1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 74 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 fff(x)等于( )（A）0。（B） 1。（C）（D）2 函数 f(x)= 的间断点及类型是( )（A）x=1 为第一类间断点， x=-1 为第二类间断点。（B） x=1 均为第一类间断点。（C） x=1 为第二类间断点，x=-1 为第一类间断点。（D）x=1 均为第二类间断点。3 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件。（B）充分条件但非必要条件。（C）必要条件但非充
2、分条件。（D）既非充分条件也非必要条件。4 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加。（B） f(x)在(-，0)内单调减少。（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) 。（D）对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)。5 设 f(x)= (ecost-e-cost)dt，则( )（A）f(x)=f(x+2)。（B） f(x)f(x+2)。（C） f(x)f(x+2)。（D）当 x0 时，f(x) f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)。6 已知 fx(x0， y0)存在，则 =( )（A）f x(x0， y0)。（B） 0
3、。（C） 2fx(x0，y 0)。（D） fx(x0， y0)。7 ，则积分区域为( )（A）x 2+y2a2。（B） x2+y2a2(x0)。（C） x2+y2ax。（D）x 2+y2ax(y0)。8 设 (a2n-1+a2n)收敛，则 ( )二、填空题9 已知 ，则 y=_。10 曲线 的过原点的切线是_。11 =_。12 若 ， 是单位向量且满足 +=0，则以 ， 为边的平行四边形的面积S=_。13 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 =_。14 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21，则 z2dxdydz=_。15 设曲面为 z= xydydz+xdzdx
4、+x2dxdy=_。16 将 展成 x 的幂级数为_。17 微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 y()= 的通解为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求19 求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。20 设 f(x)在-，上连续，且有 求 f(x)。21 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口(如图 1-3-5所示)。已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重
5、力需做多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J，m，N，s， J 分别表示米，牛，秒，焦。抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)22 设函数 f(u)具有二阶连续导数，函数 z=f(exsin)，)满足方程 =(z+1)e2x，若 f(0)=0，f(0)=0 ，求函数 f(u)的表达式。23 求 I= exsiny-b(x+y)dx+(excosy-ax)dy，其中 a， b 为正常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 y= 到点 O(0，0)的弧。24 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面，都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0，其中函数 f(x)在
6、(0，+) 内具有连续的一阶导数，且 ，求f(x)。25 设 f(x)= 将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数的和。考研数学一（高等数学）模拟试卷 74 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为f(x)1 恒成立，所以 ff(x)=1 恒成立，从而 ff(x)=f(1)=1。故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 分别就x=1，x1，x1 时求极限 ，得出f(x)的分段表达式： 在x=1 处，因所以 x=1 为 f(x)的第一类间断点，故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题
7、解析】 令 (x)=f(x)sinx，显然 (0)=0。由于而由(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是 +(0)与 -(0)都存在且相等可知，若 f(0)=0， 则必有 +(0)=-(0)；若 +(0)=-(0)，即有 f(0)=-f(0)，从而 f(0)=0。因此 f(0)=0是 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F(x)在 x=0 处可导的充分必要条件。故选 A。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 f(0)= 。根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU(0)，有 于是当 x(-，0)时，有 f(x)f(0)；当 x(0，)时，有 f(x)
8、f(0)。故选 C。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 考查 f(x+2)-f(x)= (ecost-e-cost)dt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得因此，f(x+2)-f(x)=0，故选 A。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 =fx(x0，y 0)+fx(x0，y 0) =2fx(x0，y 0)， 故选 C。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=cos 知 r2=arcos，即 x2+y2=ax(a0)，而且 ，故选 C。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 当 an0 时，级数
9、 (a2n-1+a2n)为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 =(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)有上界，从而可知正项级数 的部分和数列 Sn=a1+2+an 有上界，则级数 必收敛，故选 D。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0，0)不在曲线上，首先需求出切点坐标。因此切线方程为把(0，0)代入上式，得 x0=-3 或 x0=-15。 则斜率分别为 所以切线方程为 x+25y=0与 x+y=0。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题
10、解析】 令 x-1=sint，则【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 令，=，则以 ， 为边的平行四边形的面积为 S= =sin 由+=0 可得如下方程组解得 .= 。因此，所求平行四边形的面积【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 xf 12+f2+xyf22【试题解析】 由题干可知【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 4【试题解析】 利用高斯公式及轮换对称性进行求解。 补平面 1 为 x2+y24，z=0的下侧，记和 1 所围的空间区域为 ，则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 对 从 0
11、到 x 求积分，有对上式两端求导，得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y= (sinx-xcosx)【试题解析】 由题干中方程可知 根据通解公式得【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 f(x)=karctanx-x，则 f(0)=0，且当 k1 时，f(x)0，f(x)在(-，+)单调递减，故此时 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点，也即方程 karctanx-x=0 只有一个实根。 当 k=1 时，在 (-，0) 和(0 ，+)上都有 f(x)0，所以 f(x)在(-，0)和(0，+
12、)上是严格单调递减的，又 f(0)=0，故 f(x)的图象在(-， 0)和(0，+) 上与 x 轴均无交点。当 k1 时， 上单调增加，由 f(0)=0 知，f(x)在 上只有一个实根；又 f(x)在上都有 f(x)0，因此 f(x)在上都单调递减，且上与 x 轴均只有一个交点。 综上所述，k1 时，方程 karctanx-x=0 只有一个实根；k1 时，方程 karctanx-x=0 有三个实根。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 记 f(x)sinxdx=A，则 上式两端同乘以sinx，并在 -，上积分可得令 x=-t，则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 作 x 轴如图 1-
13、3-9 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力50(30-x)N，污泥的重力 2000- .20(N)，即【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 代入=(z+1)e2x，得 f(u)-f(u)=1。此方程对应的齐次方程 f(u)-f(u)=0 的通解为f(u)=C1eu+C22e-u 方程的一个特解为 f(u)=-1。所以方程 f(u)-f(u)=1 的通解为 f(u)=C1eu+C2e-u-1，其中 C1，C 2 为任意常数。由 f(0)=0，f(0)=0 得 C1=C2= ，从而函数 f(u)的表达式为
14、 f(u)= (eu+e-u)-1。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 添加从点 O(00)沿 y=0 到点 A(2a，0)的有向线段 L1，则利用格林公式，前一积分其中 D 为 L+L1 所围成的半圆域。 后一积分选择 x 为参数，得 L1：y=0(x：02a) ，直接积分得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由题设和高斯公式得其中 为围成的有界闭区域，号对应曲面取外侧或内侧，由的任意性，知 xf(x)+f(x)-xf(x)-e 2x=0(x0)，即这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 f(x)= (ex+C)。即 C+1=0，从而 C=-1。 因此【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 直接将 arctanx 展开不容易，但(arctanx)易展开，即积分得因为右端级数在 x=1 处均收敛，又 arctanx 在 x=1 处连续，所以展开式在收敛区间端点 x=1 处成立。将 (*)式两边同乘 得上式右端当 x=0 时取值为 1，于是 令 x=1，则【知识模块】 高等数学
