1、考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 要使 1= 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为( )2 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()ATAx=0，必有( )（A）(I)的解是()的解，()的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解， ()的解不是()的解（C） ()的解是( )的解，( )的解不是()的解（D）() 的解不是 ()的解，()的解也不是()的解3 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=
2、0，现有四个命题 (1)()的解必是() 的解； (2)()的解必是( )的解； (3)()的解不是()的解； (4)()的解不是() 的解 以上命题中正确的是( )（A）(1)(2)（B） (1)(4)（C） (3)(4)（D）(2)(3)4 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是 ( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C） A 通过初等行变换，必可以化为(I m：O)的形式（D）非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多解5 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为儿，方程个数为 m，系
3、数矩阵的秩为r，则( )（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组有无穷多个解6 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )7 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）当 mn 时，必有
4、非零解二、填空题8 已知方程组 有无穷多解，那么 a=_9 已知 1， 2 是方程组 的两个不同的解向量，则a=_10 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1， 2， 3，其中 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如果 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_11 设 1=(6， -1，1) T 与 2=(-7，4，2) T 是线性方程组 的两个解，那么此方程组的通解是_12 齐次线性方程组 的一个基础解系为_13 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_14 齐次方程组 有非零解，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
5、 已知 A 是 mn 矩阵，其 m 个行向量是齐次线性方程组 Cx=0 的基础解系，B是 m 阶可逆矩阵，证明：BA 的行向量也是齐次方程组 Cx=0 的基础解系16 已知方程组 有解，证明：方程组无解17 已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 分别是 A 关于特征值 1，-1，0 的三个特征向量，求矩阵 A18 设方程组(1) 与方程(2)x 1+2x2+x3=a-1 有公共解，求 a 的值及所有公共解19 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 1=(2，-1，a+2，1) T， 2=(-1，2，4，a+8) T 求方程组(1)的
6、一个基础解系；当 a 为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解20 已知 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明1+2， 2+3， 1+3 也是该方程组的一个基础解系21 求线性方程组 的通解，并求满足条件 的所有解22 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解23 设线性方程组 已知(1，-1，1，-1) T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解24 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解25 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩
7、阵B= (k 为常数)，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解26 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中(1)当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；(2)当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意， 1、 2 与 A 的行向量是正交的，对于选项 A，因(-2 ，1，1)1=0，(-2，1，1) 2=0，而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 如果
8、 是()的解，有 A=0，可得 A TA=AT(A)=AT0=0， 即 是()的解故 ()的解必是 ()的解 反之，若 是()的解，有 ATA=0，用 T左乘可得 T(ATA)=(TAT)(A)=(A)T(AT)=T0=0， 若设 A=(b1，b 2，b n)，那么 即 A=0亦即 是()的解因此()的解也必是 ()的解所以应选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0，则 A+1=A(An)=A0=0，即若 是()的解，则 必是()的解，可见命题 (1)正确 如果 An+1=0，而 An0，那么对于向量组，A 1，A 2，A n，一方面有： 若 k+k1A1+
9、k2A2+k n An=0，用 An 左乘上式的两边，并把 An+1=0，A n+2=0代入，得 kAn=0由 An0 知，必有k=0类似地用 An-1 左乘可得 k1=0因此，A 1，A 2，A n 线性无关 但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾故 An+1=0 时，必有 An=0，即() 的解必是()的解因此命题(2)正确 所以应选 A【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B 显然不正确，将其中的“ 任意”都改为“存在”，结论才正确对于矩阵 A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型 (Im：O)的，故 C 也不正确，故选
10、 D 事实上，由于 A 有 m 行，且 r(A)=mn ，因此 r(A：b)r(A)=m又 r(A：b)rainm，n+1=m， 故 r(A：b)=r(A)=mn，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解所以选项 D 正确【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，r(A)=r=m由于r(A：b)m=r，且 r(A：b)rainm，n+1=minr，n+1=r ，因此必有 r(A：b)=r，从而 r(A)=r(A ：b) ，所以，此时方程组有解，所以应选 A由 B、C 、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 根据线
11、性方程组解的结构性质，易知 21-(2+3)=(2，3，4，5) T 是Ax=0 的一个非零解，所以应选 C【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵，且r(AB)minr(A)，r(B)minm，n(矩阵越乘秩越小 )，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确【知识模块】 线性方程组二、填空题8 【正确答案】 3【试题解析】 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A)，而有无穷多解的充分必要条件是 r(A)=r(A)n，对增广矩阵作初等行变换，有由于 r(A)=2，则可以推出
12、 6-2a=0，因此方程组有无穷多解的充分必要条件是 a=3【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 -2【试题解析】 因为 1， 2 是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于 3，对增广矩阵做初等行变换有因此 a=-2 时，系数矩阵和增广矩阵的秩相等且均为 2故 a=-2【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 根据( 2+3)-21=(2-1)+(3-1)=(2， 3，4，5) T-2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3) T，因此可知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解又
13、因为 r(A)=3，n-r(A)=1，所以 Ax=b 的通解为 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (6，-1 ，1) T+k(1 3，-5 ，-1) T(k 为任意常数)【试题解析】 一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，因此一定有 r(A)=r(A)3另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式因此一定有 r(A)2，因此必有 r(A)=r(A)=2 则 n-r(A)=3-2=1，因此，导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质可知 1-2=(6，-1，1) T-(-7，4，2) T=(1
14、3，-5，-1) T，是导出组 Ax=0 的非零解，即基础解系，那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6，-1，1) T+k(13，-5，-1) T(k 为任意常数)是方程组的通解【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 【试题解析】 系数矩阵 A=，得同解方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=0，因此 A*A=A E=0 ，所以A 的列向量为 A*x=0 的解，又由已知条件得 r(A*)=1，因此 A*x=0 的通解是k1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【知识模块】 线性方程
15、组14 【正确答案】 -3 或-1【试题解析】 系数矩阵的行列式A=-(2+4+3)=-(+3)(+1)，所以当 =-3 或 =-1 时，方程组有非零解【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由已知可得 A 的行向量是 Cx=0 的解，即 CAT=O则 C(BA)T=CATBT=OBT=0可 见 BA 的行向量是方程组 Cx=0 的解 由于 A 的行向量是基础解系，所以 A 的行向量线性无关，于是 m=r(A)=n-r(C) 又因为 B 是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=n-r(C)，所以 BA 的行向量线性无关，其向量个数正好是 n-
16、r(C)，因此是方程组 Cx=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 用 分别表示方程组()与()的系数矩阵和增广矩阵，则 已知方程组()有解，故 又由于(b1，b 2，b m，1) 不能由(a 11，a 21，a m2，0)，(a 12，a 22，a m2，0)，(a 12，a 2n，a mn， 0)线性表示，则由已知可得【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对增广矩阵作初等变换，有由于方程组有无穷多解，故 a=-1 或a=0当 a=-1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去；当 a=0 时，三个特征向量 线性无关，是 A 的特征向量，故a=0令 P=【知识模块
17、】 线性方程组18 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立，得方程组(3) 则方程组(3)的解就是方程组 (1)与 (2)的公共解对方程组(3) 的增广矩阵作初等行变换，有则方程组(3)有解，即(a-1)(a-2)=0当 a=1 时， ，此时方程组(3)的通解为 k(-1，0，1) T(k为任意常数)，即为方程组(1)与(2) 的公共解当 A=2 时， ，此时方程组(3)有唯一解 (0，1，-1) T，这亦是方程组(1)与(2)的唯一公共解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 () 对方程组(1) 的系数矩阵作初等行变换，有由于 n-r(A)=4-2=2，基础解系由 2 个线性无关的
18、解向量所构成，取 x3，x 4 为自由变量，得 1=(5，-3，1，0) T， 2=(-3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解系 ()设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数 由 k11+k22-l11-l22=0，得齐次方程组(3) 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 如果 a-1，则(3) 那么方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=2=0，于是 =0，不合题意当 a=-1 时，方程组(3)系数矩阵变形为，解出 k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2 于是 =(l1+4l2)1
19、+(l1+7l2)2=l11+l22 所以 a=-1 时，方程组(1) 与(2)有非零公共解，且公共解是 l 1(2，-1，1，1) T+l2(-1，2，4，7) T，l 1，l 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由 A(1+2)=A1+A2=0+0=0 知， 1+2 是齐次方程组 Ax=0 的解同理可知 2+3， 1+3 也是 Ax=0 的解 设 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(1+3)=0，即 (k 1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0， 因为 1， 2， 3 是基础解系，它们是线性无关的，故 由于此方程组系数行列式 D= =20，故必有k1=
20、k2=k3=0，所以 1+2， 2+3， 1+3 线性无关 根据题设，Ax=0 的基础解系含有 3 个线性无关的向量，所以 1+2， 2+3， 1+3 是方程组 Ax=0 的一组基础解系【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x3=0，x 4=0 得 x2=1，x 1=2，即 =(2，1，0，0) T 其对应齐次方程组的解： 令x3=1， x4=0，得 x2=3，x 1=1，即 1=(1，3，1，0) T； 令 x3=0，x 4=1，得 x2=0，x 1=-1，即 2=(-1，0，0，1) T 故该方程组的通解是：(2，1，0，0) T+k
21、1(1，3，1，0)T+k2(-1，0，0，1) T 而其中条件 ，即(2+k 1-k2)2=(1+3k1)2那么有 2+k1-k2=1+3k1 或 2+k1-k2=-(1+3k1)，两边同时开方，即 k2=1-2k1 或 k=3+4k1 所以(1，1， 0，1) T+k(3，3，1，-2) T 或(-1，1，0，3) T+k(-3，3，1，4) T(k 其中为任意常数)为满足 的所有解【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a0 且 b3 时，方程组有唯一解 当 a=0 时，对任意的 b，方程组均无解当 a0，b=3 时，方程组有无穷多解 +k(0，-3 ，
22、2) T，k 为任意常数【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 将(1，-1，1，-1) T 代入方程组得 =对增广矩阵作初等行变换，有这时 r(A)= =34，所以方程组有无穷多解，其通解为(-1，0，0，1) T+k(2，-1，1，-2) T， 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 方法一：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1)T，于是方程组的通解为 x=k 1
23、1+kn-1n-1，其中 k1，k n-1 为任意常数当 a0时，对矩阵 B 作初等行变换，有由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数 方法二：方程组的系数行列式为故方程组的同解方程组为 x 1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(-1，1，0，0)T， 2=(-1，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1) T，于是方程组的通解为x=k11+kn-1n-1，其中 k1，k n-1 为任意常数故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组25 【正
24、确答案】 由 AB=0 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3 (1)若 k9，则 r(B)=2，于是 R(A)1，显然 R(A)1，故 r(A)=1此时 AX=0 的基础解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2，矩阵 b 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为： x=x1 ，k 1，k 2 为任意常数(2)若 k=9，则r(B)=1，从而 1r(A)2若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解为：x=k 1 ，k 1 为任意常数若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1+bx2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 (1)当 a0 时，方程组系数行列式 Dn0，故方程组有唯一解由克拉默法则，将 Dn 的第一列换成 b，得行列式为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n-1，所以方程组有无穷多组解，其通解为 x=(0，1，0) T+k(1，0，0) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组
