1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 234 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0，则当axb 时，有 ( )（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)2 设 f(x)在( 一，+)上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B）一 x0 为一 f(一 x)的极小值点（C）一 x0 为一 f(x)的极小
2、值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)3 设 f(x)为可导函数，F(x) 为其原函数，则( )（A）若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数（B）若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数（C）若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数（D）若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数4 在曲线 y=(x 一 1)2 上的点 (2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )5 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有( )
3、（A）只有一条（B）只有两条（C）至少有三条（D）不存在二、填空题6 若 (cosxb)=5，则 a=_，b=_7 设 f(a)存在，则 =_8 函数 f(x)=xe2x 的最大值为_9 =_10 设 ，则过 L1 平行于 L2 的平面方程为_11 设 D 由 y= 及 x 轴围成，f(x ，y)=xy f(x，y)dxdy，求 f(x，y)=_12 (1，1) (2，2) xy2dx+x2ydy=_13 设函数 f(x)=x+x2( x) 的傅里叶级数为 (ancosnxb nsinnx)，则b3=_14 设 y=y(x)满足y=y x+(x)且 y(0)=1，则 y(x)=_三、解答题解答
4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 16 设 f(x)二阶连续可导，f (0)=4， 17 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点18 求 19 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=020 =f(x2，xy，xy 2z)，其中 f 连续可偏导，求 21 求 I= dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y21，x0，y022 计算 x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中：(x1) 2+(y 一 1)2 =1(y1)
5、，取外侧23 判断级数 的敛散性24 求微分方程 xy=yln 的通解25 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 ，求 L 的方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 234 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)g(x)f(x)g (x)0 得0，从而 为单调减函数，由axb 得 ，故 f(x)g(b)f(b)g(x)，应选(A) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f
6、(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x0 为f(一 x)的极大值点，从而一 x0 为一 f(一 x)的极小值点，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=cosx 一 2，F(x)=sinx2x+C，显然 f(x)为周期函数，但 F(x)为非周期函数，(A) 不对；令 f(x)=2x，F(x)=x 2+C，显然 f(x)为单调增函数，但 F(x)为非单调函数，(B)不对；令 f(x)=x2，F(x)= x3+2，显然 f(x)为偶函数，但 F(x)为非奇非偶函数，(C) 不对；若 f(x)为奇函数，F(x)= axf(t)dt，因为 F(x)= ax f
7、(t)dta xf(一 )(一 d)=a xf()d=a af()d+axf()d=axf()d=F(x)，所以 F(x)为偶函数，选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x 一 1)2 上点(2，1)的法线方程为 y= x+2，该法线与 x轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V=12(x1) 4dx+24 ，选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 T=1，一 2t，3t 2，平面的法向量为 n=1，2，1，令 14t+3t2=0,解得 t=1，t= ，故曲线
8、 x=t，y=一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0平行的切线有两条，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 a=1，b=4；【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 4f (a)【试题解析】 =4f(a)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=(12x)e2x =0 得 x= ，当 x 时，f (x)0；当 x 时，f(x)0，则 x= 为 f(x)的最大值点，最大值为 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(
9、z 一 3)=0 或 ：x 一 3y+z+2=0【试题解析】 因为所求平面 经过 L1，所以点 M(1，2，3)在平面 上，因为 与 L1， L2 都平行，所以所求平面的法向量为 n= 1，0，一 12，1，1=1，一 3，1，所求平面为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一3y+z+2=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 f(x，y)=xy【试题解析】 令 A= f(x，y)dxdy，则 f(x，y)=xy A，积分得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 因为 xy2dx+x2ydy=d( x2y2)，所以 (1，1) (2，2)x
10、y2dx+x2ydy= x2y2 (1，1) (2，2) = 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 e x【试题解析】 由y=y x+(x)得 一 y=0，解得 y=Cedx =Cex，再由 y(0)=1 得 C=1，故 y(x)=ex【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 =0，所以 f(0)=0，f (0)=0，又 f(x)二阶连续可导且f(0)=4，所以 f(x)=2x2+(x2)，所以=e2【知识模块】 高等数学17 【正确答案
11、】 f(x)的定义域为(0 ，+)， =由 f(x)=lnx+1=0，得驻点为 x= 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点；(2)当 k= 时，函数 f(x)在(0，+) 内有唯一零点 x= ；(3)当 0k 时，函数 f(x)在(0， +)内有两个零点，分别位于 内【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，)，使得 F(x1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)
12、=0设 x1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0， )且 xx1 时，有 sin(xx1)f(x)恒正或恒负，于是0sin(xx1)f(x)dx0而 0sin(xx1)f(x)dx=cosx10f(x)sinxdxsinx10f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，) 内至少有两个零点，不妨设 f(x1)=f(x2)=0，x 1，x 2(0，)且 x1 x2，由罗尔中值定理，存在 (x1，x 2) (0，)，使得f()=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 =2xf1+yf2+y2zf3， =xf2+2xyzf3， =xy2f3【知识模块】 高等数学21 【正
13、确答案】 由对称性得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 0：y=1(D xz：(x 一 1)2+ 1)，取左侧，则原式= x2dydzy 2dzdxz 2dxdy x2dydzy 2dzdxz 2dxdyI 1I 2，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为1，所以级数 收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 xy ，原方程化为+ =ln变量分离得 ，积分得 ln(ln 一 1)=lnx+lnC，即 ln一 1=Cx，或 =eCx1 ，故原方程的通解为 y=xeCx1 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y (Xx)令 X=0，则 Y=yxy，故 A 点的坐标为(0，yxy )由MA=OA，得yxy =，因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y= (0【知识模块】 高等数学
