1、考研数学三（n 维向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1+2， 2+3， s-1+s， s+1 也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关（C）如果 1， 2， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s-1 线性表出2 已知 A= ，r(A *)=1，则（A）a=b0（B） ab 且 a+2b=0（C）
2、a+2b0.（D）ab 且 a+2b03 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） Rm，方程组 Ax=b 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0.（D） 行列式A TA=0.二、填空题4 向量组 1=(1，0，1，2) T， 2=(1，1，3，1) T， 3=(2，-1，a+1，5) T 线性相关，则a=_5 已知 1=(a，a，a) T， 2=(-a，a ，b) T， 3=(-a，-a，-b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式_.6 已知 1， 2， 3 线性无关， 1+2，a 2-3，
3、1-2+3 线性相关，则a=_7 若 =(1，3，0) T 不能由 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，-2) T 线性表出，则 a=_.8 任意 3 维向量都可用 1=(1，0，1) T， 2=(1，-2， 3)T， 3=(a，1，2) T 线性表出，则 a=_9 已知 1=(1， 2，3，4) T， 2=(2，0，-1，1) T， 3=(6，0，0，5) T，则向量组的秩r(1， 2， 3)=_，极大线性无关组是_10 向量组 1=(1，-1 ，3，0) T， 2=(-2，1，a ，1) T， 3=(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则 a=_11 已
4、知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_12 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)=_13 已知 A= 且 AXA*=B，秩 r(X)=2，则a=_14 已知 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT=0，则 a=_15 与 1=(1， -1，0，2) T， 2=(2，3，1，1) T， 3=(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(-1，1，2，4) T， 3=(2，3，a，7) T， 4=(-1，
5、5，-3，a+6) T，=(1，0，2，6) T，问 a，b 取何值时，() 不能由 1， 2， 3， 4 线性表示?() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一； () 能用1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式17 已知向量组 1=有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值18 已知 1， 2， s 是互不相同的数，n 维向量 i=(1， i， i2， in-1)T(i=1，2，s)，求向量组 1， 2， s 的秩19 如果秩 r(1， 2， s)=r(1， 2， s， s+1)，证明 s+1 可由1， 2， s 线性表出20
6、 设 A 是 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出21 证明 1， 2， s(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， i-1 线性表出22 向量组 1=(1，-1 ，3，0) T， 2=(-2，1，a ，1) T， 3=(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则 a=_23 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_24 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(
7、A*)=_25 设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量，如 Ax=Y，证明 x 与 y 正交考研数学三（n 维向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ：当 s 为偶数时，命题不正确例如，1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如，1， 2， s 与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)=rA
8、(1， 2， ， s)r(1， 2， s)s， 所以，A 1，A 2，A s 必线性相关故应选(C) 【知识模块】 n 维向量2 【正确答案】 B【试题解析】 由 r(A*)= 因为A=(a+2b)(a-b) 2，若 a=b，则 r(A)=1所以 ab 但 a+2b=0故选(B) 【知识模块】 n 维向量3 【正确答案】 A【试题解析】 经初等变换可以把矩阵 A 化为标准形，但一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能把 A 化为标准形例如， ，只用初等行变换就不能化为标准形(E 2，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn矩阵，r(A)=m 说明矩阵 A 的行向量组
9、必线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 =mn(B)正确由 BA=0 知 r(B)+r(A)m，又r(A)=m，故 r(B)=0，即 B=0(C) 正确A TA 是二阶矩阵，r(A TA)=r(A)=mn，故A TA=0，即(D)正确【知识模块】 n 维向量二、填空题4 【正确答案】 -1【试题解析】 1， 2， 3 线性相关 =0 有非零解由于 故 a=-1 【知识模块】 n 维向量5 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1， 2， n=0而 1， 2， 3= =2a2(a-b)，故 a=0 或 a=b【知识模块】 n 维向量6 【正确答案】 2【试题
10、解析】 记 1=1+2， 2=a2-3， 3=1-2+3，则 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 n 维向量7 【正确答案】 -1【试题解析】 不能由 1， 2， 3 线性表出 方程组 x11+x22+x33= 无解又因为 a=-1 时方程组无解，所以 a=-1 时 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 n 维向量8 【正确答案】 3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3 线性表出因而 =2(a-3)0，所以 a3 时，任何 3 维向量均可由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 n 维向量9 【正确答案】 3； 1， 2， 3【试题解析】 ( 1， 2， 3)= 线性
11、无关，而知 1， 2， 3 线性无关，故秩 r(1， 2， 3)=3，极大线性无关组：1， 2， 3【知识模块】 n 维向量10 【正确答案】 -2【试题解析】 r( 1， 2， 3)=2，即矩阵( 1， 2， 3)的秩 2，经初等变换矩阵秩不变，由 可知 a=-2【知识模块】 n 维向量11 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1， 2， ， s)=r(1， 2， s，)=r 表明 可由1， 2， s 线性表出， r(1， 2， s，)=r+1 表明 不能由1， 2， s 线性表出作列变换有 (1， 2， s，)( 1， 2， s，0，) ， 故 r( 1， 2， s，)=r+1 【知识
12、模块】 n 维向量12 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*)= ，知 r(A*)=0【知识模块】 n 维向量13 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)=r(X)，从而 r(B)=2.B 中已有2 阶子式非 0，所以 r(B)=2 B=0于是【知识模块】 n 维向量14 【正确答案】 【试题解析】 由 BAT=0 有 r(B)+r(AT)3，即 r(A)+r(B)3又 B0，有 r(B)1，从而 k(A)3，即A=0于是【知识模块】 n 维向量15 【正确答案】 【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，
13、则 Ti=0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，-1，2，-1) T，单位化得为所求【知识模块】 n 维向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x34=，对增广矩阵( 1， 2， 3， 4：) 作初等行变换，有()当 a=1，b2 或 a=10， b-1 时，方程组均元解所以 不能由 1， 2， 3， 4线性表出.() 当 a1 且 a10 时， 方程组均有唯一解所以 能用1， 2， 3， 4 线性表示且表示法唯一 .()方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=-1 时，方程组有无穷多解：(2)当 a=1，b
14、=2 时，方程组有无穷多解：【知识模块】 n 维向量17 【正确答案】 因为 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故方程组 x11+x22+x33= 有解由又由3=31+22，且 1， 2 线性无关，知秩 r(1， 2， 3)=2于是 r(1， 2， 3)=2 从而 1， 2， 3=【知识模块】 n 维向量18 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2， s 必线性相关，但 1， 2， n是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1， 2， s)=n 当 s=n时， 1， 2， ， n 线性无关，秩 r(1， 2， n)=n. 当 sn 时，记，则 1， 2， ， s 线性无关那么其
15、延伸组 1， 2， s 必线性无关故r(1， 2， s)=s【知识模块】 n 维向量19 【正确答案】 设 r(1， 2， s)=r(1， 2， ， s， s+1)=r，且i1， i2， ir 是向量组 1， 2， s 的极大线性无关组，那么i1， i2， ir 也是 1， 2， s， s+1 的极大线性无关组从而 s+1 可由i1， i2， ir 线性表出那么 s+1 可由 1， 2， s 线性表出 或者考察方程组 x11+x22+xss=s+1因为 r(1， 2， s)=r(1， 2， s， s+1)，所以方程组 x11+x22+xss=s+1 有解因此 s+1 可由 1， 2， s 线性
16、表出【知识模块】 n 维向量20 【正确答案】 因为 A*=AT，按定义有 Aij=aij( ，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式A中 aij 的代数余子式 由于 A0，不妨设 a110，那么A=a 11A11+a12A12+a1nA1n= 于是 A=(1， 2， n)的 n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有 1， 2， n， 线性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出【知识模块】 n 维向量21 【正确答案】 必要性因为 1， 2， n 线性相关，故有不全为 0 的k1，k 2，k s，使 k 11，k 22，k ss=0 设 ks，k s-1，k 2，k 1 中第
17、一个不为 0 的是 ki(即 ki0，而 ki+1=ks-1=ks=0)，且必有 i1(若 i=l 即k10，k 2=ks=0，那么 k11=0于是 1=0 与 10 矛盾)，从而k11+k22+kii=0， k i0那么 i= (k11+k22+ki-1i-1)充分性因为有i=l11+l22+li-1i-1，于是 l 11+li-1i-1-i+0i+1+0 s=0又因 l1，l i-1，-1，0，0 不全为 0，故 1， 2， s 线性相关【知识模块】 n 维向量22 【正确答案】 (用秩) 因为 AB=C，所以 r(AB)r(A)，即 r(A)r(C)=m又 A 是mn 矩阵， r(A)m
18、，从而 r(A)=m因为 r(A)=A 的行秩，所以 A 的行向量组线性无关【知识模块】 n 维向量23 【正确答案】 对齐次方程组()ABx=0， ()Bx=0，如 是 ()的解，有 B=0，那么 AB=0，于是 是()的解如 是 ()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以 Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是 ()的解因此方程组() 与()同解那么 s-r(AB)=s-r(B)，即 r(AB)=r(B)所以 r(B)=r(C)【知识模块】 n 维向量24 【正确答案】 先正交化：再单位化：【知识模块】 n 维向量25 【正确答案】 因为 AT=-A，Ax=Y ，所以(x，y)=x Ty=xTAx 又(y，x)=y Tx=(Ax)Tx=-xTAx，因此 xTAx=-xTAx故 xTAx=0 所以(x，y)=0【知识模块】 n 维向量
