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[考研类试卷]考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷2及答案与解析.doc

1、考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 要使 1= 都是线性方程组 Ax=0 的解,只要系数矩阵 A 为( )2 设 A 为 n 阶矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,对于线性方程组()Ax=0 和()ATAx=0,必有( )(A)(I)的解是()的解,()的解也是()的解(B) (I)的解是 ()的解, ()的解不是()的解(C) ()的解是( )的解,( )的解不是()的解(D)() 的解不是 ()的解,()的解也不是()的解3 设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=

2、0,现有四个命题 (1)()的解必是() 的解; (2)()的解必是( )的解; (3)()的解不是()的解; (4)()的解不是() 的解 以上命题中正确的是( )(A)(1)(2)(B) (1)(4)(C) (3)(4)(D)(2)(3)4 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn,I m 为 m 阶单位矩阵,则下述结论中正确的是 ( )(A)A 的任意 m 个列向量必线性无关(B) A 的任意一个 m 阶子式不等于零(C) A 通过初等行变换,必可以化为(I m:O)的形式(D)非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多解5 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为儿,方程个数为 m,系

3、数矩阵的秩为r,则( )(A)r=m 时,方程组 Ax=b 有解(B) r=n 时,方程组 Ax=b 有唯一解(C) m=n 时,方程组 Ax=b 有唯一解(D)rn 时,方程组有无穷多个解6 设 1, 2, 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量,且 r(A)=3, 1=(1,2,3,4) T, 2+3=(0,1,2,3) T,c 表示任意常数,则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )7 设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,则线性方程组(AB)x=0( )(A)当 nm 时,仅有零解(B)当 nm 时,必有非零解(C)当 mn 时,仅有零解(D)当 mn 时,必有

4、非零解二、填空题8 已知方程组 有无穷多解,那么 a=_9 已知 1, 2 是方程组 的两个不同的解向量,则a=_10 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1, 2, 3,其中 1=(1,1,1,1)T, 2+3=(2,3,4,5) T,如果 r(A)=3,则方程组 Ax=b 的通解是_11 设 1=(6, -1,1) T 与 2=(-7,4,2) T 是线性方程组 的两个解,那么此方程组的通解是_12 齐次线性方程组 的一个基础解系为_13 设 A= ,A *是 A 的伴随矩阵,则 A*x=0 的通解是_14 齐次方程组 有非零解,则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15

5、 已知 A 是 mn 矩阵,其 m 个行向量是齐次线性方程组 Cx=0 的基础解系,B是 m 阶可逆矩阵,证明:BA 的行向量也是齐次方程组 Cx=0 的基础解系16 已知方程组 有解,证明:方程组无解17 已知线性方程组 有无穷多解,而 A 是 3 阶矩阵,且 分别是 A 关于特征值 1,-1,0 的三个特征向量,求矩阵 A18 设方程组(1) 与方程(2)x 1+2x2+x3=a-1 有公共解,求 a 的值及所有公共解19 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 1=(2,-1,a+2,1) T, 2=(-1,2,4,a+8) T 求方程组(1)的

6、一个基础解系;当 a 为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?若有,求出所有非零公共解20 已知 1, 2, 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,证明1+2, 2+3, 1+3 也是该方程组的一个基础解系21 求线性方程组 的通解,并求满足条件 的所有解22 当 a,b 取何值时,方程组 有唯一解,无解,有无穷多解?当方程组有解时,求其解23 设线性方程组 已知(1,-1,1,-1) T 是该方程组的一个解,求方程组所有的解24 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解25 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b,c) ,a,b,c 不全为零,矩

7、阵B= (k 为常数),且 AB=O,求线性方程组 Ax=0 的通解26 设 n 元线性方程组 Ax=b,其中(1)当 a 为何值时,该方程组有唯一解,并求 x1;(2)当 a 为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意, 1、 2 与 A 的行向量是正交的,对于选项 A,因(-2 ,1,1)1=0,(-2,1,1) 2=0,而逐一验证可得,其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 如果

8、 是()的解,有 A=0,可得 A TA=AT(A)=AT0=0, 即 是()的解故 ()的解必是 ()的解 反之,若 是()的解,有 ATA=0,用 T左乘可得 T(ATA)=(TAT)(A)=(A)T(AT)=T0=0, 若设 A=(b1,b 2,b n),那么 即 A=0亦即 是()的解因此()的解也必是 ()的解所以应选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0,则 A+1=A(An)=A0=0,即若 是()的解,则 必是()的解,可见命题 (1)正确 如果 An+1=0,而 An0,那么对于向量组,A 1,A 2,A n,一方面有: 若 k+k1A1+

9、k2A2+k n An=0,用 An 左乘上式的两边,并把 An+1=0,A n+2=0代入,得 kAn=0由 An0 知,必有k=0类似地用 An-1 左乘可得 k1=0因此,A 1,A 2,A n 线性无关 但另一方面,这是 n+1 个 n 维向量,它们必然线性相关,两者矛盾故 An+1=0 时,必有 An=0,即() 的解必是()的解因此命题(2)正确 所以应选 A【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B 显然不正确,将其中的“ 任意”都改为“存在”,结论才正确对于矩阵 A,只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型 (Im:O)的,故 C 也不正确,故选

10、 D 事实上,由于 A 有 m 行,且 r(A)=mn ,因此 r(A:b)r(A)=m又 r(A:b)rainm,n+1=m, 故 r(A:b)=r(A)=mn,从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解所以选项 D 正确【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A,r(A)=r=m由于r(A:b)m=r,且 r(A:b)rainm,n+1=minr,n+1=r ,因此必有 r(A:b)=r,从而 r(A)=r(A :b) ,所以,此时方程组有解,所以应选 A由 B、C 、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 根据线

11、性方程组解的结构性质,易知 21-(2+3)=(2,3,4,5) T 是Ax=0 的一个非零解,所以应选 C【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵,且r(AB)minr(A),r(B)minm,n(矩阵越乘秩越小 ),所以当 mn 时,必有 r(AB)m,根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知,选项 D 正确【知识模块】 线性方程组二、填空题8 【正确答案】 3【试题解析】 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A),而有无穷多解的充分必要条件是 r(A)=r(A)n,对增广矩阵作初等行变换,有由于 r(A)=2,则可以推出

12、 6-2a=0,因此方程组有无穷多解的充分必要条件是 a=3【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 -2【试题解析】 因为 1, 2 是方程组的两个不同的解,因此该方程组有无穷多解,即系数矩阵和增广矩阵的秩相等,且均小于 3,对增广矩阵做初等行变换有因此 a=-2 时,系数矩阵和增广矩阵的秩相等且均为 2故 a=-2【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 (1,1,1,1) T+k(0,1,2,3) T【试题解析】 根据( 2+3)-21=(2-1)+(3-1)=(2, 3,4,5) T-2(1,1,1,1)T=(0,1,2,3) T,因此可知(0,1,2,3) T 是 Ax=0 的解又

13、因为 r(A)=3,n-r(A)=1,所以 Ax=b 的通解为 (1,1,1,1) T+k(0,1,2,3) T【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (6,-1 ,1) T+k(1 3,-5 ,-1) T(k 为任意常数)【试题解析】 一方面因为 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解,因此一定有 r(A)=r(A)3另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式因此一定有 r(A)2,因此必有 r(A)=r(A)=2 则 n-r(A)=3-2=1,因此,导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量所构成,根据解的性质可知 1-2=(6,-1,1) T-(-7,4,2) T=(1

14、3,-5,-1) T,是导出组 Ax=0 的非零解,即基础解系,那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6,-1,1) T+k(13,-5,-1) T(k 为任意常数)是方程组的通解【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 【试题解析】 系数矩阵 A=,得同解方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k 1(1,4,7) T+k2(2,5,8) T【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2,所以A=0,因此 A*A=A E=0 ,所以A 的列向量为 A*x=0 的解,又由已知条件得 r(A*)=1,因此 A*x=0 的通解是k1(1,4,7) T+k2(2,5,8) T【知识模块】 线性方程

15、组14 【正确答案】 -3 或-1【试题解析】 系数矩阵的行列式A=-(2+4+3)=-(+3)(+1),所以当 =-3 或 =-1 时,方程组有非零解【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由已知可得 A 的行向量是 Cx=0 的解,即 CAT=O则 C(BA)T=CATBT=OBT=0可 见 BA 的行向量是方程组 Cx=0 的解 由于 A 的行向量是基础解系,所以 A 的行向量线性无关,于是 m=r(A)=n-r(C) 又因为 B 是可逆矩阵,r(BA)=r(A)=m=n-r(C),所以 BA 的行向量线性无关,其向量个数正好是 n-

16、r(C),因此是方程组 Cx=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 用 分别表示方程组()与()的系数矩阵和增广矩阵,则 已知方程组()有解,故 又由于(b1,b 2,b m,1) 不能由(a 11,a 21,a m2,0),(a 12,a 22,a m2,0),(a 12,a 2n,a mn, 0)线性表示,则由已知可得【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对增广矩阵作初等变换,有由于方程组有无穷多解,故 a=-1 或a=0当 a=-1 时,三个特征向量 线性相关,不合题意,舍去;当 a=0 时,三个特征向量 线性无关,是 A 的特征向量,故a=0令 P=【知识模块

17、】 线性方程组18 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立,得方程组(3) 则方程组(3)的解就是方程组 (1)与 (2)的公共解对方程组(3) 的增广矩阵作初等行变换,有则方程组(3)有解,即(a-1)(a-2)=0当 a=1 时, ,此时方程组(3)的通解为 k(-1,0,1) T(k为任意常数),即为方程组(1)与(2) 的公共解当 A=2 时, ,此时方程组(3)有唯一解 (0,1,-1) T,这亦是方程组(1)与(2)的唯一公共解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 () 对方程组(1) 的系数矩阵作初等行变换,有由于 n-r(A)=4-2=2,基础解系由 2 个线性无关的

18、解向量所构成,取 x3,x 4 为自由变量,得 1=(5,-3,1,0) T, 2=(-3,2,0,1) T 是方程组(1)的基础解系 ()设 是方程组(1)与(2)的非零公共解,则 =k11+k22=l11+l22,其中 k1,k 2 与 l1,l 2 均是不全为 0 的常数 由 k11+k22-l11-l22=0,得齐次方程组(3) 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换,有 如果 a-1,则(3) 那么方程组(3)只有零解,即k1=k2=l1=2=0,于是 =0,不合题意当 a=-1 时,方程组(3)系数矩阵变形为,解出 k1=l1+4l2,k 2=l1+7l2 于是 =(l1+4l2)1

19、+(l1+7l2)2=l11+l22 所以 a=-1 时,方程组(1) 与(2)有非零公共解,且公共解是 l 1(2,-1,1,1) T+l2(-1,2,4,7) T,l 1,l 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由 A(1+2)=A1+A2=0+0=0 知, 1+2 是齐次方程组 Ax=0 的解同理可知 2+3, 1+3 也是 Ax=0 的解 设 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(1+3)=0,即 (k 1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0, 因为 1, 2, 3 是基础解系,它们是线性无关的,故 由于此方程组系数行列式 D= =20,故必有k1=

20、k2=k3=0,所以 1+2, 2+3, 1+3 线性无关 根据题设,Ax=0 的基础解系含有 3 个线性无关的向量,所以 1+2, 2+3, 1+3 是方程组 Ax=0 的一组基础解系【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换,有方程组的解:令 x3=0,x 4=0 得 x2=1,x 1=2,即 =(2,1,0,0) T 其对应齐次方程组的解: 令x3=1, x4=0,得 x2=3,x 1=1,即 1=(1,3,1,0) T; 令 x3=0,x 4=1,得 x2=0,x 1=-1,即 2=(-1,0,0,1) T 故该方程组的通解是:(2,1,0,0) T+k

21、1(1,3,1,0)T+k2(-1,0,0,1) T 而其中条件 ,即(2+k 1-k2)2=(1+3k1)2那么有 2+k1-k2=1+3k1 或 2+k1-k2=-(1+3k1),两边同时开方,即 k2=1-2k1 或 k=3+4k1 所以(1,1, 0,1) T+k(3,3,1,-2) T 或(-1,1,0,3) T+k(-3,3,1,4) T(k 其中为任意常数)为满足 的所有解【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换,有当 a0 且 b3 时,方程组有唯一解 当 a=0 时,对任意的 b,方程组均无解当 a0,b=3 时,方程组有无穷多解 +k(0,-3 ,

22、2) T,k 为任意常数【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 将(1,-1,1,-1) T 代入方程组得 =对增广矩阵作初等行变换,有这时 r(A)= =34,所以方程组有无穷多解,其通解为(-1,0,0,1) T+k(2,-1,1,-2) T, 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 方法一:对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换,有当 a=0 时,r(A)=1n,故方程组有非零解,其同解方程组为 x 1+x2+xn=0,由此得基础解系为 1=(-1,1,0,0) T, 2=(-1,0,1,0) T, n-1=(-1,0,0,1)T,于是方程组的通解为 x=k 1

23、1+kn-1n-1,其中 k1,k n-1 为任意常数当 a0时,对矩阵 B 作初等行变换,有由此得基础解系为 =(1,2,n) T,于是方程组的通解为 x=k,其中 k 为任意常数 方法二:方程组的系数行列式为故方程组的同解方程组为 x 1+x2+xn=0,由此得基础解系为 1=(-1,1,0,0)T, 2=(-1,0,1,0) T, n-1=(-1,0,0,1) T,于是方程组的通解为x=k11+kn-1n-1,其中 k1,k n-1 为任意常数故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 =(1,2,n) T,于是方程组的通解为 x=k,其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组25 【正

24、确答案】 由 AB=0 知,B 的每一列均为 Ax=0 的解,且 r(A)+r(B)3 (1)若 k9,则 r(B)=2,于是 R(A)1,显然 R(A)1,故 r(A)=1此时 AX=0 的基础解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2,矩阵 b 的第一列、第三列线性无关,可作为其基础解系,故 Ax=0 的通解为: x=x1 ,k 1,k 2 为任意常数(2)若 k=9,则r(B)=1,从而 1r(A)2若 r(A)=2,则 Ax=0 的通解为:x=k 1 ,k 1 为任意常数若 r(A)=1,则 Ax=0 的同解方程组为:ax 1+bx2+cx3=0,不妨设 a0,则其通解为【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 (1)当 a0 时,方程组系数行列式 Dn0,故方程组有唯一解由克拉默法则,将 Dn 的第一列换成 b,得行列式为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n-1,所以方程组有无穷多组解,其通解为 x=(0,1,0) T+k(1,0,0) T,其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组

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