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[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷234及答案与解析.doc

1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 234 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x),g(x)(axb) 为大于零的可导函数,且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0,则当axb 时,有 ( )(A)f(x)g(b) f(b)g(x)(B) f(x)g(a)f(a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b)(D)f(x)g(x) f(a)g(a)2 设 f(x)在( 一,+)上有定义,x 00 为函数 f(x)的极大值点,则( )(A)x 0 为 f(x)的驻点(B)一 x0 为一 f(一 x)的极小值点(C)一 x0 为一 f(x)的极小

2、值点(D)对一切的 x 有 f(x)f(x0)3 设 f(x)为可导函数,F(x) 为其原函数,则( )(A)若 f(x)是周期函数,则 F(x)也是周期函数(B)若 f(x)是单调函数,则 F(x)也是单调函数(C)若 f(x)是偶函数,则 F(x)是奇函数(D)若 f(x)是奇函数,则 F(x)是偶函数4 在曲线 y=(x 一 1)2 上的点 (2,1)处作曲线的法线,由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ,则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )5 在曲线 x=t,y= 一 t2,z=t 3 的所有切线中,与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有( )

3、(A)只有一条(B)只有两条(C)至少有三条(D)不存在二、填空题6 若 (cosxb)=5,则 a=_,b=_7 设 f(a)存在,则 =_8 函数 f(x)=xe2x 的最大值为_9 =_10 设 ,则过 L1 平行于 L2 的平面方程为_11 设 D 由 y= 及 x 轴围成,f(x ,y)=xy f(x,y)dxdy,求 f(x,y)=_12 (1,1) (2,2) xy2dx+x2ydy=_13 设函数 f(x)=x+x2( x) 的傅里叶级数为 (ancosnxb nsinnx),则b3=_14 设 y=y(x)满足y=y x+(x)且 y(0)=1,则 y(x)=_三、解答题解答

4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 16 设 f(x)二阶连续可导,f (0)=4, 17 设 k0,讨论常数 k 的取值,使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点18 求 19 设 f(t)在0,上连续,在(0,) 内可导,且 0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0证明:存在 (0,) ,使得 f()=020 =f(x2,xy,xy 2z),其中 f 连续可偏导,求 21 求 I= dxdy,其中 D=(x,y)x 2+y21,x0,y022 计算 x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中:(x1) 2+(y 一 1)2 =1(y1)

5、,取外侧23 判断级数 的敛散性24 求微分方程 xy=yln 的通解25 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内,L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点为 A,已知MA=OA,且 L 经过点 ,求 L 的方程考研数学一(高等数学)模拟试卷 234 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)g(x)f(x)g (x)0 得0,从而 为单调减函数,由axb 得 ,故 f(x)g(b)f(b)g(x),应选(A) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f

6、(x)的图像关于 y 轴对称,所以一 x0 为f(一 x)的极大值点,从而一 x0 为一 f(一 x)的极小值点,选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=cosx 一 2,F(x)=sinx2x+C,显然 f(x)为周期函数,但 F(x)为非周期函数,(A) 不对;令 f(x)=2x,F(x)=x 2+C,显然 f(x)为单调增函数,但 F(x)为非单调函数,(B)不对;令 f(x)=x2,F(x)= x3+2,显然 f(x)为偶函数,但 F(x)为非奇非偶函数,(C) 不对;若 f(x)为奇函数,F(x)= axf(t)dt,因为 F(x)= ax f

7、(t)dta xf(一 )(一 d)=a xf()d=a af()d+axf()d=axf()d=F(x),所以 F(x)为偶函数,选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x 一 1)2 上点(2,1)的法线方程为 y= x+2,该法线与 x轴的交点为(4,0) ,则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V=12(x1) 4dx+24 ,选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 T=1,一 2t,3t 2,平面的法向量为 n=1,2,1,令 14t+3t2=0,解得 t=1,t= ,故曲线

8、 x=t,y=一 t2,z=t 3 的所有切线中,与平面 x+2y+z 一 4=0平行的切线有两条,选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 a=1,b=4;【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 4f (a)【试题解析】 =4f(a)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=(12x)e2x =0 得 x= ,当 x 时,f (x)0;当 x 时,f(x)0,则 x= 为 f(x)的最大值点,最大值为 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 :(x 一 1)一 3(y 一 2)+(

9、z 一 3)=0 或 :x 一 3y+z+2=0【试题解析】 因为所求平面 经过 L1,所以点 M(1,2,3)在平面 上,因为 与 L1, L2 都平行,所以所求平面的法向量为 n= 1,0,一 12,1,1=1,一 3,1,所求平面为 :(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 :x 一3y+z+2=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 f(x,y)=xy【试题解析】 令 A= f(x,y)dxdy,则 f(x,y)=xy A,积分得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 因为 xy2dx+x2ydy=d( x2y2),所以 (1,1) (2,2)x

10、y2dx+x2ydy= x2y2 (1,1) (2,2) = 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 e x【试题解析】 由y=y x+(x)得 一 y=0,解得 y=Cedx =Cex,再由 y(0)=1 得 C=1,故 y(x)=ex【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 =0,所以 f(0)=0,f (0)=0,又 f(x)二阶连续可导且f(0)=4,所以 f(x)=2x2+(x2),所以=e2【知识模块】 高等数学17 【正确答案

11、】 f(x)的定义域为(0 ,+), =由 f(x)=lnx+1=0,得驻点为 x= 为 f(x)的极小值点,也为最小值点,最小值为 (1)当 k 时,函数 f(x)在(0,+)内没有零点;(2)当 k= 时,函数 f(x)在(0,+) 内有唯一零点 x= ;(3)当 0k 时,函数 f(x)在(0, +)内有两个零点,分别位于 内【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)sintdt,因为 F(0)=F()=0,所以存在 x1(0,),使得 F(x1)=0,即 f(x1)sinx1=0,又因为 sinx10,所以 f(x1)

12、=0设 x1 是 f(x)在(0,)内唯一的零点,则当 x(0, )且 xx1 时,有 sin(xx1)f(x)恒正或恒负,于是0sin(xx1)f(x)dx0而 0sin(xx1)f(x)dx=cosx10f(x)sinxdxsinx10f(x)cosxdx=0,矛盾,所以 f(x)在(0,) 内至少有两个零点,不妨设 f(x1)=f(x2)=0,x 1,x 2(0,)且 x1 x2,由罗尔中值定理,存在 (x1,x 2) (0,),使得f()=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 =2xf1+yf2+y2zf3, =xf2+2xyzf3, =xy2f3【知识模块】 高等数学21 【正

13、确答案】 由对称性得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 0:y=1(D xz:(x 一 1)2+ 1),取左侧,则原式= x2dydzy 2dzdxz 2dxdy x2dydzy 2dzdxz 2dxdyI 1I 2,【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为1,所以级数 收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 xy ,原方程化为+ =ln变量分离得 ,积分得 ln(ln 一 1)=lnx+lnC,即 ln一 1=Cx,或 =eCx1 ,故原方程的通解为 y=xeCx1 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x,y),则切线 MA:Yy=y (Xx)令 X=0,则 Y=yxy,故 A 点的坐标为(0,yxy )由MA=OA,得yxy =,因为曲线经过点 ,所以 C=3,再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y= (0【知识模块】 高等数学

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