1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 74 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 fff(x)等于( )(A)0。(B) 1。(C)(D)2 函数 f(x)= 的间断点及类型是( )(A)x=1 为第一类间断点, x=-1 为第二类间断点。(B) x=1 均为第一类间断点。(C) x=1 为第二类间断点,x=-1 为第一类间断点。(D)x=1 均为第二类间断点。3 设 f(x)可导,F(x)=f(x)(1+sinx),则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )(A)充分必要条件。(B)充分条件但非必要条件。(C)必要条件但非充
2、分条件。(D)既非充分条件也非必要条件。4 设函数 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0,使得( )(A)f(x)在(0,)内单调增加。(B) f(x)在(-,0)内单调减少。(C)对任意的 x(0,)有 f(x)f(0) 。(D)对任意的 x(-,0)有 f(x)f(0)。5 设 f(x)= (ecost-e-cost)dt,则( )(A)f(x)=f(x+2)。(B) f(x)f(x+2)。(C) f(x)f(x+2)。(D)当 x0 时,f(x) f(x+2);当 x0 时,f(x)f(x+2)。6 已知 fx(x0, y0)存在,则 =( )(A)f x(x0, y0)。(B) 0
3、。(C) 2fx(x0,y 0)。(D) fx(x0, y0)。7 ,则积分区域为( )(A)x 2+y2a2。(B) x2+y2a2(x0)。(C) x2+y2ax。(D)x 2+y2ax(y0)。8 设 (a2n-1+a2n)收敛,则 ( )二、填空题9 已知 ,则 y=_。10 曲线 的过原点的切线是_。11 =_。12 若 , 是单位向量且满足 +=0,则以 , 为边的平行四边形的面积S=_。13 设函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数,z=f(x,xy),则 =_。14 设 =(x,y,z)x 2+y2+z21,则 z2dxdydz=_。15 设曲面为 z= xydydz+xdzdx
4、+x2dxdy=_。16 将 展成 x 的幂级数为_。17 微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 y()= 的通解为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求19 求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数,其中 k 为参数。20 设 f(x)在-,上连续,且有 求 f(x)。21 为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放人井底,抓起污泥后提出井口(如图 1-3-5所示)。已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为 3ms,在提升过程中,污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重
5、力需做多少焦耳的功?(说明:1N1m=1J,m,N,s, J 分别表示米,牛,秒,焦。抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)22 设函数 f(u)具有二阶连续导数,函数 z=f(exsin),)满足方程 =(z+1)e2x,若 f(0)=0,f(0)=0 ,求函数 f(u)的表达式。23 求 I= exsiny-b(x+y)dx+(excosy-ax)dy,其中 a, b 为正常数,L 为从点 A(2a,0)沿曲线 y= 到点 O(0,0)的弧。24 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面,都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,其中函数 f(x)在
6、(0,+) 内具有连续的一阶导数,且 ,求f(x)。25 设 f(x)= 将 f(x)展开成 x 的幂级数,并求级数的和。考研数学一(高等数学)模拟试卷 74 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为f(x)1 恒成立,所以 ff(x)=1 恒成立,从而 ff(x)=f(1)=1。故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 分别就x=1,x1,x1 时求极限 ,得出f(x)的分段表达式: 在x=1 处,因所以 x=1 为 f(x)的第一类间断点,故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题
7、解析】 令 (x)=f(x)sinx,显然 (0)=0。由于而由(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是 +(0)与 -(0)都存在且相等可知,若 f(0)=0, 则必有 +(0)=-(0);若 +(0)=-(0),即有 f(0)=-f(0),从而 f(0)=0。因此 f(0)=0是 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件,也是 F(x)在 x=0 处可导的充分必要条件。故选 A。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义,知 f(0)= 。根据极限的保号性,存在 0,使对任意 xU(0),有 于是当 x(-,0)时,有 f(x)f(0);当 x(0,)时,有 f(x)
8、f(0)。故选 C。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 考查 f(x+2)-f(x)= (ecost-e-cost)dt,被积函数以 2 为周期且为偶函数,由周期函数的积分性质得因此,f(x+2)-f(x)=0,故选 A。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 =fx(x0,y 0)+fx(x0,y 0) =2fx(x0,y 0), 故选 C。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=cos 知 r2=arcos,即 x2+y2=ax(a0),而且 ,故选 C。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 当 an0 时,级数
9、 (a2n-1+a2n)为正项级数,由于该级数收敛,则其部分和数列 =(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)有上界,从而可知正项级数 的部分和数列 Sn=a1+2+an 有上界,则级数 必收敛,故选 D。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0,0)不在曲线上,首先需求出切点坐标。因此切线方程为把(0,0)代入上式,得 x0=-3 或 x0=-15。 则斜率分别为 所以切线方程为 x+25y=0与 x+y=0。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题
10、解析】 令 x-1=sint,则【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 令,=,则以 , 为边的平行四边形的面积为 S= =sin 由+=0 可得如下方程组解得 .= 。因此,所求平行四边形的面积【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 xf 12+f2+xyf22【试题解析】 由题干可知【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 4【试题解析】 利用高斯公式及轮换对称性进行求解。 补平面 1 为 x2+y24,z=0的下侧,记和 1 所围的空间区域为 ,则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 对 从 0
11、到 x 求积分,有对上式两端求导,得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y= (sinx-xcosx)【试题解析】 由题干中方程可知 根据通解公式得【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 f(x)=karctanx-x,则 f(0)=0,且当 k1 时,f(x)0,f(x)在(-,+)单调递减,故此时 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点,也即方程 karctanx-x=0 只有一个实根。 当 k=1 时,在 (-,0) 和(0 ,+)上都有 f(x)0,所以 f(x)在(-,0)和(0,+
12、)上是严格单调递减的,又 f(0)=0,故 f(x)的图象在(-, 0)和(0,+) 上与 x 轴均无交点。当 k1 时, 上单调增加,由 f(0)=0 知,f(x)在 上只有一个实根;又 f(x)在上都有 f(x)0,因此 f(x)在上都单调递减,且上与 x 轴均只有一个交点。 综上所述,k1 时,方程 karctanx-x=0 只有一个实根;k1 时,方程 karctanx-x=0 有三个实根。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 记 f(x)sinxdx=A,则 上式两端同乘以sinx,并在 -,上积分可得令 x=-t,则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 作 x 轴如图 1-
13、3-9 所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W,当抓斗运动到 x 处时,作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N,缆绳的重力50(30-x)N,污泥的重力 2000- .20(N),即【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 代入=(z+1)e2x,得 f(u)-f(u)=1。此方程对应的齐次方程 f(u)-f(u)=0 的通解为f(u)=C1eu+C22e-u 方程的一个特解为 f(u)=-1。所以方程 f(u)-f(u)=1 的通解为 f(u)=C1eu+C2e-u-1,其中 C1,C 2 为任意常数。由 f(0)=0,f(0)=0 得 C1=C2= ,从而函数 f(u)的表达式为
14、 f(u)= (eu+e-u)-1。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 添加从点 O(00)沿 y=0 到点 A(2a,0)的有向线段 L1,则利用格林公式,前一积分其中 D 为 L+L1 所围成的半圆域。 后一积分选择 x 为参数,得 L1:y=0(x:02a) ,直接积分得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由题设和高斯公式得其中 为围成的有界闭区域,号对应曲面取外侧或内侧,由的任意性,知 xf(x)+f(x)-xf(x)-e 2x=0(x0),即这是一阶线性非齐次微分方程,其通解为 f(x)= (ex+C)。即 C+1=0,从而 C=-1。 因此【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 直接将 arctanx 展开不容易,但(arctanx)易展开,即积分得因为右端级数在 x=1 处均收敛,又 arctanx 在 x=1 处连续,所以展开式在收敛区间端点 x=1 处成立。将 (*)式两边同乘 得上式右端当 x=0 时取值为 1,于是 令 x=1,则【知识模块】 高等数学
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