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[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷77及答案与解析.doc

1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 77 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx( )(A)当 x时为无穷大。(B)在 (-, +)内有界。(C)在 (-, +)内无界。(D)当 x时极限存在。2 设 ,则( )(A)f(x)在 x=x0 处必可导且 f(x0)=a。(B) f(x)在 x=x0 处连续,但未必可导。(C) f(x)在 x=x0 处有极限但未必连续。(D)以上结论都不对。3 曲线 y=(x-1)2(x-3)2 的拐点个数为( )(A)0。(B) 1。(C) 2。(D)3。4 设 g(x)= 则 g(x)在区间(0 ,

2、2)内( )(A)无界。(B)递减。(C)不连续。(D)连续。5 已知 a,b 为非零向量,且 ab,则必有( )(A)a+b =a + b。(B) a-b =a-b。(C) a+b=a-b 。(D)a+b=a-b。6 已知 f(x,y)= ,则( )(A)f x(0,0),f y(0,0) 都存在。(B) fx(0,0)存在,但 fy(0,0)不存在。(C) fx(0,0)不存在,f x(0,0)存在。(D)f x(0,0),f y(0,0) 都不存在。7 设曲线 L:f(x,y)=1(具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N, 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧,

3、则下列积分小于零的是 ( )8 设函数 f(x)=x2,0x 1 ,而 s(x)= bnsinnx,-x+,其中bn= sinnxdx,n=1,2,3,则 等于( )二、填空题9 =_。10 =_。11 设 ,则 f(x)的极值为_,f(x)的拐点坐标为_。12 =_。13 直线 L1: 的夹角为_。14 二元函数 f(x,y)=x 2(2+y2)+ylny 的极小值为_ 。15 已知曲线 L:y=x 2(0x =_。16 设 D 是由 x2+y2a2,y0 所确定的上半圆域,则 D 的形心的 y 坐标 =_。17 方程(xy 2+x)dx+(y-x2y)dy=0 的通解为_。三、解答题解答应

4、写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求19 设 eabe 2,证明 ln2b-ln2a20 如图 1-3-2 所示,曲线 C 的方程为 y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线 l1 与l2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为 (2,4)。设函数 f(x)具有三阶连续导数,计算定积分21 求函数 f(x,y)= 的极值。22 已知平面区域 D=(x,y)0x,0y,L 为 D 的正向边界。试证:23 设直线 L 过 A(1,0,0),B(0,1,1) 两点,将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面,与平面 z=0,z=2 所围成的立体为 。()求曲面 的方程;()

5、求 的形心坐标。24 设 an= ()求 (an+an+2)的值;( )证明对任意的常数 0,级数收敛。25 将函数 f(x)=1-x2(0x)用余弦级数展开,并求 的和。考研数学一(高等数学)模拟试卷 77 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 xn=2n+ ,y n=2n+,则 f(xn)=2n+ ,f(y n)=0。因为,所以 f(x)在(-,+)内无界,故选 C。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左、右导数 f-(x2)和 f+(x0)与在 x=x0 处的左

6、、右极限 区分开。,但不能保证 f(x)在 x0 处可导,以及在 x=x0 处连续和极限存在。例如 f(x)=但是不存在,所以 f(x)在 x=0 处不连续,不可导。 故选 D。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y,有 y=2(x-1)(x-3) 2+2(x-1)2(x-3) =4(x-1)(x-2)(x-3), y=4(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2) =4(3x2-12x+11)令 y=0,得 x1=又由 y=24(x-2),可得 y(x 1)0,y(x 2)0, 因此曲线有两个拐点,故选 C。【知识模块】 高等数学4 【正确答

7、案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ,2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点),所以 f(x)在该区间上可积,因而 g(x)= 在该区间内必连续,故选D。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ab,则a+b 与a-b在几何上分别表示以向量 a,b 为邻边的矩形的两条对角线的长度,则必有a+b=a-b ,故选 C。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x,0)= =sinx在 x=0 处不可导,故 fx(0,0)不存在。事实上 而 f(0,y)= =siny2 在 y=0 处可导,则 fy(0,0)存在,故选 C

8、。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 在 上 f(x,y)=1,M 在第二象限,N 在第四象限,则 M 点的纵坐标 yM 大于 N 点的纵坐标 yN,因此 故选 B。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 s(x)是正弦级数,所以此傅里叶级数是对 f(x)在(-1,0)内作奇延拓后展开的,于是和函数 s(x)在一个周期内的表达式为【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 原式=【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 对 f(x)求导,令 f(x)= .2x=

9、0,得 x=0。而且,当 x0 时,f(x)0;当 x0 时,f(x) 0,所以极小值点为 x=0,极小值为 f(0)=0。又因 f(x)=当 x时,f(x)0,故拐点坐标为【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 -4【试题解析】 令 =t,则【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 两条直线方向向量的夹角即为两条直线的夹角。 L 1 的方向向量s1=1,-2 ,1。令 y=t,直线 L2 的参数方程是 则 L2 的方向向量s2=1,1,-2。由于 所以 L1 与 L2 的夹角为【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 由因为AC-B2= 是 f(x,y)的极小值

10、,且【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 由线 L 可写成参数形式:x=x,y=x 2(0x ),则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y 2+1=C(x2-1)【试题解析】 由题干可得(y 2+1)xdx+(1-x2)ydy=0,则分离变量得积分得 所以通解为 y2+1=C(x2-1)。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 对函数 y=ln2x 在a ,b上应用拉格朗日中值定理,得当 te 时,(t)0,所以 (t)单

11、调减少,从而有 ()(e 2),即【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由图形知,f(0)=0,f(0)=2,f(3)=2,f(3)=-2,f(3)=0。则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 先求驻点,令 解得驻点为为了判断这两个驻点是否为极值点,求二阶导数因为 AC-B20,所以 不是极值点。因为 A0,AC-B 2= 是极小值点,极小值为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 () 左边= 右边=所以()由于 esinx+e-sinx2,故由( )得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 () 由已知得 =-1,1,1,则 设任意点M(x,y,z),对应于 L 上的 M0(x0,y 0,z) ,则有 x2+y2= 且由得:x 2+y2=(1-)2+z2,即:x 2+y2=2z2-2z+1。()显然其中,Dxy:x 2+y22z2-2z+1。所以【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 因为 又由部分和数列()先估计 an 的值。因为由 +11 可知, 也收敛。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 将 f(x)作偶延拓,则有 bn=0,n=1,2,。令 x=0,有 又 f(0)=1,所以【知识模块】 高等数学

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