1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 283 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)与 g(x)在(a,b)上可导,考虑下列叙述:若 f(x)g(x),则 f(x)g(x) ;若 f(x)g(x),则 f(x)g(x)则 ( )(A),都正确(B) ,都不正确(C) 正确,但不正确(D)正确,但 不正确2 已知 a0,b0,c0,且 a,b,c 互相垂直,则向量 r=xa+yb+zc 的模为 ( )(A)r=xav+y b+zc(B) r=xa +yb+zc (C) r=(x 2+y2+z2)1 2(D)r=(x 2a 2+y2b 2+z2c
2、2)123 设有直线 L1: 则 L1 与 L2 的夹角为( )4 设曲线 L 是区域 D 的正向边界,那么 D 的面积为 ( )(A) Lxdyydx(B) Lxdy+ydx(C) Lxdy ydx(D) Lxdy+ydx5 对于级数 (1) n1 un,其中 un0(n=1 ,2,3 ,),则下列命题中正确的是 ( )6 微分方程 的通解(其中 C 为任意常数)是(A)2e 3x+3ey2=C(B) 2e3x+3ey2 =C(C) 2e3x3e y2 =C(D)e 3xe y2 2=C二、填空题7 设 则 y x=0=_8 设 则 2 0f(x+1)dx=_9 =_10 设 z=esin
3、xy,则 dz=_11 设 y(x)是微分方程 y+(x+1)y+x2y=ex 的满足 y(0)=0,y(0)=1 的解,并设存在且不为零,则正整数 k=_,该极限值=_12 设 x0,微分方程 的特解是y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求极限14 设函数 ,证明:存在常数 A,B ,使得当 x0 +时,恒有 f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2),并求常数 A,B15 设 y=f(In x)ef(x),其中 f 可微,计算16 设 f(x)满足 求 f(x)17 设 f(x),g(x) 在a,b 上二阶可导,g(x)0 ,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0
4、证明:(1)在(a, b)内,g(x)0 ;(2)在(a,b) 内至少存在一点 ,使18 已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx 求xf(x)dx19 (1)若 试证:f(0)=0;(2) 若 f(x)在( ,+)上连续,且f(x)=0xf(t)dt,试证: f(x)0()x+)20 f(x)在0,1上有连续导数,且 f(0)=0,证明:存在 0,1,使得 f()=2 01f(x)dx21 设在平面区域 D 上数量场 u(x,y)=50x 24y 2,试问在点 P0(1,一 2)D 处沿什么方向时 u(x,y) 升高最快,并求一条路径,使从点 P0(1,一 2)处出发沿这条路径 u
5、(x, y)升高最快22 设 z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x+y,xy)满足微分方程(1)求 z=z(u,v)所满足关于 u,v 的微分方程;(2)由(1)求出 z=z(x+y,xy)的一般表达式23 计算 ln(1+x2+y2)dxdy,其中 D=(x,y)x 2+y2124 求下列曲面所围成的立体体积:(1)z=1x 2y 2,z=0;(2)z= (x2+y2),x2+y2=8x,z=025 计算 I=L+ydx+zdy+xdz,其中 L+为曲线 其方向从 y 轴正向往负向看去为逆时针方向26 设 a 与 b 都是常数且 ba 0(1)试写出 yOz 平面上的圆(yb)
6、 2+z2=a2 绕 Oz 轴一圈生成的环面 S 的方程; (2)S 所围成的实心环的空间区域为 ,计算三重积分(x+y)2dv27 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn1 ex(n 为正整数),且 求函数项级数的和函数28 求微分方程 ycosy=(1+cosxsiny)siny 的通解考研数学一(高等数学)模拟试卷 283 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=ex 与 g(x)=e x ,显然 f(x)g(x),但 f(x)=e x ,g(x)=ex ,f(x)g(x), 不正确将 f(x)
7、与 g(x)交换可说明不正确【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 r 2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc) =x2a 2+y2 b 2+z2c 2,所以 应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案】 A【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(1,2,1),L 2 的方向向量S2= =ij+2k,所以 L1 与 L2 之间夹角 的余弦【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查用第二型曲线积分求平面面积,是一种比较新颖的提法,但是内容是经典的,主要看考生能否抓住数学知识之间的联系令P=y,Q=x,则由格
8、林公式得令 p=y,Q=0 ,则由格林公式得令 P=0,Q=x,则由格林公式得由上述三个面积的表达式知,答案选 A【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因(1) n1 un=u nJ=u n,由 绝对收敛,命题 B 正确命题 A 错误:如【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 yy+ey2+3x=0,分离变量有 yey2 dy+e3xdx=0,积分得 2e3x3e y2 =C,其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=
9、t,原积分= 1 1f(t)dt=1 0(t+1)dt+01t2dt=【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 e sinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】 由于 zx=esinxycosxy,z y=esinxycosxy.x,所以 dz=esinxycosxy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 由 y(0)=0 知,所求极限为 型由初始条件 y(0)=1,若 k=1,则上述极限为 0,不符,故 k2 但 y(0)=ex(x+1)y x 2y x=0=
10、0,若 k=2,则上式极限为 0,不符故 k3但 y(0)=(ex(x+1)yx 2y) x=0=exy(x+1)y2xy x 2y x=0=0,若 k=3,则上式极限为 0,不符,故 k4又 y(4)(0)=exyy(x+1)y2y4xyx 2y x=0=1,故知当 k=4 时,【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【试题解析】 此为齐次方程令 y=ux,原方程化为 分离变量,积分得 arcsinu=lnx+C,即 y=xsin(ln x+C)再由【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 分子分母同乘 ex ,则【知识模块】 函数、极
11、限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 =f(lnx).ef(x)+f(lnx).e f(x)=f(lnx). .ef(x)+f(lnx).ef(x).f(x)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得原等式中x 换成 ,得式两边同时对 x 求导得2得,【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (1)反证法设存在一点 c(a,b),g(c)=0由 g(a)=g(c)=g(b)=0,g(x) 在a,c,c,b上两次运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0 其中 1(a,c),2(c, b)对 g(x)在 1, 2上运用罗
12、尔定理,可得 g(3)=0,其中 3(1, 2)与已知 g(x)0 矛盾,故 g(c)0(2)F(x)=f(x)g(x)f(x)g(x),F(a)=0,F(b)=0,在a, b上运用罗尔定理,故存在 (a,b),使【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由于xf(x)dx=xf(x)f(x)dx ,又由于 (1+sin x)lnx 为 f(x)的一个原函数,因此 f(x)=(1+sinx)lnx= 且f(x)dx=(1+sinx)lnx+C,故【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 (1)因为(2)由 f(x)=0xf(x)dt 可知 f(x)=f(x),其通解为 f(x)=c
13、ex,又 f(0)=0,得 C=0,故 f(x)0【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为 f(x)在0,1上连续,所以,f(x)在0,1上有最小值和最大值,设为 m,M,即存在 x1,x 20,1,使 f(x1)=m,f(x 2)=M 由积分中值定理,对任意 x0,1,存在 (0,x),使 0xf(x)dx=f()x,即 f(x)=f(x)f(0)=f()x ,于是有 f(x 1)x=Mxf(x)=f(x)f(0)=f()xMx=f(x 2)x,两边在0,1上积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx,即 f(x1)01f(x)dx f(x2),即 f(x1
14、)201f(x)dxf(x2)因为 f(x)在0,1上连续,由介值定理,必有 x1,x 2 0,1,或x2, x1 0,1 ,使 f()=20xf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因为方向导数沿其梯度方向取得最大值,则考虑 grad u (1,2) =(2xi 8yj) (1,2) =2i+16j,故u(x,y)在点 P0(1,2) 处沿 grad u (1,2) =2i+16j 方向升高最快设所求的路径为 y=y(x),其上任一点 P(x,y)处的切向量 =(dx)i+(dy)j,由题意知,它应与它的梯度方向 gradu=2xi 8yj 一致,则有 求解此微分方程初值
15、问题可知,沿着 y=2x 4 出发时 u(x,y) 升高最快【知识模块】 向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 (1)u=x+y ,v=x=y,得所以原式经变换后成为 (2)由(1) 可知= +C1(v)u+C2(v)= (x+y)2+C1(xy).(x+y)+C 2(xy),其中 C1(v)与 C2(v)为 v 的具有二阶连续导数的任意函数【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 (1)V= =02d01(1r 2)rdr=201(rr 3)dr= (2)投影区域 D=(x,y) (x4) 2+y242,有【知识模块】 多元函数积分学
16、25 【正确答案】 设 x+y+z=1 在球的内部的区域为 S,法向量取向上由斯托克斯公式有:易知 S 指定侧的单位法向量为其中 , 为 n 的方向角由第一、二型曲面积分的联系,得 L+ydx+zdy+xdz=其中S为圆 S 的面积易知 S 的半径【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 (1)用 替代(yb) 2+z2=a2 中的 y,便得 S 的直角坐标方程 (2)用柱面坐标,按先 z 再 r 后 的次序,=02dba b+adrz1z2r3(cos+sin)2dz,其中02(cos+sin)2d=02(1+2cossin)d=2, 作积分变量替换t=rb,得再令 t=asinu,从
17、而【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 由题设条件知,函数 fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 f n(x)f n(x)=xn1 ex,其通解为 由条件记 容易求出其收敛域为1,1),且 S(0)=0,当 x(1,1)时,求导得 于是得 S(x)=S(0)+0xS(t)dt= =ln(1 x)由 S(x)=1n(1x) 在 x=1 处的连续性知,上述和函数在 x= 1 处也成立于是,当1x1 时,有 fn(x)=exS(x)=e xln(1x)【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 作适当代换 z=sin y 便可化为伯努利方程令 z=siny,则代入原方程,得伯努利方程 两边同除以 z2 得代入上面的方程,得解此一阶非齐次线性微分方程,得 u=edx (cosx.e dxdx+C)= (cos x+sin x)+C1ex ,回代即得原方程通解 其中 C2 为任意常数【知识模块】 常微分方程
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