1、考研数学三(一元函数微分学)模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)的导数在 x=a 处连续,又 则(A)x=a 是 f(a)的极小值点(B) x=a 是 f(x)的极大值点。(C) (a,f(a)是曲线 y=f(x)的拐点(D)x=a 不是 f(x)的极值点,(a,f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设函数 f(x)在闭区间a,b上有定义,在开区间(a,b)内可导,则(A)当 f(a)f(b)0 时,存在 (a,b),使 f()=0(B)对任何 (a,b),有(C)当 f(a)=f(b)时,存在 (a,b) ,使 f(
2、)=0(D)存在 (a,b) ,使 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)3 设 f(x)为不恒等于零的奇函数,且 f(0)存在,则函数(A)在 x=0 处左极限不存在(B)有跳跃间断点 x=0(C)在 x=0 处右极限不存在(D)有可去间断点 x=04 设 f(x)=x(1 一 x),则(A)x=0 是 f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点(B) x=0 不是 f(x)的极值点,但 (0,0)是曲线 y=f(x)的拐点(C) x=0 是 f(x)的极值点,且 (0,0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)x=0 不是 f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线 y=f(x)
3、的拐点5 设 f(x)在a,b上连续,且 f(a)0,f(b)0,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点 x0(a,b),使得 f(x0)f(a)(B)至少存在一点 x0(a,b),使得 f(x0)f(b) (C)至少存在一点 x0(a,b),使得 f(x0)=0(D)至少存在一点 x0(a,b),使得 f(x0)=06 当 a 取下列哪个值时,函数 f(x)=2x3 一 9x2+12xa 恰有两个不同的零点(A)2(B) 4(C) 6(D)87 设 f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值, 是极小值(B) f(0)是极小值, 是极大值(C) f(0)是极大值
4、, 也是极大值(D)f(0)是极小值, 也是极小值8 以下四个命题中,正确的是(A)若 f(x)在(0 ,1)内连续,则 f(x)在(0,1) 内有界(B)若 f(x)在(0,1)内连续,则 f(x)在(0,1)内有界(C)若 f(x)在(0,1)内有界,则 f(x)在(0,1)内有界(D)若 f(x)在(0,1)内有界,则 f(x)在(0,1) 内有界9 设函数 y=f(x)具有二阶导数,且 f(x)0,f(x) 0, x 为自变量 x 在点 x0 处的增量,y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分,若x0,则(A)0dyy(B) 0 ydy(C) ydy0(D)dyy0
5、10 设函数 f(x)在 x=0 处连续且 ,则(A)f(0)=0 且 f-(0)存在(B) f(0)=1 且 f-(0)存在(C) f(0)=0 且 f+(0)存在(D)f(0)=1 且 f+(0)存在11 设函数 f(x)在 x=0 处连续,下列命题错误的是(A)若 存在,则 f(0)=0(B) 存在,则 f(0)=0(C)若 存在,则 f(0)存在(D)若 存在,则 f(0)存在12 曲线 渐近线的条数为(A)0(B) 1(C) 2(D)313 设某商品的需求函数为 Q=1602p,其中 Q,p 分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是(A)10(B) 2
6、0(C) 30(D)4014 证明:若函数 f(x)在 x=0 处连续,在(0,)( 0)内可导,且 则f+(0)存在,且 f+(0)=A269(10,4 分)设函数 f(x),g(x)具有二阶导数,且 g(x)0若 g(x0)=a 是 g(x)的极值,则 f(g(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是(A)f(a) 0(B) f(a)0(C) f(a)0(D)f(a)0二、填空题15 设 其导函数在 x=0 处连续,则 的取值范围是_16 已知曲线 y=x3 一 3a2x+b 与 x 轴相切,则 b2 可以通过 a 表示为 b2=_17 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x
7、)=ef(x),f(2)=1 ,则 f(2)=_。18 设函数 则 y(n)(0)=_19 设某产品的需求函数为 Q=Q(p),其对价格 P 的弹性 p=02,则当需求量为 10 000 件时,价格增加 1 元会使产品收益增加_. 20 设某商品的收益函数为 R(p),收益弹性为 1+P3,其中 P 为价格,且 R(1)=1,则R(p)=_.21 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(一 1,0),则 b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求函数 的单调区间和极值,并求该函数图形的渐近线23 已知 f(x)在(一,+)上可导,且求 c 的值24 设 试补充定义 f
8、(1)使得 f(x)在上连续25 设函数 f(x)在0,3上连续,在 (0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1试证必存在 (0,3)使 f()=026 求27 设某商品的需求函数为 Q=1005P,其中价格 P(0,20),Q 为需求量(I)求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0) ;(II) 推导 并用弹性Ed 说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加28 求29 证明:当 0a b 时,bsinb+2cosb+basina+2cosa+s30 设函数 y=y(x)由方程 ylnyx+y=0 确定,试判断曲线 y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性30 设函数
9、 f(x),g(x) 在a,b上连续,在(a ,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,又 f(a)=g(a),f(b)=g(b) ,证明:31 存在 (a,b),使得 f()=g();32 存在 (a,b) ,使得 f()=g()33 证明拉格朗日中值定理:若函数 f(x)在a ,b上连续,在(a,b)内可导,则存在(a, b),使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)34 求极限34 设函数 f(x)在0,3上连续,在 (0,3)内存在二阶导数,且35 证明存在 (0,2),使 f()=f(0);36 证明存在 (0,3),使 f()=0考研数学三(一元函数微分学)模拟试卷 10 答
10、案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 取 易验证此 f(x)满足题目条件但 x=a 是 f(x)的极大值点而不是极小值点则 A 不正确,又(a,f(a)也不是曲线 y=f(x)的拐点则C 也不正确由于 x=a 是 f(x)的极大值点,则 D 也不正确所以应选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在(a ,b) 内可导 (a,b),则 f(x)在 点可导,因而在 点连续,故【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)为奇函数,则 f(0)=0,从而又 在 x
11、=0 处无定义,则 x=0 为g(x)的可去间断点【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=x(1 一 x)知,f(0)=0,而当 x0,或 0x1 时,f(x)0,由极值的定义知 f(x)在 x=0 处取极小值又则当 x0 时,f(x)=20;当 0x1 时,f(x)=一 20,则(0 ,0)是曲线 y=f(x)的拐点,故应选 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=一 x2+2,a=一 1,b=1 ,显然 f(x)在一 1,1上连续,f(一1)0, f(1)0,但在(一 1,1)上不存在 x0,使 f(x0)=0,则
12、D 是错误的,故应选D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=6x 2 一 18x+12=6(x2 一 3x+2)=6(x 一 1)(x 一 2)令 f(x)=0,得x1=1, x2=2; f(1)=5 一 a, f(2)=4 一 a 当 a=4 时, f(1)一 10,f(2)=0 即 x=2 为f(x)的一个零点,由 f(x)=6(x 一 1)(x 一 2)知当一x1 时,f(x)0,f(x)严格单调增,而 f(1)=10, ,则 f(x)在(一,0)内有唯一零点当1x2 时,f(x)0,f(x)单调减,又 f(2)=0,则当 1x2 时,f(x)0,此区间
13、内无零点当 x2 时,f(x)0,f(2)=0 则 x2 时 f(x)0,即在此区间内 f(x)无零点故应选 B【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx , f(x)=cosxxsinx;f(0)=0,f(0)=1 0,则 f(0)是极小值 故应选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 (直接法) 由于 f(x)在(0,1)内有界,则存在 M0,使对任意x(0,1),f(x)M,对任意的 x(0,1),由拉格朗日中值定理知从而有则 f(x)在(0,1)内有界【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答
14、案】 A【试题解析】 直接法 由于 dy=f(x0)x y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x(x0x 0+x)由 f(x)0,则 f(x)单调增,又x0,且 f(x)0,则 0dy y 故应选 A【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 直接法【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知,f(0)=0 ,从而有f(0),所以,命题 A 和 C 是正确的;由,则 f(0)=0,所以,命题 B 也是正确的事实上,命题 D 是错误的例如,令 f(x)=x,显然 ,但 f(x)=x在 x=0 处不可导,即f(0
15、)不存在故应选 D【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则 x=0 为原曲线的一条垂直渐近线而 ,则 y=0 为原曲线的一条水平渐近线则 y=x 为原曲线的一条斜渐近线,由此可知原曲线共有三条渐近线所以,本题应选 D【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 D【试题解析】 由题设可知,该商品的需求弹性为 由知 P=40故应选 D【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 B【试题解析】 令 (x)=fg(x),则 (x)=fg(x)g(x) (x0)=fg(x0)g(x0)=0 (x)=fg(z)g2(x)+fg(x)g(x) (x0)=fg(x)g(
16、x0)=f(a)g(x0) 若 f(a)0,则 (x0)0,故 (x)在 x0 处取极大值【知识模块】 一元函数微分学二、填空题15 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时, 当 x=0 时,由上式可知,当 1 时,f(0)存在,且 f(0)=0。又由上式可知,当 2 时,即导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 4a 6【试题解析】 曲线 y=x3 一 3a2x+b 在 x=x0 处与 x 轴相切,则 3x023a2=0 且 x 033a2x0+b=0 即 x 02=a2 且 x 0(x02 一 3a2)=一 b 从而可得 b2=4a6【知识模块】 一元函
17、数微分学17 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由 f(x)=ef(x)及 f(2)=1 知,f(2)=e f(x)=ef(x)f(f(x)=zf(x)f(x), 则f(2)=2e3x)=f(x)2,从而有 f(2)=e2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 8000【试题解析】 由于收益 R=pQ(P)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 3【试题解析】 曲线 y=x3+ax2+bx+1 过点(一 1,0),则 0=1+ab+1, a=b y=x3
18、一 bx2+bx+1 y=3x2 一 2bx+b y=6x 一 2b y(一 1)=一 62b=0,则 b=3【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 令 y=0,得驻点 x1=0,x 2=一 1列表由此可见,递增区间为(一 ,一 1),(0,+);递减区间为(一 1,0)可见渐近线为 y1=a1x+b1=ex(x 一 2),y 2=a2x+b2=x 一 2【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由拉格朗日定理知 f(x)一 f(x 一 1)=f().1 其中 介于 x 一 1 与 x 之间,那么于是,e 2c=e,故【知识模块】
19、 一元函数微分学24 【正确答案】 令 1 一 x=y,则【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由于 f(x)在0 ,3上连续,则 f(x)在0,2上连续,且在0,2上必有最大值 M 和最小值 m,于是 由介值定理知,至少存在一点 c0,2 ,使 显然 f(x)在c ,3上满足罗尔定理条件,故存在 (c,3)c(0 ,3),使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (I) (II)由 R=PQ,得故当10P20 时,降低价格反而使收益增加【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学29
20、 【正确答案】 设 f(x)=xsinx+2cosx+x,x 0,则 f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosx 一 sinx+f(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0,x (0,)故 f(x)在0,上单调减少,从而f(x)f()=0,x(0,)因此 f(x)在0,上单调增加,当 0ab 时 f(b)f(a)即 bsinb+2cosb+nbasina+2cosa+a 【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 等式 ylnyx+y=0 两边对 x 求导得 在点(1,1)附近 y0,则曲线 y=y(x)是凸的【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微
21、分学31 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x),以下分两种情况讨论:若 f(x)和 g(x)在(a,b)内的同一点处 c(a,b)取到其最大值,则 (c)=f(c)一 g(d)=0,又 (a)=(b)=0,由罗尔定理知 对 (x)在 1, 2上用罗尔定理得 (1, 2),使 ()=0【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 若 f(x)和 g(x)在(a,b)内不在同一点处取到其最大值,不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x1 和 x2(x1x 2)取到其在(a,b)内的最大值,则 P(x1)=f(x1)一 g(x1)0, (x 2)=f(x2)一 g(x2)0 由连续函数的介值定理知, (x1,x 2),使 (c)=0以下证明与 1)相同【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 取 由题意知 F(x)在a ,b上连续,在(a,b)内可导,且 根据罗尔定理,存在 (a,b),使得 ,即 f(b)一 f(a)一 f()(b 一 a)对于任意的 t(0,),函数 f(x)在0 ,t上连续,在(0,t)内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
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