1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 283 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) ；若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)则 ( )（A），都正确（B） ，都不正确（C） 正确，但不正确（D）正确，但 不正确2 已知 a0，b0，c0，且 a，b，c 互相垂直，则向量 r=xa+yb+zc 的模为 ( )（A）r=xav+y b+zc（B） r=xa +yb+zc （C） r=(x 2+y2+z2)1 2（D）r=(x 2a 2+y2b 2+z2c
2、2)123 设有直线 L1： 则 L1 与 L2 的夹角为( )4 设曲线 L 是区域 D 的正向边界，那么 D 的面积为 ( )（A） Lxdyydx（B） Lxdy+ydx（C） Lxdy ydx（D） Lxdy+ydx5 对于级数 (1) n1 un，其中 un0(n=1 ，2，3 ，)，则下列命题中正确的是 ( )6 微分方程 的通解(其中 C 为任意常数)是（A）2e 3x+3ey2=C（B） 2e3x+3ey2 =C（C） 2e3x3e y2 =C（D）e 3xe y2 2=C二、填空题7 设 则 y x=0=_8 设 则 2 0f(x+1)dx=_9 =_10 设 z=esin
3、xy，则 dz=_11 设 y(x)是微分方程 y+(x+1)y+x2y=ex 的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，并设存在且不为零，则正整数 k=_，该极限值=_12 设 x0，微分方程 的特解是y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求极限14 设函数 ，证明：存在常数 A，B ，使得当 x0 +时，恒有 f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数 A，B15 设 y=f(In x)ef(x)，其中 f 可微，计算16 设 f(x)满足 求 f(x)17 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，g(x)0 ，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0
4、证明：(1)在(a， b)内，g(x)0 ；(2)在(a，b) 内至少存在一点 ，使18 已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx 求xf(x)dx19 (1)若 试证：f(0)=0；(2) 若 f(x)在( ，+)上连续，且f(x)=0xf(t)dt，试证： f(x)0()x+)20 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 f()=2 01f(x)dx21 设在平面区域 D 上数量场 u(x，y)=50x 24y 2，试问在点 P0(1，一 2)D 处沿什么方向时 u(x，y) 升高最快，并求一条路径，使从点 P0(1，一 2)处出发沿这条路径 u
5、(x， y)升高最快22 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x+y，xy)满足微分方程(1)求 z=z(u，v)所满足关于 u，v 的微分方程；(2)由(1)求出 z=z(x+y，xy)的一般表达式23 计算 ln(1+x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y2124 求下列曲面所围成的立体体积：(1)z=1x 2y 2，z=0；(2)z= (x2+y2)，x2+y2=8x，z=025 计算 I=L+ydx+zdy+xdz，其中 L+为曲线 其方向从 y 轴正向往负向看去为逆时针方向26 设 a 与 b 都是常数且 ba 0(1)试写出 yOz 平面上的圆(yb)
6、 2+z2=a2 绕 Oz 轴一圈生成的环面 S 的方程； (2)S 所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分(x+y)2dv27 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn1 ex(n 为正整数)，且 求函数项级数的和函数28 求微分方程 ycosy=(1+cosxsiny)siny 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 283 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=ex 与 g(x)=e x ，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=e x ，g(x)=ex ，f(x)g(x)， 不正确将 f(x)
7、与 g(x)交换可说明不正确【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 r 2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc) =x2a 2+y2 b 2+z2c 2，所以 应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案】 A【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(1，2，1)，L 2 的方向向量S2= =ij+2k，所以 L1 与 L2 之间夹角 的余弦【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查用第二型曲线积分求平面面积，是一种比较新颖的提法，但是内容是经典的，主要看考生能否抓住数学知识之间的联系令P=y，Q=x，则由格
8、林公式得令 p=y，Q=0 ，则由格林公式得令 P=0，Q=x，则由格林公式得由上述三个面积的表达式知，答案选 A【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因(1) n1 un=u nJ=u n，由 绝对收敛，命题 B 正确命题 A 错误：如【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 yy+ey2+3x=0，分离变量有 yey2 dy+e3xdx=0，积分得 2e3x3e y2 =C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=
9、t，原积分= 1 1f(t)dt=1 0(t+1)dt+01t2dt=【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 e sinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】 由于 zx=esinxycosxy，z y=esinxycosxy.x，所以 dz=esinxycosxy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 由 y(0)=0 知，所求极限为 型由初始条件 y(0)=1，若 k=1，则上述极限为 0，不符，故 k2 但 y(0)=ex(x+1)y x 2y x=0=
10、0，若 k=2，则上式极限为 0，不符故 k3但 y(0)=(ex(x+1)yx 2y) x=0=exy(x+1)y2xy x 2y x=0=0，若 k=3，则上式极限为 0，不符，故 k4又 y(4)(0)=exyy(x+1)y2y4xyx 2y x=0=1，故知当 k=4 时，【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【试题解析】 此为齐次方程令 y=ux，原方程化为 分离变量，积分得 arcsinu=lnx+C，即 y=xsin(ln x+C)再由【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 分子分母同乘 ex ，则【知识模块】 函数、极
11、限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 =f(lnx).ef(x)+f(lnx).e f(x)=f(lnx). .ef(x)+f(lnx).ef(x).f(x)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得原等式中x 换成 ，得式两边同时对 x 求导得2得，【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (1)反证法设存在一点 c(a，b)，g(c)=0由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x) 在a，c，c，b上两次运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0 其中 1(a，c)，2(c， b)对 g(x)在 1， 2上运用罗
12、尔定理，可得 g(3)=0，其中 3(1， 2)与已知 g(x)0 矛盾，故 g(c)0(2)F(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)，F(a)=0，F(b)=0，在a， b上运用罗尔定理，故存在 (a，b)，使【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由于xf(x)dx=xf(x)f(x)dx ，又由于 (1+sin x)lnx 为 f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sinx)lnx= 且f(x)dx=(1+sinx)lnx+C，故【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 (1)因为(2)由 f(x)=0xf(x)dt 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=c
13、ex，又 f(0)=0，得 C=0，故 f(x)0【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以，f(x)在0，1上有最小值和最大值，设为 m，M，即存在 x1，x 20，1，使 f(x1)=m，f(x 2)=M 由积分中值定理，对任意 x0，1，存在 (0，x)，使 0xf(x)dx=f()x，即 f(x)=f(x)f(0)=f()x ，于是有 f(x 1)x=Mxf(x)=f(x)f(0)=f()xMx=f(x 2)x，两边在0，1上积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx，即 f(x1)01f(x)dx f(x2)，即 f(x1
14、)201f(x)dxf(x2)因为 f(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 x1，x 2 0，1，或x2， x1 0，1 ，使 f()=20xf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑 grad u (1，2) =(2xi 8yj) (1，2) =2i+16j，故u(x，y)在点 P0(1，2) 处沿 grad u (1，2) =2i+16j 方向升高最快设所求的路径为 y=y(x)，其上任一点 P(x，y)处的切向量 =(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向 gradu=2xi 8yj 一致，则有 求解此微分方程初值
15、问题可知，沿着 y=2x 4 出发时 u(x，y) 升高最快【知识模块】 向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 (1)u=x+y ，v=x=y，得所以原式经变换后成为 (2)由(1) 可知= +C1(v)u+C2(v)= (x+y)2+C1(xy).(x+y)+C 2(xy)，其中 C1(v)与 C2(v)为 v 的具有二阶连续导数的任意函数【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 (1)V= =02d01(1r 2)rdr=201(rr 3)dr= (2)投影区域 D=(x，y) (x4) 2+y242，有【知识模块】 多元函数积分学
16、25 【正确答案】 设 x+y+z=1 在球的内部的区域为 S，法向量取向上由斯托克斯公式有：易知 S 指定侧的单位法向量为其中 ， 为 n 的方向角由第一、二型曲面积分的联系，得 L+ydx+zdy+xdz=其中S为圆 S 的面积易知 S 的半径【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 (1)用 替代(yb) 2+z2=a2 中的 y，便得 S 的直角坐标方程 (2)用柱面坐标，按先 z 再 r 后 的次序，=02dba b+adrz1z2r3(cos+sin)2dz，其中02(cos+sin)2d=02(1+2cossin)d=2， 作积分变量替换t=rb，得再令 t=asinu，从
17、而【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 由题设条件知，函数 fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 f n(x)f n(x)=xn1 ex，其通解为 由条件记 容易求出其收敛域为1，1)，且 S(0)=0，当 x(1，1)时，求导得 于是得 S(x)=S(0)+0xS(t)dt= =ln(1 x)由 S(x)=1n(1x) 在 x=1 处的连续性知，上述和函数在 x= 1 处也成立于是，当1x1 时，有 fn(x)=exS(x)=e xln(1x)【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 作适当代换 z=sin y 便可化为伯努利方程令 z=siny，则代入原方程，得伯努利方程 两边同除以 z2 得代入上面的方程，得解此一阶非齐次线性微分方程，得 u=edx (cosx.e dxdx+C)= (cos x+sin x)+C1ex ，回代即得原方程通解 其中 C2 为任意常数【知识模块】 常微分方程
