1、考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为三阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，A= ，则4A-(3A *)-1=( )（A）（B） 3（C） 6（D）92 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )3 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2=E，则(E+BA -1)-1=( )（A）(A+B)B（B） E+AB-1（C） A(A+B)（D）(A+B)A4 下列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A-1=B (2)如果 n 阶矩阵 A，B满足(AB) 2=E，则(BA) 2
2、=E (3) 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆 正确的是( )（A）(1)(2)（B） (1)(4)（C） (2)(3)（D）(2)(4)5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则(1)若 A 可逆，则 B 可逆； (2)若 B 可逆，则 A+B 可逆；(3)若 A+B 可逆，则 AB 可逆； (4)A-E 恒可逆上述命题中，正确的命题共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 ( )（A）A+B 是对称矩阵
3、（B） AB 是对称矩阵（C） A*+B*是对称矩阵（D）A-2B 是对称矩阵7 设 A=则 B=( )（A）P 1P3A（B） P2P3A（C） AP3P2（D）AP 1P38 设 A= ，B 是 42 的非零矩阵，且 AB=O，则( )（A）a=1 时， B 的秩必为 2（B） a=1 时，B 的秩必为 1（C） a1时，B 的秩必为 1（D）a1 时，B 的秩必为 2二、填空题9 设 A 为 4 阶矩阵，且A=2，则A *=_10 设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 B= ，则A+E=_11 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴
4、随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_12 已知矩阵 A= ，则 AB-BA=_13 设 A= ，则 AB=_14 设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T= ，则T=_15 设方阵 A 满足 A2-A-2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则 (A+2E)-1=_16 设矩阵 A= ， B=A2+5A+6E，则 =_17 设 A= ，B=(E+A) -1(E-A)，则(E+B) -1=_18 设 A= ，则 A-1=_19 如果 A= (B+E)，且 B2=E，则 A2=_20 设 =(1， 2，3) T，= ，A= T，则 A3=_21 已知 2CA-2AB=C-B，
5、其中 A= ，则 C3=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B22 证明 B 可逆；23 求 AB-124 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 B25 设 A 是 n 阶矩阵，A 2=E，证明：r(A+E)+r(A-E)=n25 已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax一 2A2x26 记 P=(x，Ax ，A 2x)求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1；27 计算行
6、列式A+E27 设 A，B 为同阶方阵，28 若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；29 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；30 当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由A= ，则(3A *)-1=(3AA -1)-1=A，所以 4A-(3A *)-1= 4A-A=3A=3 3A=9 所以应选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 由AB=AB=0 ，且行列式是数值，故有A=0或B =0 ，反之亦
7、成立，故应选 C取 A= ，AB=O，但AO，BO，选项 A 不成立取A= ，选项 B不成立取A= ，选项 D 不成立 所以应选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为(E+BA -1)-1=(AA-1+BA-1)-1 =(A+B)A-1-1 =(A-1)-1(A+B)-1 =A(A+B)，所以应选 C 注意，由(A+B) 2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B)-1=(A+B)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆
8、 若A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2=E，即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是ABA=B-1，从而 BABA=E即(BA) 2=E因此(2)正确若设显然 A、B 都不可逆，但 A+B= 可逆，可知(3)不正确由于 A、B 均为 n 阶不可逆矩阵，知A= B=0，且结合行列式乘法公式，有AB= A B=0 ，故 AB 必不可逆(4)正确 所以应选 D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B，有(A-E)B=A若 A 可逆，则(A-E)B=A-EB=A0 ，知B 0 即矩阵曰可逆，从而命题(1)正确应用命题(1)，由曰可逆可得出 A 可逆，从而 AB
9、 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题(2)正确因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题(3)正确对于命题(4)，用分组因式分解，即AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E，所以得 A-E 恒可逆，命题(4)正确所以应选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则 (A+B) T=AT+BT=A+B， 及 (kB) T=kBT=kB， 所以有 (A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B， 从而选项 A、D 的结论是正确的 首先来证明(A *)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A *)T 在位置(i，j)的元素
10、等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素 aij 的代数余子式 Aij 而矩阵(A T)*在(i ，j) 位置的元素等于 AT 的(j ，i) 位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 aji=aij 则该元素仍为元素 aij 的代数余子式 Aij 从而(A T)*=(AT)*=A*，故 A*为对称矩阵，同理，B *亦为对称矩阵结合选项 A 的结论，则选项 C 的结论是正确的 因为(AB)T=BTAT=BA，从而选项 B 的结论不正确 注意：当 A，B 均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是 AB=BA 所以应选 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次
11、行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2，AP 1P3，描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 该变换或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再1、2 两行互换可得到 b；或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 b而 P2P3A 正是后者，所以应选 B【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则即 r(A)=3由于 AB=O，A 是34 矩阵，有 r(A+B)4 那么当 a=1 时，r(A)=1，lr(B)3而 B 是 42 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2，因此选项 A
12、、B 均不正确 当 a1 时，r(A)=3，所以必有 r(B)=1，选项 D 不正确所以应选 C【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 8【试题解析】 因为A0 时，有 A-1= ，因此 A*=A-1A ，因为矩阵前面的系数相当于矩阵的每一个元素均乘以这个系数，因此，A *=A -1( A )n= A n-1=A 3=23=8【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=A-B，则(A+E)(E-B)=E，因此【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 由于A= =3，又因为 AA*=A*A=A E，则对题中的矩阵方程右乘矩阵 A 得 3AB-6B=A，即 3
13、(A-2E)B=A，该等式两端同时取行列式有 3(A-2E) .B =A=3，即 27A-2E. B= A =3 又A-2E=【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵乘积的计算方法【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则可以看出 T 也就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以 T=1+6+(-2)=5【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 由 A2-A-2E=O，即可得(A+2E)(A-3E)=-4E，于是有 (A+2E) -1(A
14、+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1 因此(A+2E) -1= (A-3E)【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B-1，因此可知【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 由于 B+E=(E+A)-1(E-A)+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A)=(E+A)-1(E-A)+(E+A)=2(E+A)-1，因此(E+B) -1=【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 根据逆矩阵的求法，对已知矩阵和单位矩阵，用相同初等行变换把已知矩阵变为单位矩阵，则单位矩阵在相同的变换下变为已知矩阵的逆矩阵，即
15、【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 A【试题解析】 已知 A= (B+E)且 B2=E，因此【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 因为 A=T=且矩阵的乘法满足结合律，所以 A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA-2AB=C-B，得 2CA-C=2AB-B，因此有 C(2A-E)=(2A-E)B所以，C=(2A-E)B(2A-E)-1 那么可得 C3=(2A-E)B3(2A-E)-1=【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 设 E(i，
16、j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E(i，j)A，因此有B = E(i ，j)A=- A0，所以矩阵 B 可逆【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 AB -1=AE(i，j)A -1=AA-1E-1(i，j)=E -1(i，j)=E(i，j) 【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE，知A *=A n-1，因此有8=A *= A 3 于是A=2 在等式 ABA-1=BA-1+3E，两边先右乘 A，再左乘 A*，得 2B=A *B+3A*A 由上述结论，则有 (2E-A *)B=6E， 于是【知识模块】 矩阵25 【正确答案】
17、由题干知 A2=E，则 A2-E=O，即(A-E)(A+E)=O 那么 r(A+E)+r(A-E)n 又因为 r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r(E-A)r(A+E)+(E-A)=r(2E)=n， 故 r(A+E)+r(A-E)=n【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 令等式 A=PBP-1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即A(x，Ax ，A 2x)=(Ax，A 2x，A 3x)=(Ax，A 2x，3Ax-2A 2x)=(x，Ax ，A 2x)【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 由(1)知 A-B，那么 A+E-B+E，从而【知识模块】 矩阵【知识模块】
18、矩阵28 【正确答案】 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，则 E-B=E-P -1AP=P -1EP-P-1AP =P -1(E-A)P=P -1E-AP=E-A 所以 A、B 的特征多项式相等【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 令 A= ，那么 E-A= 2=EB但是A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=BO，从而 A=POP-1=O 与已知矛盾也可从 r(A)=1，r(B)=0 ，知 A 与 B 不相似【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 因 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有也就是，存在可逆矩阵 P，Q ，使 P-1AP=因此有(P，Q -1)-1A(PQ-1)=B由 PQ-1 为可逆矩阵知，矩阵A 与 B 相似【知识模块】 矩阵
