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[考研类试卷]考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷1及答案与解析.doc

1、考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为三阶方阵,A *为 A 的伴随矩阵,A= ,则4A-(3A *)-1=( )(A)(B) 3(C) 6(D)92 设 A,B 是 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )3 设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,且(A+B) 2=E,则(E+BA -1)-1=( )(A)(A+B)B(B) E+AB-1(C) A(A+B)(D)(A+B)A4 下列命题中, (1)如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A-1=B (2)如果 n 阶矩阵 A,B满足(AB) 2=E,则(BA) 2

2、=E (3) 如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 AB 必不可逆 正确的是( )(A)(1)(2)(B) (1)(4)(C) (2)(3)(D)(2)(4)5 设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则(1)若 A 可逆,则 B 可逆; (2)若 B 可逆,则 A+B 可逆;(3)若 A+B 可逆,则 AB 可逆; (4)A-E 恒可逆上述命题中,正确的命题共有( )(A)1 个(B) 2 个(C) 3 个(D)4 个6 设 A,B 均为 n 阶对称矩阵,则下列结论不正确的是 ( )(A)A+B 是对称矩阵

3、(B) AB 是对称矩阵(C) A*+B*是对称矩阵(D)A-2B 是对称矩阵7 设 A=则 B=( )(A)P 1P3A(B) P2P3A(C) AP3P2(D)AP 1P38 设 A= ,B 是 42 的非零矩阵,且 AB=O,则( )(A)a=1 时, B 的秩必为 2(B) a=1 时,B 的秩必为 1(C) a1时,B 的秩必为 1(D)a1 时,B 的秩必为 2二、填空题9 设 A 为 4 阶矩阵,且A=2,则A *=_10 设 A,B 是 3 阶矩阵,满足 AB=A-B,其中 B= ,则A+E=_11 设矩阵 A= ,矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E,其中 A*为 A 的伴

4、随矩阵,E 是单位矩阵,则B=_12 已知矩阵 A= ,则 AB-BA=_13 设 A= ,则 AB=_14 设 , 均为 3 维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T= ,则T=_15 设方阵 A 满足 A2-A-2E=O,并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵,则 (A+2E)-1=_16 设矩阵 A= , B=A2+5A+6E,则 =_17 设 A= ,B=(E+A) -1(E-A),则(E+B) -1=_18 设 A= ,则 A-1=_19 如果 A= (B+E),且 B2=E,则 A2=_20 设 =(1, 2,3) T,= ,A= T,则 A3=_21 已知 2CA-2AB=C-B,

5、其中 A= ,则 C3=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A 是 n 阶可逆方阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B22 证明 B 可逆;23 求 AB-124 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ,且 ABA-1=BA-1+3E,其中 E 为 4 阶单位矩阵,求矩阵 B25 设 A 是 n 阶矩阵,A 2=E,证明:r(A+E)+r(A-E)=n25 已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x,使得 x,Ax,A 2x 线性无关,且满足 A3x=3Ax一 2A2x26 记 P=(x,Ax ,A 2x)求 3 阶矩阵 B,使 A=PBP-1;27 计算行

6、列式A+E27 设 A,B 为同阶方阵,28 若 A,B 相似,证明 A,B 的特征多项式相等;29 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;30 当 A,B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由A= ,则(3A *)-1=(3AA -1)-1=A,所以 4A-(3A *)-1= 4A-A=3A=3 3A=9 所以应选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 由AB=AB=0 ,且行列式是数值,故有A=0或B =0 ,反之亦

7、成立,故应选 C取 A= ,AB=O,但AO,BO,选项 A 不成立取A= ,选项 B不成立取A= ,选项 D 不成立 所以应选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为(E+BA -1)-1=(AA-1+BA-1)-1 =(A+B)A-1-1 =(A-1)-1(A+B)-1 =A(A+B),所以应选 C 注意,由(A+B) 2=E,即(A+B)(A+B)=E,按可逆矩阵的定义知(A+B)-1=(A+B)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵,命题(1)当然正确,但是题中没有 n 阶矩阵这一条件,故(1)不正确例如 显然 A 不可逆

8、 若A、B 为 n 阶矩阵,(AB) 2=E,即(AB)(AB)=E,则可知 A、B 均可逆,于是ABA=B-1,从而 BABA=E即(BA) 2=E因此(2)正确若设显然 A、B 都不可逆,但 A+B= 可逆,可知(3)不正确由于 A、B 均为 n 阶不可逆矩阵,知A= B=0,且结合行列式乘法公式,有AB= A B=0 ,故 AB 必不可逆(4)正确 所以应选 D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B,有(A-E)B=A若 A 可逆,则(A-E)B=A-EB=A0 ,知B 0 即矩阵曰可逆,从而命题(1)正确应用命题(1),由曰可逆可得出 A 可逆,从而 AB

9、 可逆,那么 A+B=AB 也可逆,故命题(2)正确因为 AB=A+B,若 A+B 可逆,则有 AB 可逆,即命题(3)正确对于命题(4),用分组因式分解,即AB-A-B+E=E,则有(A-E)(B-E)=E,所以得 A-E 恒可逆,命题(4)正确所以应选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件,则 (A+B) T=AT+BT=A+B, 及 (kB) T=kBT=kB, 所以有 (A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B, 从而选项 A、D 的结论是正确的 首先来证明(A *)T=(AT)*,即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等(A *)T 在位置(i,j)的元素

10、等于A*在(j,i)位置的元素,且为元素 aij 的代数余子式 Aij 而矩阵(A T)*在(i ,j) 位置的元素等于 AT 的(j ,i) 位置的元素的代数余子式,因 A 为对称矩阵,即 aji=aij 则该元素仍为元素 aij 的代数余子式 Aij 从而(A T)*=(AT)*=A*,故 A*为对称矩阵,同理,B *亦为对称矩阵结合选项 A 的结论,则选项 C 的结论是正确的 因为(AB)T=BTAT=BA,从而选项 B 的结论不正确 注意:当 A,B 均为对称矩阵时,AB为对称矩阵的充要条件是 AB=BA 所以应选 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次

11、行变换可得到矩阵 B,而 AP3P2,AP 1P3,描述的是矩阵 A 作列变换,故应排除 该变换或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后,再1、2 两行互换可得到 b;或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后,再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 b而 P2P3A 正是后者,所以应选 B【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=1 时,易见 r(A)=1;当 a1 时,则即 r(A)=3由于 AB=O,A 是34 矩阵,有 r(A+B)4 那么当 a=1 时,r(A)=1,lr(B)3而 B 是 42 矩阵,所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2,因此选项 A

12、、B 均不正确 当 a1 时,r(A)=3,所以必有 r(B)=1,选项 D 不正确所以应选 C【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 8【试题解析】 因为A0 时,有 A-1= ,因此 A*=A-1A ,因为矩阵前面的系数相当于矩阵的每一个元素均乘以这个系数,因此,A *=A -1( A )n= A n-1=A 3=23=8【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 由题设,AB=A-B,则(A+E)(E-B)=E,因此【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 由于A= =3,又因为 AA*=A*A=A E,则对题中的矩阵方程右乘矩阵 A 得 3AB-6B=A,即 3

13、(A-2E)B=A,该等式两端同时取行列式有 3(A-2E) .B =A=3,即 27A-2E. B= A =3 又A-2E=【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵乘积的计算方法【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1,a 2,a 3)T,=(b 1,b 2,b 3)T,则可以看出 T 也就是矩阵 T 的主对角线元素的和,所以 T=1+6+(-2)=5【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 由 A2-A-2E=O,即可得(A+2E)(A-3E)=-4E,于是有 (A+2E) -1(A

14、+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1 因此(A+2E) -1= (A-3E)【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=(A+2E)(A+3E),又 =5B-1,因此可知【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 由于 B+E=(E+A)-1(E-A)+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A)=(E+A)-1(E-A)+(E+A)=2(E+A)-1,因此(E+B) -1=【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 根据逆矩阵的求法,对已知矩阵和单位矩阵,用相同初等行变换把已知矩阵变为单位矩阵,则单位矩阵在相同的变换下变为已知矩阵的逆矩阵,即

15、【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 A【试题解析】 已知 A= (B+E)且 B2=E,因此【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 因为 A=T=且矩阵的乘法满足结合律,所以 A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA-2AB=C-B,得 2CA-C=2AB-B,因此有 C(2A-E)=(2A-E)B所以,C=(2A-E)B(2A-E)-1 那么可得 C3=(2A-E)B3(2A-E)-1=【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 设 E(i,

16、j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵,则有 B=E(i,j)A,因此有B = E(i ,j)A=- A0,所以矩阵 B 可逆【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 AB -1=AE(i,j)A -1=AA-1E-1(i,j)=E -1(i,j)=E(i,j) 【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE,知A *=A n-1,因此有8=A *= A 3 于是A=2 在等式 ABA-1=BA-1+3E,两边先右乘 A,再左乘 A*,得 2B=A *B+3A*A 由上述结论,则有 (2E-A *)B=6E, 于是【知识模块】 矩阵25 【正确答案】

17、由题干知 A2=E,则 A2-E=O,即(A-E)(A+E)=O 那么 r(A+E)+r(A-E)n 又因为 r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r(E-A)r(A+E)+(E-A)=r(2E)=n, 故 r(A+E)+r(A-E)=n【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 令等式 A=PBP-1 两边同时右乘矩阵 P,得 AP=PB,即A(x,Ax ,A 2x)=(Ax,A 2x,A 3x)=(Ax,A 2x,3Ax-2A 2x)=(x,Ax ,A 2x)【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 由(1)知 A-B,那么 A+E-B+E,从而【知识模块】 矩阵【知识模块】

18、矩阵28 【正确答案】 若 A,B 相似,那么存在可逆矩阵 P,使 P-1AP=B,则 E-B=E-P -1AP=P -1EP-P-1AP =P -1(E-A)P=P -1E-AP=E-A 所以 A、B 的特征多项式相等【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 令 A= ,那么 E-A= 2=EB但是A,B 不相似否则,存在可逆矩阵 P,使 P-1AP=BO,从而 A=POP-1=O 与已知矛盾也可从 r(A)=1,r(B)=0 ,知 A 与 B 不相似【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 因 A,B 均为实对称矩阵知,A,B 均相似于对角阵,若 A,B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为 1, n,则有也就是,存在可逆矩阵 P,Q ,使 P-1AP=因此有(P,Q -1)-1A(PQ-1)=B由 PQ-1 为可逆矩阵知,矩阵A 与 B 相似【知识模块】 矩阵

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