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[考研类试卷]考研数学三(n维向量)模拟试卷3及答案与解析.doc

1、考研数学三(n 维向量)模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维向量 1, 2, s,下列命题中正确的是(A)如果 1, 2, s 线性无关,那么 1+2, 2+3, s-1+s, s+1 也线性无关(B)如果 1, 2, s 线性无关,那么和它等价的向量组也线性无关(C)如果 1, 2, s 线性相关,A 是 mn 非零矩阵,那么A1,A 2,A s 也线性相关(D)如果 1, 2, s 线性相关,那么 s 可由 1, 2, s-1 线性表出2 已知 A= ,r(A *)=1,则(A)a=b0(B) ab 且 a+2b=0(C)

2、a+2b0.(D)ab 且 a+2b03 设 A 是 mn 矩阵,r(A)=mn,则下列命题中不正确的是(A)A 经初等行变换必可化为(E m,0)(B) Rm,方程组 Ax=b 必有无穷多解(C)如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0,则 B=0.(D) 行列式A TA=0.二、填空题4 向量组 1=(1,0,1,2) T, 2=(1,1,3,1) T, 3=(2,-1,a+1,5) T 线性相关,则a=_5 已知 1=(a,a,a) T, 2=(-a,a ,b) T, 3=(-a,-a,-b) T 线性相关,则 a,b 满足关系式_.6 已知 1, 2, 3 线性无关, 1+2,a 2-3,

3、1-2+3 线性相关,则a=_7 若 =(1,3,0) T 不能由 1=(1,2,1) T, 2=(2,3,a) T, 3=(1,a+2,-2) T 线性表出,则 a=_.8 任意 3 维向量都可用 1=(1,0,1) T, 2=(1,-2, 3)T, 3=(a,1,2) T 线性表出,则 a=_9 已知 1=(1, 2,3,4) T, 2=(2,0,-1,1) T, 3=(6,0,0,5) T,则向量组的秩r(1, 2, 3)=_,极大线性无关组是_10 向量组 1=(1,-1 ,3,0) T, 2=(-2,1,a ,1) T, 3=(1,1,-5,-2) T 的秩为 2,则 a=_11 已

4、知 r(1, 2, s)=r(1, 2, s,)=r,r( 1, 2, s,)=r+1,则r(1, 2, s, ,)=_12 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2,则 r(A*)=_13 已知 A= 且 AXA*=B,秩 r(X)=2,则a=_14 已知 A= ,B 是 3 阶非 0 矩阵,且 BAT=0,则 a=_15 与 1=(1, -1,0,2) T, 2=(2,3,1,1) T, 3=(0,0,1,2) T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 1=(1,1,0,2) T, 2=(-1,1,2,4) T, 3=(2,3,a,7) T, 4=(-1,

5、5,-3,a+6) T,=(1,0,2,6) T,问 a,b 取何值时,() 不能由 1, 2, 3, 4 线性表示?() 能用 1, 2, 3, 4 线性表出,且表示法唯一; () 能用1, 2, 3, 4 线性表出,且表示法不唯一,并写出此时表达式17 已知向量组 1=有相同的秩,且 3 可由 1, 2, 3 线性表出,求 a,b 的值18 已知 1, 2, s 是互不相同的数,n 维向量 i=(1, i, i2, in-1)T(i=1,2,s),求向量组 1, 2, s 的秩19 如果秩 r(1, 2, s)=r(1, 2, s, s+1),证明 s+1 可由1, 2, s 线性表出20

6、 设 A 是 n 阶非零矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,如果AT=A*,证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出21 证明 1, 2, s(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1, 2, i-1 线性表出22 向量组 1=(1,-1 ,3,0) T, 2=(-2,1,a ,1) T, 3=(1,1,-5,-2) T 的秩为 2,则 a=_23 已知 r(1, 2, s)=r(1, 2, s,)=r,r( 1, 2, s,)=r+1,则r(1, 2, s, ,)=_24 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2,则 r(

7、A*)=_25 设 A 是 n 阶反对称矩阵,x 是 n 维列向量,如 Ax=Y,证明 x 与 y 正交考研数学三(n 维向量)模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (A) :当 s 为偶数时,命题不正确例如,1+2, 2+3, 3+4, 4+1 线性相关 (B):两个向量组等价时,这两个向量组中向量个数可以不一样,因而线性相关性没有必然的关系 例如,1, 2, s 与 1, 2, s,0 等价,但后者必线性相关 (C):因为(A1,A 2,A s)=A(1, 2, s),于是 r(A 1,A 2,A s)=rA

8、(1, 2, , s)r(1, 2, s)s, 所以,A 1,A 2,A s 必线性相关故应选(C) 【知识模块】 n 维向量2 【正确答案】 B【试题解析】 由 r(A*)= 因为A=(a+2b)(a-b) 2,若 a=b,则 r(A)=1所以 ab 但 a+2b=0故选(B) 【知识模块】 n 维向量3 【正确答案】 A【试题解析】 经初等变换可以把矩阵 A 化为标准形,但一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能把 A 化为标准形例如, ,只用初等行变换就不能化为标准形(E 2,0)形式,(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn矩阵,r(A)=m 说明矩阵 A 的行向量组

9、必线性无关,那么其延伸组必线性无关,所以 =mn(B)正确由 BA=0 知 r(B)+r(A)m,又r(A)=m,故 r(B)=0,即 B=0(C) 正确A TA 是二阶矩阵,r(A TA)=r(A)=mn,故A TA=0,即(D)正确【知识模块】 n 维向量二、填空题4 【正确答案】 -1【试题解析】 1, 2, 3 线性相关 =0 有非零解由于 故 a=-1 【知识模块】 n 维向量5 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1, 2, n=0而 1, 2, 3= =2a2(a-b),故 a=0 或 a=b【知识模块】 n 维向量6 【正确答案】 2【试题

10、解析】 记 1=1+2, 2=a2-3, 3=1-2+3,则 1, 2, 3 线性相关【知识模块】 n 维向量7 【正确答案】 -1【试题解析】 不能由 1, 2, 3 线性表出 方程组 x11+x22+x33= 无解又因为 a=-1 时方程组无解,所以 a=-1 时 不能由 1, 2, 3 线性表出【知识模块】 n 维向量8 【正确答案】 3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1, 2, 3 线性表出因而 =2(a-3)0,所以 a3 时,任何 3 维向量均可由 1, 2, 3 线性表出【知识模块】 n 维向量9 【正确答案】 3; 1, 2, 3【试题解析】 ( 1, 2, 3)= 线性

11、无关,而知 1, 2, 3 线性无关,故秩 r(1, 2, 3)=3,极大线性无关组:1, 2, 3【知识模块】 n 维向量10 【正确答案】 -2【试题解析】 r( 1, 2, 3)=2,即矩阵( 1, 2, 3)的秩 2,经初等变换矩阵秩不变,由 可知 a=-2【知识模块】 n 维向量11 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1, 2, , s)=r(1, 2, s,)=r 表明 可由1, 2, s 线性表出, r(1, 2, s,)=r+1 表明 不能由1, 2, s 线性表出作列变换有 (1, 2, s,)( 1, 2, s,0,) , 故 r( 1, 2, s,)=r+1 【知识

12、模块】 n 维向量12 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*)= ,知 r(A*)=0【知识模块】 n 维向量13 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆,知 A*可逆,那么 r(AXA*)=r(X),从而 r(B)=2.B 中已有2 阶子式非 0,所以 r(B)=2 B=0于是【知识模块】 n 维向量14 【正确答案】 【试题解析】 由 BAT=0 有 r(B)+r(AT)3,即 r(A)+r(B)3又 B0,有 r(B)1,从而 k(A)3,即A=0于是【知识模块】 n 维向量15 【正确答案】 【试题解析】 设 =(x1,x 2,x 3,x 4)T 与 1, 2, 3 均正交,

13、则 Ti=0(i=1,2,3),即 求出基础解系:(1,-1,2,-1) T,单位化得为所求【知识模块】 n 维向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x34=,对增广矩阵( 1, 2, 3, 4:) 作初等行变换,有()当 a=1,b2 或 a=10, b-1 时,方程组均元解所以 不能由 1, 2, 3, 4线性表出.() 当 a1 且 a10 时, 方程组均有唯一解所以 能用1, 2, 3, 4 线性表示且表示法唯一 .()方程组在两种情况下有无穷多解,即(1)当 a=10,b=-1 时,方程组有无穷多解:(2)当 a=1,b

14、=2 时,方程组有无穷多解:【知识模块】 n 维向量17 【正确答案】 因为 3 可由 1, 2, 3 线性表示,故方程组 x11+x22+x33= 有解由又由3=31+22,且 1, 2 线性无关,知秩 r(1, 2, 3)=2于是 r(1, 2, 3)=2 从而 1, 2, 3=【知识模块】 n 维向量18 【正确答案】 当 sn 时, 1, 2, s 必线性相关,但 1, 2, n是范德蒙行列式,故 1, 2, n 线性无关因而 r(1, 2, s)=n 当 s=n时, 1, 2, , n 线性无关,秩 r(1, 2, n)=n. 当 sn 时,记,则 1, 2, , s 线性无关那么其

15、延伸组 1, 2, s 必线性无关故r(1, 2, s)=s【知识模块】 n 维向量19 【正确答案】 设 r(1, 2, s)=r(1, 2, , s, s+1)=r,且i1, i2, ir 是向量组 1, 2, s 的极大线性无关组,那么i1, i2, ir 也是 1, 2, s, s+1 的极大线性无关组从而 s+1 可由i1, i2, ir 线性表出那么 s+1 可由 1, 2, s 线性表出 或者考察方程组 x11+x22+xss=s+1因为 r(1, 2, s)=r(1, 2, s, s+1),所以方程组 x11+x22+xss=s+1 有解因此 s+1 可由 1, 2, s 线性

16、表出【知识模块】 n 维向量20 【正确答案】 因为 A*=AT,按定义有 Aij=aij( ,j=1,2,n),其中 Aij 是行列式A中 aij 的代数余子式 由于 A0,不妨设 a110,那么A=a 11A11+a12A12+a1nA1n= 于是 A=(1, 2, n)的 n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ,恒有 1, 2, n, 线性相关因此 必可由 1, 2, n 线性表出【知识模块】 n 维向量21 【正确答案】 必要性因为 1, 2, n 线性相关,故有不全为 0 的k1,k 2,k s,使 k 11,k 22,k ss=0 设 ks,k s-1,k 2,k 1 中第

17、一个不为 0 的是 ki(即 ki0,而 ki+1=ks-1=ks=0),且必有 i1(若 i=l 即k10,k 2=ks=0,那么 k11=0于是 1=0 与 10 矛盾),从而k11+k22+kii=0, k i0那么 i= (k11+k22+ki-1i-1)充分性因为有i=l11+l22+li-1i-1,于是 l 11+li-1i-1-i+0i+1+0 s=0又因 l1,l i-1,-1,0,0 不全为 0,故 1, 2, s 线性相关【知识模块】 n 维向量22 【正确答案】 (用秩) 因为 AB=C,所以 r(AB)r(A),即 r(A)r(C)=m又 A 是mn 矩阵, r(A)m

18、,从而 r(A)=m因为 r(A)=A 的行秩,所以 A 的行向量组线性无关【知识模块】 n 维向量23 【正确答案】 对齐次方程组()ABx=0, ()Bx=0,如 是 ()的解,有 B=0,那么 AB=0,于是 是()的解如 是 ()的解,有 AB=0,因为 A 是 mn 矩阵,秩 r(A)=n,所以 Ax=0 只有零解,从而 B=0于是 是 ()的解因此方程组() 与()同解那么 s-r(AB)=s-r(B),即 r(AB)=r(B)所以 r(B)=r(C)【知识模块】 n 维向量24 【正确答案】 先正交化:再单位化:【知识模块】 n 维向量25 【正确答案】 因为 AT=-A,Ax=Y ,所以(x,y)=x Ty=xTAx 又(y,x)=y Tx=(Ax)Tx=-xTAx,因此 xTAx=-xTAx故 xTAx=0 所以(x,y)=0【知识模块】 n 维向量

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