1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 77 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx( )（A）当 x时为无穷大。（B）在 (-， +)内有界。（C）在 (-， +)内无界。（D）当 x时极限存在。2 设 ，则( )（A）f(x)在 x=x0 处必可导且 f(x0)=a。（B） f(x)在 x=x0 处连续，但未必可导。（C） f(x)在 x=x0 处有极限但未必连续。（D）以上结论都不对。3 曲线 y=(x-1)2(x-3)2 的拐点个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。4 设 g(x)= 则 g(x)在区间(0 ，
2、2)内( )（A）无界。（B）递减。（C）不连续。（D）连续。5 已知 a，b 为非零向量，且 ab，则必有( )（A）a+b =a + b。（B） a-b =a-b。（C） a+b=a-b 。（D）a+b=a-b。6 已知 f(x，y)= ，则( )（A）f x(0，0)，f y(0，0) 都存在。（B） fx(0，0)存在，但 fy(0，0)不存在。（C） fx(0，0)不存在，f x(0，0)存在。（D）f x(0，0)，f y(0，0) 都不存在。7 设曲线 L：f(x，y)=1(具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，
3、则下列积分小于零的是 ( )8 设函数 f(x)=x2，0x 1 ，而 s(x)= bnsinnx，-x+，其中bn= sinnxdx，n=1，2，3，则 等于( )二、填空题9 =_。10 =_。11 设 ，则 f(x)的极值为_，f(x)的拐点坐标为_。12 =_。13 直线 L1： 的夹角为_。14 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极小值为_ 。15 已知曲线 L：y=x 2(0x =_。16 设 D 是由 x2+y2a2，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标 =_。17 方程(xy 2+x)dx+(y-x2y)dy=0 的通解为_。三、解答题解答应
4、写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求19 设 eabe 2，证明 ln2b-ln2a20 如图 1-3-2 所示，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1 与l2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为 (2，4)。设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分21 求函数 f(x，y)= 的极值。22 已知平面区域 D=(x，y)0x，0y，L 为 D 的正向边界。试证：23 设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 。()求曲面 的方程；()
5、求 的形心坐标。24 设 an= ()求 (an+an+2)的值；( )证明对任意的常数 0，级数收敛。25 将函数 f(x)=1-x2(0x)用余弦级数展开，并求 的和。考研数学一（高等数学）模拟试卷 77 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 xn=2n+ ，y n=2n+，则 f(xn)=2n+ ，f(y n)=0。因为，所以 f(x)在(-，+)内无界，故选 C。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左、右导数 f-(x2)和 f+(x0)与在 x=x0 处的左
6、、右极限 区分开。，但不能保证 f(x)在 x0 处可导，以及在 x=x0 处连续和极限存在。例如 f(x)=但是不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续，不可导。 故选 D。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y，有 y=2(x-1)(x-3) 2+2(x-1)2(x-3) =4(x-1)(x-2)(x-3)， y=4(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2) =4(3x2-12x+11)令 y=0，得 x1=又由 y=24(x-2)，可得 y(x 1)0，y(x 2)0， 因此曲线有两个拐点，故选 C。【知识模块】 高等数学4 【正确答
7、案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ，2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)= 在该区间内必连续，故选D。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ab，则a+b 与a-b在几何上分别表示以向量 a，b 为邻边的矩形的两条对角线的长度，则必有a+b=a-b ，故选 C。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x，0)= =sinx在 x=0 处不可导，故 fx(0，0)不存在。事实上 而 f(0，y)= =siny2 在 y=0 处可导，则 fy(0，0)存在，故选 C
8、。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 在 上 f(x，y)=1，M 在第二象限，N 在第四象限，则 M 点的纵坐标 yM 大于 N 点的纵坐标 yN，因此 故选 B。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 s(x)是正弦级数，所以此傅里叶级数是对 f(x)在(-1，0)内作奇延拓后展开的，于是和函数 s(x)在一个周期内的表达式为【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 原式=【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 对 f(x)求导，令 f(x)= .2x=
9、0，得 x=0。而且，当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x) 0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0。又因 f(x)=当 x时，f(x)0，故拐点坐标为【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 -4【试题解析】 令 =t，则【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 两条直线方向向量的夹角即为两条直线的夹角。 L 1 的方向向量s1=1，-2 ，1。令 y=t，直线 L2 的参数方程是 则 L2 的方向向量s2=1，1，-2。由于 所以 L1 与 L2 的夹角为【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 由因为AC-B2= 是 f(x，y)的极小值
10、，且【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 由线 L 可写成参数形式：x=x，y=x 2(0x )，则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y 2+1=C(x2-1)【试题解析】 由题干可得(y 2+1)xdx+(1-x2)ydy=0，则分离变量得积分得 所以通解为 y2+1=C(x2-1)。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 对函数 y=ln2x 在a ，b上应用拉格朗日中值定理，得当 te 时，(t)0，所以 (t)单
11、调减少，从而有 ()(e 2)，即【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由图形知，f(0)=0，f(0)=2，f(3)=2，f(3)=-2，f(3)=0。则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 先求驻点，令 解得驻点为为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数因为 AC-B20，所以 不是极值点。因为 A0，AC-B 2= 是极小值点，极小值为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 () 左边= 右边=所以()由于 esinx+e-sinx2，故由( )得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 () 由已知得 =-1，1，1，则 设任意点M(x，y，z)，对应于 L 上的 M0(x0，y 0，z) ，则有 x2+y2= 且由得：x 2+y2=(1-)2+z2，即：x 2+y2=2z2-2z+1。()显然其中，Dxy：x 2+y22z2-2z+1。所以【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 因为 又由部分和数列()先估计 an 的值。因为由 +11 可知， 也收敛。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 将 f(x)作偶延拓，则有 bn=0，n=1，2，。令 x=0，有 又 f(0)=1，所以【知识模块】 高等数学
