， 17 求 18 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 af(x)dx=bf(x)dx19 求点 M(1，一 1，2)关于平面 ：x 一 2y
4、z 一 7=0 对称的点的坐标20 求 =x2+y2+z2 在 =1 上的最小值21 把二重积分 f(x，y)dxdy 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r 后 )，其中 D由直线 x+y=1，x=1，y=1 围成22 求曲面积分 x2dydz+y2dzdx，其中是 z=x2+y2 与 z=x 围成的曲面，取下侧23 判断级数 的敛散性24 将 f(x)= 展开成 x2 的幂级数24 设有幂级数 2 25 求该幂级数的收敛域；26 证明此幂级数满足微分方程 y一 y=一 1；27 求此幂级数的和函数28 求微分方程 y+y=x2+3+cosx 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 229 答案
5、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为=f(0)，所以 x=0 为 g(x)的可去间断点，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 事实上，取 = f(x)=A，所以存在 X0，当 xX 时，f (x)一A ，从而 f(x) 当 xX 时，f(x)一 f(X)=f()(xX) (xX)(X x) ，从而 f(x)f(X)+ =+，应选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 =，令 f(x)=3x2 一 3=0，得x=1，f (x)=6x，由 f(
6、一 1)=一 60，得 x=一 1 为函数的极大值点，极大值为f(一 1)=2+k，由 f(1)=6 0，得 x=1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)=一 2+k，因为 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，所以 2+k0 或一 2+k0，故k2，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在a ，b 上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2S 4S 3，选(B) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导；因为=0，所以 fy(0，0)=0 ，即 f(x，y)在(0，0)
7、处对 y 可偏导，应选(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2=1， 3=一 1，其特征方程为( 一 1)2(+1)=0，即 3 一 2 一+1=0，所求的微分方程为 y一 y一 y+y=0，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2arcsin C【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 (2ln21)【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 3dx4dy【试题解析】
8、 因为 f(x，y) 连续，所以 f(1，0)=9，由 f(x，y)=3x+4y+6+()得z=f(x，y)一 f(1，0)=3(x 一 1)+4y+( )，由可微的定义得 dz (1，0) )=3dx+4dy【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 I= (12yey2)dxdy，由二重积分的对称性得 I= 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 f(x)=【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 x0 时， 所以 A=A【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 当 x(0，e) 时，f(x)= =1，当
9、x=e 时，f(e)=1，当 xe 时， f(x)= =lnx，故 f(x)=因为 f(e 一 0)=f(e)=f(e+0)=1，所以 f(x)在 x0 处处连续【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0f (0)=a，f (0)= =2由 f(x)在 x=0 处可导，得 a=2，所以 f(x)=【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arcsinx，f(0)=0，f (x)=ln(1+x)arcsinx0(0x 1)，由 得当 0x1 时，f(x)0，故 【试题解析】 等价于(1+x)ln(1+x) arc
10、sinx【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 g(x)=axf(t)dtxbf(t)dt，因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，所以 g(a)=一 abf(t)dt0，g(b)= abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()=0，即 af(x)dx=bf(x)dx【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 过点 M 且垂直于平面丌的直线为 L： ，参数形式为 L： ，代入平面 得直线 L 与 的交点为 T(2，一 3，1)，设对称点为 N(a，b，c)，由 =1 得对称点为 N(3，一 5，0) 【知识模块】 高等数学
11、20 【正确答案】 令 F=x2+y2+z2+( 一 1)，=x2+y2+z2 在 =1 上的最小值为 min=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 D 1=(x，y)0 rsec，D 2=(x，y)rcsc，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由对称性得曲面在平面 yOz 上的投影区域为 D：y 2+ ，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 是正项级数，又 n时，收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 =0，所以收敛半径为 R=+，故幂级数的收敛域为(一，+)【
12、知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 f(x)=2+ ，则 f(x)= ，f (x)=1+=1+f(x)一 2，故该幂级数满足微分方程 y一 y=一 1【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C1ex +C2ex+1，再由 f(0)=2，f (0)=0 得，所以 f(x)=chx+1【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=一 i， 2=i，方程 y+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx对方程 y+y=x23，特解为 y1=x2+1；对方程 y+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x2+1+ xsinx，则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1 xsinx【知识模块】 高等数学
